自然与工业应用中的许多问题由粗糙边界区域上的偏微分方程所描述.典型的例子包括粗糙区域中的流体、尖细植物叶上浸润现象、具有振荡表面的物体上波的散射、具有一定微观结构的界面上的化学反应流等等.本文针对粗糙边界问题,提出了粗糙边界区域上椭圆问题的组合有限元方法及粗糙边界区域上含快速振荡系数多尺度椭圆问题的超样本多尺度组合有限元方法,并将组合有限元方法应用到粗糙边界区域上的抛物问题,进一步对粗糙边界区域上含非周期系数多尺度椭圆问题利用局部正交分解(LOD)技术构造多尺度组合有限元方法进行了初步探讨.在第二章中,我们研究了解粗糙边界区域上椭圆问题的组合有限元方法.该方法的基本思想是在振荡边界附近使用尺寸为h的细网格,而在内部子区域使用尺寸为H(》h)的粗网格.通过这种方式,能够减少一些不必要的工作量.我们使用加罚技术处理粗细网格交界面处的传输条件.该方法的关键点在于在双线性形式定义中使用了加权平均,从而避免了误差结果中H/h比值的出现.由于在粗糙边界区域上解整体上不属于H2空间,文中证明了按单元的收敛阶是拟最优的.最后,我们利用几个振荡或非振荡边界区域上的椭圆问题的数值实验验证了数值方法的有效性.在第三章中,针对带粗糙边界区域上的抛物问题,我们设计了在空间上采用组合有限元方法离散,时间上采用向后Euler格式的数值方法.对于对称(β = 1)与非对称(=-1)双线性形式,通过对偶论证我们推导了椭圆投影算子的L2误差估计,其分别依赖于两个辅助问题解(椭圆与类似于椭圆界面问题的辅助问题)的正则性.按照论文[99]中的思想证明了粗糙边界区域上抛物问题的解在能量范数下的收敛性.由于理论分析中没有明确的关于空间网格尺寸大小h,H与时间步长Δt的收敛速率,我们通过数值试验对它们的收敛阶进行了研究.数值试验结果表明,组合有限元方法的收敛速率并没有受边界振荡的影响,并且能够达到拟最优.在第四章中,我们提出了求解粗糙边界区域上含快速振荡系数多尺度椭圆问题的超样本组合多尺度有限元方法.该方法的基本思想是在粗糙边界附近使用细网格上的标准有限元方法近似,而在其它区域采用超样本多尺度有限元方法逼近,交界面上采用加罚技术处理.在扩散系数周期性假设下我们进行了超样本多尺度组合有限元方法的误差分析,证明了数值格式的稳定性与收敛性.最后,我们进行了一些数值实验验证数值方法有效性.该方法对非周期系数理论分析有困难,但格式本身对非周期系数也适用.文中通过数值实验验证了所提方法对随机系数问题的有效性.在第五章中,我们研究了如何利用局部正交分解技术构造粗糙边界区域上含非周期系数多尺度椭圆问题的多尺度组合有限元方法.局部正交分解的思想是先把解空间分解成两个子空间,这两个子空间关于双线性形式定义的内积是正交的,其中需要的空间是低维的,并且包含部分的微观信息.但是为了得到这些微观信息,往往需要解工作量相当于许多原问题的子问题,这在实际中是不可行的.为了减少工作量,需对子问题进行了局部化.本章,我们首先回顾局部正交分解及局部正交分解有限元方法,具体介绍了局部正交分解有限元空间基函数的性质,并通过示意图展示了基函数的特征,然后利用局部正交分解为组合有限元方法构造新的组合有限元空间,最后提出针对非周期系数多尺度椭圆问题的组合有限元方法数值格式.