非线性动力学的研究是一个非常迷人的问题,它一直是理解自然科学中许多问题的重要数学方法,非线性科学目前主要侧重于高维乃至无穷维复杂系统动力学行为的研究,对于低维系统的研究主要是混沌的应用,控制和同步是其中方向之一.该文主要研究了这两个方面的问题.在第二章中,利用反可积极限理论,我们证明了KdV模型的离散类孤立子解,sine-Gordon模型的行波解和一维耦合映射格子中的周期解的存在性.在第三章中,利用状态反馈控制器,讨论了离散系统的混沌反控制.利用反可积极限理论,证明这样设计的控制系统的确具有Devaney意义下的混沌.在第四章中,我们给出一般离散混沌系统脉冲控制的稳定性.在第五章中,一方面,我们用脉冲技术实现两个离散混沌系统渐近同步.另一方面,从数学控制论的观点,把同步问题看成一个特殊的观察器设计问题,从而观察器理论提供的机制为混沌系统的同步提供了一个全面的合理的框架.我们首先给出观察器渐近稳定性的两个新的充分条件,然后我们得到了两个混沌系统同步的新准则,最后把这个新同步准则应用到Dhua电路.在第六章中,在一个n维流形上,我们使用一个几何约化过程,使具有积对称的保积流的约化被获得,即在n维流形上具有单参数保积对称的保积流能够约化为（n-1）维商空间上的保积流.更一般地,在n维流形上,具有r个可交换保积对称的保积流能够约化为（n-r）维商空间上的保积流.