我们常见的一些关于三角形的边长的几何不等式都是轮换对称的（如果f （x，y，z）= f （y，z，x）= f （z，x，y），则f （x，y，z）叫做关于x，y，z是轮换对称的），如Weitzenb ck不等式，Finsler-Hadwiger不等式等等[1]。最近，笔者偶然发现了三角形的一个打破了这种对称性的几何不等式，耐人寻味.
　　定理 设a、b、c是一个三角形的三边长，则有
　　下面给出不等式（*）的三种不同的证明. 其中证法1是直接配方；证法2则是将关于三角形边长的不等式通过代换转化为一般的关于正实数的不等式；证法3作为一个几何证明，虽有冗长之嫌，但它揭示了不等式（*）的几何意义，给出了不等式（*）的一个几何解释. 这三种证明代表了三角形中的几何不等式的三种典型的处理方法。
　　证法1 因a，b，c>0，所以
　　4abc2-（a+b）2（b+c-a）（c+a-b）=4abc2-（a+b）2（[c2-（a-b）2]
　　=（a+b）2（a-b）2-（a-b）2c2=（a+b+c）（a+b-c）（a-b）2≥0.
　　于是，再由b+c-a >0， c+a-b >0即得
　　这就证明了不等式（*）.等式成立当且仅当a=b，且
　　证法2 因b+c-a>0， c+a-b>0，a+b-c>0，所以，令2x=b+c-a，2y=c+a-b，2z=a+b-c，则x>0，y>0，z>0，且a=y+z，b=z+x，c=x+y，于是
　　a3+b3+c3+abc-2a（b2+c2）
　　=（y+z）3+（z+x）3+（x+y）3+（y+z）（z+x）（x+y）-2（y+z）[ （z+x） 2+（x+y）2]
　　=2（x3+y2z+yz2-3xyz）
　　但由算术-几何平均不等式，有x3+y2z+yz2≥3xyz.所以
　　4abc2-（a+b）2（b+c-a）（c+a-b）=2（x3+y2z+yz2-3xyz≥0.
　　故不等式（*）成立.等式成立当且仅当 ，当且仅当x=y=z，当且仅当a=b=c.
　　证法3 设a、b、c是ΔABC的三边长，如图，作ΔA′BC，使∠A′BC=90° ，∠BCA′=90° ，则∠A′=90° ，由正弦定理，
　　于是，再由三角形的半角公式[2]，有（往下的讨论中，p， Δ分别表示ΔABC的半周长与面积）
　　又∠ABA′=90° -B，所以，由三角形的半角公式、余弦定理及Heron公式，有
　　再由余弦定理，便有
　　a3+b3+c3+abc≥2a（b2+c2）=（ b+c-a ）A′A2 ≥0.
　　因而不等式（*）成立. 等式成立当且仅当A′≡A，当且仅当A=90° ，B=90° ，C=90° ，当且仅当A=B=C=60°，当且仅当a=b=c.