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“变教为学”的理念倡导学生的学习不是被动地接受，而是主动地思考。这种学习过程的实质就是学生在原有知识基础上的自主建构。但是，如何让学生实现自主建构？笔者认为，首先教师要采取一定方法及时了解学情，然后对学生学习效果作出诊断，并采取相应措施改进教学。正如浙江省教研员斯苗儿老师所倡导的“诊断—处方”式教学，即教师要像医生诊视病人判断其病症的方式进行教学。本文笔者就以“面积单位”一课的教学为例，分析典型课例，并从课堂中常见的困惑引出，从课前、课中、课后三个阶段进行跟进诊断，分析问题产生的原因，找准教学着力点，谈谈教学中如何实施跟进策略，促进学生实现自我建构。
【困惑一】学生的差异关注了吗？
关于“面积单位”的教学，常见的方法都是先教学其中一个面积单位，再逐个认识其他面积单位。那么到底选择哪个面积单位先认识比较合理呢？笔者访谈了20位一线数学老师，大致想法有两类：（1）选择学生比较容易掌握的“平方厘米”；（2）选择学生身边实例比较多的“平方分米”。但是，学生的想法真的如教师所预计的那样吗？
【跟进诊断】
笔者对三年级学生进行了课前的问卷和访谈，先让学生自学相关内容，在知道了常见的面积单位有平方厘米、平方分米、平方米，并且知道1平方厘米、1平方分米、1平方米的大小是如何规定的之后，再通过问卷，“你想先认识哪个面积单位？为什么？”统计数据见图1。在接受问卷调查的学生中，有22% 的学生想先认识“平方厘米”，理由是长度单位也是从厘米开始学习的；有27%的学生想先认识“平方米”，理由是生活中经常听到这个单位名称，用处比较大；只有9%的学生想先认识“平方分米”，认为处于中间的面积单位和前后两个单位都会有联系；而有近37%的学生想三个单位一起认识，理由是一起学习方便比较；5%的学生无所谓，都可以。
【诊断结果】 教师以经验代替学情，忽视学生的差异性。
【跟进策略】 关注差异 精准发力
在诊断出问题所在后，笔者首先在该课的教学中设计了这样一个问题：1平方厘米、1平方分米、1平方米，你能选择你最想认识的一个或几个，用你喜欢的方式表示出它们的大小吗？这样的设计给了学生自主选择的空间，也尊重了学生的个体差异。教育心理学家加涅认为：“不同学习者有着不同的知识和过程图式，对大多数学生显而易见的东西对另一个学生可能百思不得其解；应意识到唯有基于学习者个体差异的教学设计才是有针对性的教学设计。”在班级授课制的大环境下，要做到关注差异，实现自主建构，笔者认为，让学生根据自身需求自主选择学习内容和素材是一种比较好的做法。
接着，笔者改变了原来教学中“让学生找身边的实例来帮助记忆”的环节，而是创设了一个大问题“你是怎么记住1平方厘米、1平方分米、1平方米的大小的？”同样，也体现了让学生自主选择最适合自己的方法来建立对1个标准单位面积的表象。课堂中学生思维活跃，纷纷举手想要向同学介绍自己的经验。如此，既关注了学生的个性化差异，又促进了学生多途径建立表象。
【困惑二】学生的思维障碍点发现了吗？
“面积单位”一课的教学中，教师比较常用的教学模式是教师通过由扶到放的过程，让学生逐个认识面积单位。如首先由教师带领学生来认识平方厘米，接下来平方分米和平方米也都是让学生按照认识平方厘米的方法来认识。这样的教学，学生从模仿再到应用，看似是符合儿童建立概念的一般认知规律，但这样按照教师给定的步骤进行的学习真的是基于学生内心需求的自主学习吗？学生的思维障碍点能暴露出来吗？
【跟进诊断】
笔者先让学生自学，了解课本上是怎么规定1平方厘米、1平方分米、1平方米的大小的，然后提问：1平方厘米、1平方分米、1平方米，你能把它们的大小表示出来吗？其中有不少学生选择徒手在练习纸上画出1平方厘米和1平方分米。结果笔者发现78%的学生画1平方厘米画得比较接近实际，但是81%的学生画出的1平方分米和实际差距比较大。
【诊断结果】学生记住了概念的文字描述，却没有真正建立表象。
【跟进策略】多向求联 完善建构
（一）在不断纠错中完善表象
在课堂的跟进教学中，笔者的做法是首先让学生想象1平方厘米、1平方分米分别有多大，然后画下来。接着用标准的1平方厘米和1平方分米的正方形与之比一比。在对比中暴露学生原有认知中的真实情况，这时，大部分学生会发现，他们画的1平方厘米和标准正方形面积比较接近，而1平方分米却和标准正方形面积相差较大。接着，引导学生进行讨论，相互交流经验，将好的方法进行分享。最后，让学生运用方法再次来画一画刚才相差比较大的面积单位。通过不断纠错，实现文字描述与空间表象的联结，促进正确表象的形成。
（二）在灵活运用中深化概念
在学生的头脑中建立了1平方厘米、1平方分米、1平方米大小的正确表象后，笔者让学生估计物体表面的面积。如在估计数学书封面的面积时，学生中出现2平方分米和3平方分米两个答案，此时笔者引导学生思考，当遇到不能整个度量的面积时，如何灵活运用适当的方法（见图2）。进而引出在估计教室的一面墙的面积时，除了用1平方米的正方形去估计，还可以用已知的教室的门的面积大小来估计会更快更准确；要估计体育场的面积时，则可以借助教室地面面积来帮助估计。这样做不但将书本知识与生活实际相关联，还提高了学生对度量单位的认识，深化了面积单位的内涵。
【困惑三】学生的易错点深究了吗？
在笔者查找关于“面积单位”的大量教学设计过程中，发现了几个共性问题。几乎所有的教师都会在学生初步认识某个面积单位后，引导学生寻找身边的实例来建立表象，并要求学生动手实践量一量。学生看似获得了充分的体验，但在课后有关选择合适的面积单位的练习中还是屡屡犯错。另外，很多教师因为怕长度单位会给学生认识面积单位带来干扰，于是在面积单位概念建立的过程中都避免出现长度单位，只在后续的练习中会出现对比选择。但是，教师的用心良苦似乎也没有获得回报，有相当一部分学生面对这类问题时还是会出错。 【跟进诊断】
笔者通过对照班（按照常见的典型设计上课的班级）学生的后测问卷测试统计，发现学生的错误主要有三类：（1）长度单位和面积单位选择出错；（2）对于指定的物品的面积，不知道选择哪个面积单位更合适；（3）面对不规则图形的面积估算时，容易出错。笔者为此与一些一线教师进行了交流，教师们一致认为，长度单位和面积单位混淆是个老大难的问题；还有教师提出困惑：1平方厘米、1平方分米、1平方米面积大小相差这么大，学生选合适的单位时，怎么就经常会选错？
【诊断结果】表象建立不深刻，缺乏整体认知。
【跟进策略】利用对比 深化建构
（一）巧用联系，化“负”为“正”
长度单位和面积单位混淆的最大原因是：长度是一维的量，却总是存在于二维图形中。它们有区别，又有联系。在以往教学中教师往往都很重视两者之间的区别，却很少关注两者的联系。其实巧妙地利用好两者之间的联系，能起到深化两个概念的本质区别的作用。
对此，笔者在课堂教学中运用了以下四步策略。
第一步，关注名称，初步感知区别。“面积单位和长度单位文字上最大的区别是什么？”让学生直接从字面上感知长度单位和面积单位的区别和联系。
第二步，借助一维长度，构建二维面积大小。上课伊始，笔者先带领学生复习长度单位有哪些。让学生用手比画一下1厘米、1分米、1米分别有多长。而在学生认识了面积单位后，再让学生用手比画出1平方厘米、1平方分米、1平方米的大小。这时，学生就能利用已有的长度比画的经验，来构建二维的1平方厘米、1平方分米、1平方米的大小。
第三步，利用“负迁移”，凸显“二维量”的本质。学生确实容易受长度“负迁移”，较难理解面积单位是二维空间的量。但是这样的“负迁移”如果利用得当，一样可以成为教学的助力，从而深化学生对面积单位本质的理解。如课中笔者提出了“边长是2厘米的正方形面积是多少平方厘米？”（见图3）这样一个问题。
问题乍一抛出，大部分学生都认为是2平方厘米。这正反映出了学生对面积单位是二维量没有深刻理解。笔者通过让学生想象：2个1平方厘米的正方形摆出来是什么样子的？学生很快想到了不可能摆成这样一个正方形。接着引导学生去摆一摆，深化理解，除了考虑一边可以摆2个1平方厘米的正方形外，还要考虑可以摆几行。由此，逐步深刻理解面积单位是二维量的本质。同时，也培养了学生的空间观念。
第四步，关注联系，深化区别。如何从联系中认识到概念本质的区别？在教学中，笔者设计了“请你选择合适的工具来量一量：长度为4厘米的线段和面积是4平方厘米的长方形”的活动。并为学生准备了尺子和面积是1平方厘米的正方形。在学生动手量一量后，教师引导：量线段长度你们选择什么工具来量？有没有用别的工具的？这时除了用直尺来量线段外，还有学生想到了用面积是1平方厘米的正方形也可以量线段的长度（见图4）。教师小结：同学们拿的是面积是1平方厘米的正方形，实际上用的是它的边长1厘米去量。多样化的量法，打破了学生原有的思维定势。此时，也有学生想到了用尺子可以去量面积，尺子量出长方形长是4厘米，宽是1厘米，可以想象出这里可以摆4个1平方厘米的正方形，也就是4平方厘米（见图5）。教师适时总结：你用的是长度单位去量，看到的是4厘米，想的是可以摆4个1平方厘米的正方形。通过换位度量，凸显了长度单位和面积单位的本质区别，而且也促进了学生空间想象能力的培养。最后再启发学生思考：生活中人们量长度的时候，用工具尺子来度量，量面积的时候，怎么没有直接度量面积的工具呢？学生通过思辨后，认为有了测量长度的工具，量出长度后，就可以计算出能摆多少个面积单位，因此不需要直接度量面积的工具了。学生的精彩发言，说明他们是真正理解了长度单位和面积单位的本质，同时，也为后续学习长方形面积计算作了渗透。
（二）对比区别， 化“零”为“整”
为什么学生在选择合适单位度量物体表面面积时会不知所措？笔者以为，原有的“面积单位”教学，学生对三个单位之间的认识是独立的、零星的、散状的，缺乏知识间的联系、对比，没有一个整体感知。而在实际运用中，往往要经历一个从多个面积单位中选择合适的面积单位的过程，这个过程就是一个比较、区别的过程。要解决这一矛盾，笔者尝试了整体认知、对比教学、灵活运用的策略。
首先，三个面积单位的概念教学，从边长是1厘米的正方形面积是1平方厘米入手，迁移到1平方分米、1平方米是怎么规定的，整体感知三者的联系。然后，引导学生把文字表达的内容通过想象初步建立表象，脑中呈现边长分别是1厘米、1分米、1米的三个大小不一的正方形。然后教师逐步出示三个实物图，有意地叠放在一起。让学生直观感知三者之间的大小差异。再向学生提问，如何记住1平方厘米、1平方分米、1平方米这三个正方形的大小？这时有学生会联想到1平方分米的正方形，一行可以摆10个1平方厘米的正方形，可以摆10排，100个1平方厘米的正方形平铺在一起就是1平方分米。整体认知中感受到相邻面积单位间较大的差距，为学生选择合适面积单位提供了表象的支撑。同时，为后续“单位进率”的学习积累活动经验。
诊断式教学模式还需要逐步的推进和不断的研究。但是首先需要的是教师能在头脑中建立起一种诊断的思想，并让其有意识地渗透于整个教学活动中，最终促使教师实现个性化的教学，学生实现个性化的学习与发展。
（浙江省温州市瓯海区实验小学 325014）
【困惑一】学生的差异关注了吗？
关于“面积单位”的教学，常见的方法都是先教学其中一个面积单位，再逐个认识其他面积单位。那么到底选择哪个面积单位先认识比较合理呢？笔者访谈了20位一线数学老师，大致想法有两类：（1）选择学生比较容易掌握的“平方厘米”；（2）选择学生身边实例比较多的“平方分米”。但是，学生的想法真的如教师所预计的那样吗？
【跟进诊断】
笔者对三年级学生进行了课前的问卷和访谈，先让学生自学相关内容，在知道了常见的面积单位有平方厘米、平方分米、平方米，并且知道1平方厘米、1平方分米、1平方米的大小是如何规定的之后，再通过问卷，“你想先认识哪个面积单位？为什么？”统计数据见图1。在接受问卷调查的学生中，有22% 的学生想先认识“平方厘米”，理由是长度单位也是从厘米开始学习的；有27%的学生想先认识“平方米”，理由是生活中经常听到这个单位名称，用处比较大；只有9%的学生想先认识“平方分米”，认为处于中间的面积单位和前后两个单位都会有联系；而有近37%的学生想三个单位一起认识，理由是一起学习方便比较；5%的学生无所谓，都可以。
【诊断结果】 教师以经验代替学情，忽视学生的差异性。
【跟进策略】 关注差异 精准发力
在诊断出问题所在后，笔者首先在该课的教学中设计了这样一个问题：1平方厘米、1平方分米、1平方米，你能选择你最想认识的一个或几个，用你喜欢的方式表示出它们的大小吗？这样的设计给了学生自主选择的空间，也尊重了学生的个体差异。教育心理学家加涅认为：“不同学习者有着不同的知识和过程图式，对大多数学生显而易见的东西对另一个学生可能百思不得其解；应意识到唯有基于学习者个体差异的教学设计才是有针对性的教学设计。”在班级授课制的大环境下，要做到关注差异，实现自主建构，笔者认为，让学生根据自身需求自主选择学习内容和素材是一种比较好的做法。
接着，笔者改变了原来教学中“让学生找身边的实例来帮助记忆”的环节，而是创设了一个大问题“你是怎么记住1平方厘米、1平方分米、1平方米的大小的？”同样，也体现了让学生自主选择最适合自己的方法来建立对1个标准单位面积的表象。课堂中学生思维活跃，纷纷举手想要向同学介绍自己的经验。如此，既关注了学生的个性化差异，又促进了学生多途径建立表象。
【困惑二】学生的思维障碍点发现了吗？
“面积单位”一课的教学中，教师比较常用的教学模式是教师通过由扶到放的过程，让学生逐个认识面积单位。如首先由教师带领学生来认识平方厘米，接下来平方分米和平方米也都是让学生按照认识平方厘米的方法来认识。这样的教学，学生从模仿再到应用，看似是符合儿童建立概念的一般认知规律，但这样按照教师给定的步骤进行的学习真的是基于学生内心需求的自主学习吗？学生的思维障碍点能暴露出来吗？
【跟进诊断】
笔者先让学生自学，了解课本上是怎么规定1平方厘米、1平方分米、1平方米的大小的，然后提问：1平方厘米、1平方分米、1平方米，你能把它们的大小表示出来吗？其中有不少学生选择徒手在练习纸上画出1平方厘米和1平方分米。结果笔者发现78%的学生画1平方厘米画得比较接近实际，但是81%的学生画出的1平方分米和实际差距比较大。
【诊断结果】学生记住了概念的文字描述，却没有真正建立表象。
【跟进策略】多向求联 完善建构
（一）在不断纠错中完善表象
在课堂的跟进教学中，笔者的做法是首先让学生想象1平方厘米、1平方分米分别有多大，然后画下来。接着用标准的1平方厘米和1平方分米的正方形与之比一比。在对比中暴露学生原有认知中的真实情况，这时，大部分学生会发现，他们画的1平方厘米和标准正方形面积比较接近，而1平方分米却和标准正方形面积相差较大。接着，引导学生进行讨论，相互交流经验，将好的方法进行分享。最后，让学生运用方法再次来画一画刚才相差比较大的面积单位。通过不断纠错，实现文字描述与空间表象的联结，促进正确表象的形成。
（二）在灵活运用中深化概念
在学生的头脑中建立了1平方厘米、1平方分米、1平方米大小的正确表象后，笔者让学生估计物体表面的面积。如在估计数学书封面的面积时，学生中出现2平方分米和3平方分米两个答案，此时笔者引导学生思考，当遇到不能整个度量的面积时，如何灵活运用适当的方法（见图2）。进而引出在估计教室的一面墙的面积时，除了用1平方米的正方形去估计，还可以用已知的教室的门的面积大小来估计会更快更准确；要估计体育场的面积时，则可以借助教室地面面积来帮助估计。这样做不但将书本知识与生活实际相关联，还提高了学生对度量单位的认识，深化了面积单位的内涵。
【困惑三】学生的易错点深究了吗？
在笔者查找关于“面积单位”的大量教学设计过程中，发现了几个共性问题。几乎所有的教师都会在学生初步认识某个面积单位后，引导学生寻找身边的实例来建立表象，并要求学生动手实践量一量。学生看似获得了充分的体验，但在课后有关选择合适的面积单位的练习中还是屡屡犯错。另外，很多教师因为怕长度单位会给学生认识面积单位带来干扰，于是在面积单位概念建立的过程中都避免出现长度单位，只在后续的练习中会出现对比选择。但是，教师的用心良苦似乎也没有获得回报，有相当一部分学生面对这类问题时还是会出错。 【跟进诊断】
笔者通过对照班（按照常见的典型设计上课的班级）学生的后测问卷测试统计，发现学生的错误主要有三类：（1）长度单位和面积单位选择出错；（2）对于指定的物品的面积，不知道选择哪个面积单位更合适；（3）面对不规则图形的面积估算时，容易出错。笔者为此与一些一线教师进行了交流，教师们一致认为，长度单位和面积单位混淆是个老大难的问题；还有教师提出困惑：1平方厘米、1平方分米、1平方米面积大小相差这么大，学生选合适的单位时，怎么就经常会选错？
【诊断结果】表象建立不深刻，缺乏整体认知。
【跟进策略】利用对比 深化建构
（一）巧用联系，化“负”为“正”
长度单位和面积单位混淆的最大原因是：长度是一维的量，却总是存在于二维图形中。它们有区别，又有联系。在以往教学中教师往往都很重视两者之间的区别，却很少关注两者的联系。其实巧妙地利用好两者之间的联系，能起到深化两个概念的本质区别的作用。
对此，笔者在课堂教学中运用了以下四步策略。
第一步，关注名称，初步感知区别。“面积单位和长度单位文字上最大的区别是什么？”让学生直接从字面上感知长度单位和面积单位的区别和联系。
第二步，借助一维长度，构建二维面积大小。上课伊始，笔者先带领学生复习长度单位有哪些。让学生用手比画一下1厘米、1分米、1米分别有多长。而在学生认识了面积单位后，再让学生用手比画出1平方厘米、1平方分米、1平方米的大小。这时，学生就能利用已有的长度比画的经验，来构建二维的1平方厘米、1平方分米、1平方米的大小。
第三步，利用“负迁移”，凸显“二维量”的本质。学生确实容易受长度“负迁移”，较难理解面积单位是二维空间的量。但是这样的“负迁移”如果利用得当，一样可以成为教学的助力，从而深化学生对面积单位本质的理解。如课中笔者提出了“边长是2厘米的正方形面积是多少平方厘米？”（见图3）这样一个问题。
问题乍一抛出，大部分学生都认为是2平方厘米。这正反映出了学生对面积单位是二维量没有深刻理解。笔者通过让学生想象：2个1平方厘米的正方形摆出来是什么样子的？学生很快想到了不可能摆成这样一个正方形。接着引导学生去摆一摆，深化理解，除了考虑一边可以摆2个1平方厘米的正方形外，还要考虑可以摆几行。由此，逐步深刻理解面积单位是二维量的本质。同时，也培养了学生的空间观念。
第四步，关注联系，深化区别。如何从联系中认识到概念本质的区别？在教学中，笔者设计了“请你选择合适的工具来量一量：长度为4厘米的线段和面积是4平方厘米的长方形”的活动。并为学生准备了尺子和面积是1平方厘米的正方形。在学生动手量一量后，教师引导：量线段长度你们选择什么工具来量？有没有用别的工具的？这时除了用直尺来量线段外，还有学生想到了用面积是1平方厘米的正方形也可以量线段的长度（见图4）。教师小结：同学们拿的是面积是1平方厘米的正方形，实际上用的是它的边长1厘米去量。多样化的量法，打破了学生原有的思维定势。此时，也有学生想到了用尺子可以去量面积，尺子量出长方形长是4厘米，宽是1厘米，可以想象出这里可以摆4个1平方厘米的正方形，也就是4平方厘米（见图5）。教师适时总结：你用的是长度单位去量，看到的是4厘米，想的是可以摆4个1平方厘米的正方形。通过换位度量，凸显了长度单位和面积单位的本质区别，而且也促进了学生空间想象能力的培养。最后再启发学生思考：生活中人们量长度的时候，用工具尺子来度量，量面积的时候，怎么没有直接度量面积的工具呢？学生通过思辨后，认为有了测量长度的工具，量出长度后，就可以计算出能摆多少个面积单位，因此不需要直接度量面积的工具了。学生的精彩发言，说明他们是真正理解了长度单位和面积单位的本质，同时，也为后续学习长方形面积计算作了渗透。
（二）对比区别， 化“零”为“整”
为什么学生在选择合适单位度量物体表面面积时会不知所措？笔者以为，原有的“面积单位”教学，学生对三个单位之间的认识是独立的、零星的、散状的，缺乏知识间的联系、对比，没有一个整体感知。而在实际运用中，往往要经历一个从多个面积单位中选择合适的面积单位的过程，这个过程就是一个比较、区别的过程。要解决这一矛盾，笔者尝试了整体认知、对比教学、灵活运用的策略。
首先，三个面积单位的概念教学，从边长是1厘米的正方形面积是1平方厘米入手，迁移到1平方分米、1平方米是怎么规定的，整体感知三者的联系。然后，引导学生把文字表达的内容通过想象初步建立表象，脑中呈现边长分别是1厘米、1分米、1米的三个大小不一的正方形。然后教师逐步出示三个实物图，有意地叠放在一起。让学生直观感知三者之间的大小差异。再向学生提问，如何记住1平方厘米、1平方分米、1平方米这三个正方形的大小？这时有学生会联想到1平方分米的正方形，一行可以摆10个1平方厘米的正方形，可以摆10排，100个1平方厘米的正方形平铺在一起就是1平方分米。整体认知中感受到相邻面积单位间较大的差距，为学生选择合适面积单位提供了表象的支撑。同时，为后续“单位进率”的学习积累活动经验。
诊断式教学模式还需要逐步的推进和不断的研究。但是首先需要的是教师能在头脑中建立起一种诊断的思想，并让其有意识地渗透于整个教学活动中，最终促使教师实现个性化的教学，学生实现个性化的学习与发展。
（浙江省温州市瓯海区实验小学 325014）