【摘 要】
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偏微分方程作为数学中的一个重要分支,与几何学、物理学等联系密切.研究椭圆方程的解作为偏微分方程理论研究中的一个重要课题,为解决物理学和几何学中的问题提供了理论依据.近些年,与双调和算子相关的椭圆方程解的存在性也得到了广泛研究,这些研究结果对共形几何中的Paneitz-Branson算子理论和物理学中弹性薄板具有重要的意义.本文主要讨论如下Dirichlet边界条件下具有Hardy-Sobolev临
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偏微分方程作为数学中的一个重要分支,与几何学、物理学等联系密切.研究椭圆方程的解作为偏微分方程理论研究中的一个重要课题,为解决物理学和几何学中的问题提供了理论依据.近些年,与双调和算子相关的椭圆方程解的存在性也得到了广泛研究,这些研究结果对共形几何中的Paneitz-Branson算子理论和物理学中弹性薄板具有重要的意义.本文主要讨论如下Dirichlet边界条件下具有Hardy-Sobolev临界指数的双调和方程解的存在性（?）其中Ω（?）RN 是包含原点的光滑有界区域,λ>0,2≤q≤2*,2≤p≤2#（s）,（?）分别是Sobolev临界指数和Hardy-Sobolev临界指数,（?）是（?）Ω上的外法向导数.论文主要研究内容组织如下:第1章为绪论部分,整体阐述了本文的研究背景和研究意义,介绍了本文的主要内容,并陈述了文中用到的一些基本知识和预备定理.第2章证明了与双调和算子相联系的Hardy-Sobolev不等式的极值函数的渐进估计,并给出了文中需要的一些其他相关估计.第3章主要讨论在Hardy-Sobolev临界指数情形下方程（Pλ）解的存在性和不存在性等结果.首先借助Rellich-Pohozaev恒等式,证明了当λ>0,q=2*;或λ<0,2 ≤ q<2*;或λ=0,2 ≤ q<2*,且Ω是严格的星型区域;或λ≥ λ1,q=2,且u≥ 0,Ω=BR时,方程（Pλ）非平凡解的不存在性.接着,对于Hardy-Sobolev临界指数情形,建立全局紧性结果,克服临界指数情形的紧性缺失的困难,建立（PS）c条件,结合第2章的估计,通过山路定理证明了当λ>0,2<q<2*;或0<λ<λ1,q=2时方程至少存在一个解.最后,通过环绕定理证明了当q=2,p=2#（s）时方程有无穷多变号解.第4章证明了 Hardy-Sobolev次临界指数情形下,即当λ>0,2≤q<2*,2≤p<2#（s）时,方程（Pλ）存在无穷多解.
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