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以课本中的典型习题为素材，从“一题多解、一题多用、一题多变”等方面联想、探索与拓展，通过解题与联想把蕴涵在其中的数学思想方法揭示出来，挖掘出问题的本质. 这不但可以提高同学们的逻辑思维能力、分析和解决问题的能力，还可以培养同学们的探索创新能力.本文以人教版九年级数学下册“相似形”部分第73页的一道“拓广探索”习题为例，与同学们共同感悟课本习题的独特魅力，分享探究的成果.
引例 如图1，△ABC是一块锐角三角形材料，边BC=120毫米，高AD=80毫米,要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上．这个正方形零件的边长是多少?
分析：假如EFHG为加工成的正方形零件，由AD⊥BC，所以△AEF的高可写成AK=AD-DK=AD-EG．再由△AEF∽△ABC，可找到EG与已知条件的关系.
解：设正方形EFHG为加工成的正方形零件．边GH在BC上，顶点E、F分别在AB、AC上，△ABC的高AD与边EF相交于点K．设正方形的边长为x毫米．
因为EF∥BC，
所以∠AEF=∠B，∠AFE=∠C，
答：加工成的正方形零件的边长为48毫米.
1.另辟蹊径，一题多解
G·波利亚在《怎样解题》中指出：题目一旦获解，就立刻产生情感上的满足，这恰好错过了提高的机会.事实上没有一道题是可以解得十全十美的，总会剩下一些工作要做.经过认真的探讨与总结，总会有新的发现.而且在任何情况下，我们总能提高自己对这个问题的认识水平.在这一解题理念的指导下，通过分析图形的结构与条件，又可以得到以下解法.
解法1：利用面积作为相等关系，构造关于以正方形的边长为未知数的方程求解.
设正方形的边长为x毫米．
解法2：将正方形的边长EF转化到边BC上，利用相似三角形的对应边成比例求解.
例2.1 如图3，如果我们继续作△AEF的边EF上的正方形PQRS，那么此正方形的边长是多少呢？
郑毓信教授说过：“知识求连，方法求变，问题求活.”抓住问题的本质，联想学过的相关数学知识将习题进行改编，可以链接不少中考试题，进一步感悟、理解问题的本质，提升分析、研究问题的能力.
变式3.1 引例的正方形立于边长BC 上，同样立于其它两边上是不是也存在正方形？如果存在，3个正方形的边长与面积又有怎样的关系呢？
题目 （2011年江西）某课题学习小组在一次活动中对三角形的内接正方形的有关问题进行了探讨.
定义：如果一个正方形的四个顶点都在一个三角形的边上，那么我们就把这个正方形叫做三角形的内接正方形.
结论：在探讨的过程中，有三位同学得出了如下结果.
甲同学：在钝角、直角、不等边锐角三角形中分别存在____个、____个、____个大小不同的内接正方形.
乙同学：在直角三角形中，两个顶点都在斜边上的内接正方形的面积较大.
丙同学：在不等边锐角三角形中，两个顶点都在较大边上的内接正方形的面积反而较小.
任务：（1）填充甲同学结论中的数据；
（2）乙同学的结果正确吗？若不正确，请举出一个反例并通过计算给予说明；若正确，请给出证明；
（3）请你结合（2）的判定，推测丙同学的结论是否正确，并证明.
解析： （１）1，2，3.
（２）乙同学的结论不正确.
∴xa ∴在不等边锐角三角形中，两个顶点都在较大边上的内接正方形的面积反而较小.
变式3.2 保持引例的框架不变，让正方形EFHG的两个顶点E、F在边AB、AC上运动，并且以EF为边长构造正方形（保持EF∥BC），请同学们探究正方形与三角形重叠部分的面积与正方形的边长之间形成的函数关系.
题目 （2010年山东东营）如图5-1，在锐角三角形ABC中，BC=12，△ABC的面积为48，D、E分别是边AB、AC上的两个动点（D不与A、B重合），且保持DE∥BC，以DE为边，在点A的下方作正方形DEFG.
（1）当正方形DEFG的边GF在BC上时，求正方形DEFG的边长；
（2）设DE=x，△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为y，试求y关于x的函数关系式，写出x的取值范围，并求出y的最大值.
分析：（1）仿引例方法求解；（2）根据正方形DEFG与△ABC相对位置的重叠情形，需分两种情况：①当正方形DEFG在△ABC的内部时（如图5-1）；②当正方形DEFG的一部分在△ABC的外部时（如图5-3）.
解：（1）当正方形DEFG的边GF在BC上时，如图5-2.
过点A作BC边上的高AM交DE于N，垂足为M.
∵S△ABC=48，BC=12，
∴ AM=8.
∵DE∥BC，△ADE∽△ABC，
∴当正方形DEFG的边GF在BC上时，正方形DEFG的边长为4.8.
（2）分两种情况：
①当正方形DEFG在△ABC的内部时，如图5-1，△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为正方形DEFG的面积.
∵DE=x，∴y=x2，此时x的范围是0 ②当正方形DEFG的一部分在△ABC的外部时，如图5-3.设DG与BC交于点Q，EF与BC交于点P，△ABC的高AM交DE于N.
∵ DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
因为24>23.04，所以△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积的最大值为24.
变式3.3 将引例中内接正方形弱化条件变为内接矩形，引入函数的思想，探究内接矩形的最大面积，并使矩形沿底边所在的射线运动，分类探究与原三角形重叠的面积的变化情况.这便演变为2010年福建省福州市的一道中考题.
如图6-1，在△ABC中，∠C=45°，BC=10，高AD=8，矩形EFPQ的一边QP在边BC上，E、F两点分别在AB、AC上，AD交EF于点H.
（1）设EF=x，当x为何值时，矩形EFPQ的面积最大？并求其最大值；
（2）当矩形EFPQ的面积最大时，该矩形EFPQ以每秒1个单位的速度沿射线QC匀速运动（当点Q与点C重合时停止运动），设运动时间为t秒，矩形EFPQ与△ABC重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式.
分析：（1）根据“相似三角形对应高的比等于相似比”，用x表示出EQ的长，再利用矩形的面积公式得到关于x的二次函数，然后配方便可求出最大值.
（2）结合（1）可以求出QC=9，所以运动的时间不超过9秒.但在0≤t≤9的这段时间内，矩形EFPQ与△ABC重叠部分的形状是不同的，因此应分情况讨论.①当点P在点C的左侧运动时，0≤t<4，重合的图形为五边形（如图6-2）；②当点P运动到点C的右侧，且点E未到达边AC上时（点E到达边AC上时是一个分界点），此时4≤t<5，重合的图形为直角梯形（如图6-3）；③当矩形EFPQ继续沿射线QC匀速运动，5≤t≤9时，重合的图形为三角形（如图6-4），分别求出S与t的函数关系式即可.
解：（1）∵四边形EFPQ是矩形，∴ EF∥PQ，
∴△AEF ∽△ABC．
又∵AD⊥BC， ∴ AH⊥EF，
∴当x=5时，S矩形EFPQ有最大值，最大值为20．
（2）由（1）得，EF=5，EQ=4．
∵∠C=45°，∴ △FPC是等腰直角三角形．
∴ PC=FP=EQ=4，QC=QP+PC=9．
分三种情况讨论：
①如图6-２，当0≤t<4时，设EF、PF分别交AC于M、N，则△MFN是等腰直角三角形．
∴ FN=MF=t．
本文以一道课本习题为背景，通过一题多解，层层深入，将问题合理演变，凝题成链，织题成网.这有效地培养了同学们思维的灵活性、广阔性，促进了同学们良好的解题思维品质的养成.长期坚持下去，必定会激起探求数学奥秘的欲望，促进数学综合能力的发展，领略到“会当凌绝顶，一览众山小”的解题意境.
引例 如图1，△ABC是一块锐角三角形材料，边BC=120毫米，高AD=80毫米,要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上．这个正方形零件的边长是多少?
分析：假如EFHG为加工成的正方形零件，由AD⊥BC，所以△AEF的高可写成AK=AD-DK=AD-EG．再由△AEF∽△ABC，可找到EG与已知条件的关系.
解：设正方形EFHG为加工成的正方形零件．边GH在BC上，顶点E、F分别在AB、AC上，△ABC的高AD与边EF相交于点K．设正方形的边长为x毫米．
因为EF∥BC，
所以∠AEF=∠B，∠AFE=∠C，
答：加工成的正方形零件的边长为48毫米.
1.另辟蹊径，一题多解
G·波利亚在《怎样解题》中指出：题目一旦获解，就立刻产生情感上的满足，这恰好错过了提高的机会.事实上没有一道题是可以解得十全十美的，总会剩下一些工作要做.经过认真的探讨与总结，总会有新的发现.而且在任何情况下，我们总能提高自己对这个问题的认识水平.在这一解题理念的指导下，通过分析图形的结构与条件，又可以得到以下解法.
解法1：利用面积作为相等关系，构造关于以正方形的边长为未知数的方程求解.
设正方形的边长为x毫米．
解法2：将正方形的边长EF转化到边BC上，利用相似三角形的对应边成比例求解.
例2.1 如图3，如果我们继续作△AEF的边EF上的正方形PQRS，那么此正方形的边长是多少呢？
郑毓信教授说过：“知识求连，方法求变，问题求活.”抓住问题的本质，联想学过的相关数学知识将习题进行改编，可以链接不少中考试题，进一步感悟、理解问题的本质，提升分析、研究问题的能力.
变式3.1 引例的正方形立于边长BC 上，同样立于其它两边上是不是也存在正方形？如果存在，3个正方形的边长与面积又有怎样的关系呢？
题目 （2011年江西）某课题学习小组在一次活动中对三角形的内接正方形的有关问题进行了探讨.
定义：如果一个正方形的四个顶点都在一个三角形的边上，那么我们就把这个正方形叫做三角形的内接正方形.
结论：在探讨的过程中，有三位同学得出了如下结果.
甲同学：在钝角、直角、不等边锐角三角形中分别存在____个、____个、____个大小不同的内接正方形.
乙同学：在直角三角形中，两个顶点都在斜边上的内接正方形的面积较大.
丙同学：在不等边锐角三角形中，两个顶点都在较大边上的内接正方形的面积反而较小.
任务：（1）填充甲同学结论中的数据；
（2）乙同学的结果正确吗？若不正确，请举出一个反例并通过计算给予说明；若正确，请给出证明；
（3）请你结合（2）的判定，推测丙同学的结论是否正确，并证明.
解析： （１）1，2，3.
（２）乙同学的结论不正确.
∴xa
变式3.2 保持引例的框架不变，让正方形EFHG的两个顶点E、F在边AB、AC上运动，并且以EF为边长构造正方形（保持EF∥BC），请同学们探究正方形与三角形重叠部分的面积与正方形的边长之间形成的函数关系.
题目 （2010年山东东营）如图5-1，在锐角三角形ABC中，BC=12，△ABC的面积为48，D、E分别是边AB、AC上的两个动点（D不与A、B重合），且保持DE∥BC，以DE为边，在点A的下方作正方形DEFG.
（1）当正方形DEFG的边GF在BC上时，求正方形DEFG的边长；
（2）设DE=x，△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为y，试求y关于x的函数关系式，写出x的取值范围，并求出y的最大值.
分析：（1）仿引例方法求解；（2）根据正方形DEFG与△ABC相对位置的重叠情形，需分两种情况：①当正方形DEFG在△ABC的内部时（如图5-1）；②当正方形DEFG的一部分在△ABC的外部时（如图5-3）.
解：（1）当正方形DEFG的边GF在BC上时，如图5-2.
过点A作BC边上的高AM交DE于N，垂足为M.
∵S△ABC=48，BC=12，
∴ AM=8.
∵DE∥BC，△ADE∽△ABC，
∴当正方形DEFG的边GF在BC上时，正方形DEFG的边长为4.8.
（2）分两种情况：
①当正方形DEFG在△ABC的内部时，如图5-1，△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为正方形DEFG的面积.
∵DE=x，∴y=x2，此时x的范围是0
∵ DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
因为24>23.04，所以△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积的最大值为24.
变式3.3 将引例中内接正方形弱化条件变为内接矩形，引入函数的思想，探究内接矩形的最大面积，并使矩形沿底边所在的射线运动，分类探究与原三角形重叠的面积的变化情况.这便演变为2010年福建省福州市的一道中考题.
如图6-1，在△ABC中，∠C=45°，BC=10，高AD=8，矩形EFPQ的一边QP在边BC上，E、F两点分别在AB、AC上，AD交EF于点H.
（1）设EF=x，当x为何值时，矩形EFPQ的面积最大？并求其最大值；
（2）当矩形EFPQ的面积最大时，该矩形EFPQ以每秒1个单位的速度沿射线QC匀速运动（当点Q与点C重合时停止运动），设运动时间为t秒，矩形EFPQ与△ABC重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式.
分析：（1）根据“相似三角形对应高的比等于相似比”，用x表示出EQ的长，再利用矩形的面积公式得到关于x的二次函数，然后配方便可求出最大值.
（2）结合（1）可以求出QC=9，所以运动的时间不超过9秒.但在0≤t≤9的这段时间内，矩形EFPQ与△ABC重叠部分的形状是不同的，因此应分情况讨论.①当点P在点C的左侧运动时，0≤t<4，重合的图形为五边形（如图6-2）；②当点P运动到点C的右侧，且点E未到达边AC上时（点E到达边AC上时是一个分界点），此时4≤t<5，重合的图形为直角梯形（如图6-3）；③当矩形EFPQ继续沿射线QC匀速运动，5≤t≤9时，重合的图形为三角形（如图6-4），分别求出S与t的函数关系式即可.
解：（1）∵四边形EFPQ是矩形，∴ EF∥PQ，
∴△AEF ∽△ABC．
又∵AD⊥BC， ∴ AH⊥EF，
∴当x=5时，S矩形EFPQ有最大值，最大值为20．
（2）由（1）得，EF=5，EQ=4．
∵∠C=45°，∴ △FPC是等腰直角三角形．
∴ PC=FP=EQ=4，QC=QP+PC=9．
分三种情况讨论：
①如图6-２，当0≤t<4时，设EF、PF分别交AC于M、N，则△MFN是等腰直角三角形．
∴ FN=MF=t．
本文以一道课本习题为背景，通过一题多解，层层深入，将问题合理演变，凝题成链，织题成网.这有效地培养了同学们思维的灵活性、广阔性，促进了同学们良好的解题思维品质的养成.长期坚持下去，必定会激起探求数学奥秘的欲望，促进数学综合能力的发展，领略到“会当凌绝顶，一览众山小”的解题意境.