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有关直线与圆锥曲线的位置关系在高考解答题中占据重要的位置，且选择、填空题也有涉及，直线与圆锥曲线的位置关系的题目一般会涉及线段中点、弦长等. 分析这类问题，往往利用数形结合的思想和“设而不求”的方法、对称的方法及韦达定理等. 根据课标的要求，通过本章的学习，应掌握如下知识要点：掌握直线与圆锥曲线的位置关系判定及其相关问题；了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；由方程研究曲线的思想，特别是有关圆锥曲线的几何性质问题常化为等式解决，应加强等价转化思想的训练与应用；通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想. 下面是有关直线与圆锥曲线的位置关系的常见题型：
题型一：直线与圆锥曲线的公共点及弦长问题
这类问题常涉及到圆锥曲线的性质和直线的基本知识点、线段的中点、弦长、垂直问题，因此分析问题时利用数形结合思想，用设而不求法与弦长公式及韦达定理联系去解决. 具体地说，直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程组是否有实数解或实数解的个数问题，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法；当直线与圆锥曲线相交时，涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化.
例1 过点[P(7,5)]与双曲线[x27-y225=1]有且只有一个公共点的直线有几条，分别求出它们的方程.
解析 若直线的斜率不存在时，则[x=7]，此时仅有一个交点[(7,0)]，满足条件；
若直线的斜率[k]存在时，设直线的方程为[y-5=k(x-7)]，则[y=kx+5-k7]，
[x27-(kx+5-k7)225=1]，
∴[25x2-7(kx+5-k7)2=7×25]，
[(25-7k2)x2-7×2kx(5-k7)+(5-k7)2-7×25=0,]
当[k=577]时，方程无解，不满足条件；
当[k=-577]时，[2×57x×10=75]方程有一解，满足条件；
当[k2≠257]时，
令[Δ=[14k(5-k7)]2-4(25-7k2)[(5-k7)2]
[-165]=0,]
化简知[k]无解，所以不满足条件；
所以满足条件的直线有两条[x=7]和[y=-577x+10].
点评 与双曲线只有一个公共点的直线有两种：一种是与渐近线平行的两条与双曲线交于一点的直线；另一种是与双曲线相切的直线也有两条. 另外直线与抛物线只有一个公共点时也有相切及与对称轴平行两种情形，需要特别指出的是，直线与双曲线的交点有交于一支及交于两支两种情形，由两根之积决定.
题型二：与圆锥曲线有关轨迹问题
例2 在直角坐标系[xOy]中，点[P]到两点[(0，-3)]、[(0，3)]的距离之和等于4，设点[P]的轨迹为[C]，直线[y=kx+1]与[C]交于[A、B]两点.
（1）写出[C]的方程；
（2）若[OA][⊥][OB]，求k的值；
（3）若点[A]在第一象限，证明：当[k>0]时，恒有 |[OA]|>|[OB]|.
解析 （1）设[P(x，y)，]由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以[(0,-3)、 (0，3)]为焦点，长半轴为2的
椭圆. 它的短半轴[b=22-(3)2=1]，
故曲线[C]的方程为[x2+y24=1].
（2）设[A(x1，y1)，B(x2，y2)]，其坐标满足
[x2+y24=1，y=kx+1.]
消去[y]并整理得[(k2+4)x2+2kx-3=0]，
故[x1+x2=-2kk2+4，x1x2=-3k2+4].
若[OA⊥OB]，即[x1x2+y1y2=0].
而[y1y2=k2x1x2+k(x1+x2)+1]，
于是[x1x2+y1y2=-3k2+4-3k2k2+4-2k2k2+4+1=0,]
化简得[-4k2+1=0]，所以[k=±12].
（3）[OA2-OB2=x21+y21-(x22+y22)]
[=(x21-x22)+4(1-x21-1+x22)]
[=-3(x1-x2)(x1+x2)]
[=6k(x1-x2)k2+4].
因为A在第一象限，故[x1>0].
由[x1x2=-3k2+4]知[x2<0]，从而[x1-x2>0].
又[k>0]，故[OA2-OB2>0]
即在题设条件下，恒有[OA>OB].
点评 本题主要考查椭圆的定义、标准方程及直线与椭圆位置关系等基础知识，考查综合运用解析几何知识解决问题的能力.
题型三：与圆锥曲线有关范围问题
例3 过双曲线的一焦点的直线垂直于一渐近线，且与双曲线的两支相交，求该双曲线离心率的范围.
解析 设双曲线的方程为[x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)]，[F(c,0)]，渐近线[y=bax]，则过[F]的直线方程为[y=-ab(x-c)]，则[b2x2-a2y2-a2b2=0,y=-ab(x-c),]
代入得[(b4-a4)x2+2a4cx-a4c2-a2b4=0]，
∴[Δ>0,x1x2<0,]得[b4>a4]，
∴[b>a]，即得到[e>2].
点评 此类题往往将直线与圆锥曲线的几何要素建立起对应关系，通过判别式确定取值范围.
例4 已知双曲线[x2a2-y2b2=1][(a>0,b<0)]的右焦点为[F]，若过点[F]且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ）
A. (1，2) B. (1，2)
C. [2，+∞] D. (2，+∞)
解析 双曲线[x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)]的右焦点为[F]，若过点[F]且倾斜角为[60°]的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率[ba]，
∴ [ba]≥[3]，离心率[e2=c2a2=a2+b2a2≥4]，
∴ [e≥2]，选C.
题型四：圆锥曲线的综合问题
圆锥曲线也常和数列、三角、平面向量、不等式、推理知识结合到一块出现部分有较强区分度的综合题，这类题体现了在“知识交汇点处命题的原则”.
例5 设椭圆[C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)]过点[M(2,1)]，且左焦点为[F1(-2,0)].
（1）求椭圆[C]的方程；
（2）当过点[P(4,1)]的动直线[l]与椭圆[C]相交于两不同点[A、B]时，在线段[AB]上取点[Q]，满足[AP⋅QB=AQ⋅PB]，证明：点[Q]总在某定直线上.
解析 （1）由题意：
[c2=2,2a2+1b2=1c2=a2-b2,]，解得[a2=4,b2=2]，
所求椭圆方程为 [x24+y22=1.]
（2） 设点[Q]、[A]、[B]的坐标分别为[(x,y)、(x1,y1)、(x2,y2)].
由题设知[AP、PB、AQ、QB]均不为零，记[λ=APPB=AQQB],则[λ>0]且[λ≠1.]
又[A、P、B、Q]四点共线，
从而[AP=-λPB,AQ=λQB，]
于是[4=x1-λx21-λ]， [1=y1-λy21-λ.]
[x=x1+λx21+λ]， [y=y1+λy21+λ,]
从而 [x21-λ2x221-λ2=4x]，①
[y21-λ2y221-λ2=y]，②
又点[A、B]在椭圆[C]上，即
[x21+2y21=4,③] [x22+2y22=4,④]
①+②×2并结合③④得[4x+2y=4,]
即点[Q(x,y)]总在定直线[2x+y-2=0]上
点评 本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力.
专题训练五
一、选择题
1. 若[m≠0]，则过（1，-1）的直线[ax+3my+2a=0]的斜率为（ ）
A. 1 B. -3 C. [13] D. -[13]
2. 若圆[x2+y2-2x-4y=0]的圆心到直线[x-y+a=0]的距离为[22],则[a]的值为（ ）
A. -2或2 B. [12或32] C. 2或0 D. -2或0
3. 经过抛物线[y2=2x]的焦点且平行于直线[3x-2y+5=0]的直线[l]的方程是（ ）
A. [6x-4y-3=0] B. [3x-2y-3=0]
C. [2x+3y-2=0] D. [2x+3y-1=0]
4. 设[F1、F2]为曲线[C1]：[x26+y22=1]的焦点，[P]是曲线[C2]：[x23-y2=1]与[C1]的一个交点，则[△PF1F2]的面积为（ ）
A. [14] B. [2]1 C. D. [22]
5. 双曲线[x2b2-y2a2=1]的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率为（ ）
A. [3] B. 2 C. [2] D. [32]
6. 如图，过抛物线[y2=2px(p>0)]的焦点[F]的直线[l]交抛物线于点[A、B]，交其准线于点[C]，若[|BC|=2|BF|]，且[|AF|=3]，则此抛物线的方程为（ ）
A. [y2=32x] B. [y2=3x]
C. [y2=92x] D. [y2=9x]
7. 在同一坐标系中，方程[x2a2+y2b2=1]与[ax+by2=0(a>b>0)]的曲线大致是（ ）
[A B C D]
8. 过双曲线[M:x2-y2b2=1]的左顶点[A]作斜率为1的直线[l],若[l]与双曲线[M]的两条渐近线分别相交于[B、C,]且[|AB|=|BC|,]则双曲线[M]的离心率是 ( )
A. [10] B. [5] C. [103] D. [52]
9. 已知点[M(a，b)(ab≠0)]是图[x2+y2=r2]内一点，直线[g]是以[M]为中点的弦所在直线，直线[l]的方程为[ax+by+r2=0]，则（ ）
A. [l∥g]，且[l]与圆相离
B. [l⊥g]，且[l]与圆相切
C. [l∥g]，且[l]与圆相交
D. [l⊥g]，且[l]与圆相离
10. 已知两点[M1,54], [N-4,-54], 给出下列曲线方程： ①[4x+y-1=0;] ②[x2+y2=3;]
③[x22+y2=1] ；④[x22-y2=1]. 在曲线上存在点[P]满足[MP=NP]的所有曲线方程是（ ）
A. ①②④ B. ①③
C. ②④ D. ②③④
二、填空题
11. 已知两点[A]（3，2）和[B]（－1，4）到直线[l]:[mx+y+3=0]距离相等，则[m]值为 .
12. 过点[M]（1，2）的直线[l]将圆[A:][x-22+y2=9]分成两段弧，其中当劣弧最短时，直线[l]的方程为 .
13. 如图，[F1、F2]分别为椭圆[x2a2+y2b2=1]的左、右焦点， 点[P]在椭圆上，[△POF2]是面积为[3]的正三角形，则[b2]的值是 .
14. 已知双曲线[x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)]的左右焦点分别为[F1、F2，]点[P]在双曲线的右支上，且[|PF1|=4|PF2|]，则此双曲线的离心率的最大值是
.
15. 若直线[2ax-by+2=0(a>0,b>0)]被圆[x2+y2+2x-4y+1=0]截得的弦长为4，则[1a+1b]的最小值是 .
三、解答题
16. 自点[A(-3，3)]发出的光线[l]射到[x]轴上，被[x]轴反射，其反射光线[m]所在直线与圆[x2+y2-][4x-4y+7=0]相切，求光线[l]与[m]所在直线方程.
17. 已知圆[x2+y2+8x-4y=0]与以原点为圆心的某圆关于直线[y=kx+b]对称.
（1）求[k、b]的值；
（2）若这时两圆的交点为[A、B]，求[∠AOB]的度数.
18. 如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状.
（1）若最大拱高[h]为6米，则隧道设计的拱宽[l]是多少？
（2）若最大拱高[h]不小于6米，则应如何设计拱高[h]和拱宽[l]，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小？
（半个椭圆的面积公式为[S=π4lh]，柱体体积为：底面积乘以高. ）
19. 已知椭圆[E]的方程为[x2a2+y2b2=1(a>b>0),]双曲线[x2a2-y2b2=1]的两条渐近线为[l1]和[l2]，过椭圆[E]的右焦点[F]作直线[l]，使得[l⊥l2]于点[C]，又[l]与[l1]交于点[P]，[l]与椭圆[E]的两个交点从上到下依次为[A、B]（如图）.
（1）当直线[l1]的倾斜角为[30°]，双曲线的焦距为8时，求椭圆的方程；
（2）设[PA=λ1AF,PB=λ2BF]，证明：[λ1+λ2]为常数.
20. 若椭圆[x2a2+y2b2=1(a>b>0)]过点（-3，2），离心率为[33]，[⊙O]的圆心为原点，直径为椭圆的短轴，[⊙M]的方程为[(x-8)2+(y-6)2=4]，过[⊙M]上任一点[P]作[⊙O]的切线[PA、PB]，切点为[A、B].
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线[PA]与[⊙M]的另一交点为[Q]，当弦[PQ]最大时，求直线[PA]的直线方程；
（3）求[OA⋅OB]的最大值与最小值.
21. 已知曲线[C：xy=1]，过C上一点[An(xn , yn)]作一斜率为[kn=-1xn+2]的直线交曲线[C]于另一点[An+1(xn+1 , yn+1)]，点列[An(n=1 , 2 , 3 , ⋯)]的横坐标构成数列{[xn]}，其中[x1=117].
（1）求[xn]与[xn+1]的关系式；
（2）求证：{[1xn-2+13]}是等比数列；
（3）求证：[(-1)x1+(-1)2x2+(-1)3x3+⋯+(-1)nxn][<1(n∈N , n≥1)].
题型一：直线与圆锥曲线的公共点及弦长问题
这类问题常涉及到圆锥曲线的性质和直线的基本知识点、线段的中点、弦长、垂直问题，因此分析问题时利用数形结合思想，用设而不求法与弦长公式及韦达定理联系去解决. 具体地说，直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程组是否有实数解或实数解的个数问题，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法；当直线与圆锥曲线相交时，涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化.
例1 过点[P(7,5)]与双曲线[x27-y225=1]有且只有一个公共点的直线有几条，分别求出它们的方程.
解析 若直线的斜率不存在时，则[x=7]，此时仅有一个交点[(7,0)]，满足条件；
若直线的斜率[k]存在时，设直线的方程为[y-5=k(x-7)]，则[y=kx+5-k7]，
[x27-(kx+5-k7)225=1]，
∴[25x2-7(kx+5-k7)2=7×25]，
[(25-7k2)x2-7×2kx(5-k7)+(5-k7)2-7×25=0,]
当[k=577]时，方程无解，不满足条件；
当[k=-577]时，[2×57x×10=75]方程有一解，满足条件；
当[k2≠257]时，
令[Δ=[14k(5-k7)]2-4(25-7k2)[(5-k7)2]
[-165]=0,]
化简知[k]无解，所以不满足条件；
所以满足条件的直线有两条[x=7]和[y=-577x+10].
点评 与双曲线只有一个公共点的直线有两种：一种是与渐近线平行的两条与双曲线交于一点的直线；另一种是与双曲线相切的直线也有两条. 另外直线与抛物线只有一个公共点时也有相切及与对称轴平行两种情形，需要特别指出的是，直线与双曲线的交点有交于一支及交于两支两种情形，由两根之积决定.
题型二：与圆锥曲线有关轨迹问题
例2 在直角坐标系[xOy]中，点[P]到两点[(0，-3)]、[(0，3)]的距离之和等于4，设点[P]的轨迹为[C]，直线[y=kx+1]与[C]交于[A、B]两点.
（1）写出[C]的方程；
（2）若[OA][⊥][OB]，求k的值；
（3）若点[A]在第一象限，证明：当[k>0]时，恒有 |[OA]|>|[OB]|.
解析 （1）设[P(x，y)，]由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以[(0,-3)、 (0，3)]为焦点，长半轴为2的
椭圆. 它的短半轴[b=22-(3)2=1]，
故曲线[C]的方程为[x2+y24=1].
（2）设[A(x1，y1)，B(x2，y2)]，其坐标满足
[x2+y24=1，y=kx+1.]
消去[y]并整理得[(k2+4)x2+2kx-3=0]，
故[x1+x2=-2kk2+4，x1x2=-3k2+4].
若[OA⊥OB]，即[x1x2+y1y2=0].
而[y1y2=k2x1x2+k(x1+x2)+1]，
于是[x1x2+y1y2=-3k2+4-3k2k2+4-2k2k2+4+1=0,]
化简得[-4k2+1=0]，所以[k=±12].
（3）[OA2-OB2=x21+y21-(x22+y22)]
[=(x21-x22)+4(1-x21-1+x22)]
[=-3(x1-x2)(x1+x2)]
[=6k(x1-x2)k2+4].
因为A在第一象限，故[x1>0].
由[x1x2=-3k2+4]知[x2<0]，从而[x1-x2>0].
又[k>0]，故[OA2-OB2>0]
即在题设条件下，恒有[OA>OB].
点评 本题主要考查椭圆的定义、标准方程及直线与椭圆位置关系等基础知识，考查综合运用解析几何知识解决问题的能力.
题型三：与圆锥曲线有关范围问题
例3 过双曲线的一焦点的直线垂直于一渐近线，且与双曲线的两支相交，求该双曲线离心率的范围.
解析 设双曲线的方程为[x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)]，[F(c,0)]，渐近线[y=bax]，则过[F]的直线方程为[y=-ab(x-c)]，则[b2x2-a2y2-a2b2=0,y=-ab(x-c),]
代入得[(b4-a4)x2+2a4cx-a4c2-a2b4=0]，
∴[Δ>0,x1x2<0,]得[b4>a4]，
∴[b>a]，即得到[e>2].
点评 此类题往往将直线与圆锥曲线的几何要素建立起对应关系，通过判别式确定取值范围.
例4 已知双曲线[x2a2-y2b2=1][(a>0,b<0)]的右焦点为[F]，若过点[F]且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ）
A. (1，2) B. (1，2)
C. [2，+∞] D. (2，+∞)
解析 双曲线[x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)]的右焦点为[F]，若过点[F]且倾斜角为[60°]的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率[ba]，
∴ [ba]≥[3]，离心率[e2=c2a2=a2+b2a2≥4]，
∴ [e≥2]，选C.
题型四：圆锥曲线的综合问题
圆锥曲线也常和数列、三角、平面向量、不等式、推理知识结合到一块出现部分有较强区分度的综合题，这类题体现了在“知识交汇点处命题的原则”.
例5 设椭圆[C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)]过点[M(2,1)]，且左焦点为[F1(-2,0)].
（1）求椭圆[C]的方程；
（2）当过点[P(4,1)]的动直线[l]与椭圆[C]相交于两不同点[A、B]时，在线段[AB]上取点[Q]，满足[AP⋅QB=AQ⋅PB]，证明：点[Q]总在某定直线上.
解析 （1）由题意：
[c2=2,2a2+1b2=1c2=a2-b2,]，解得[a2=4,b2=2]，
所求椭圆方程为 [x24+y22=1.]
（2） 设点[Q]、[A]、[B]的坐标分别为[(x,y)、(x1,y1)、(x2,y2)].
由题设知[AP、PB、AQ、QB]均不为零，记[λ=APPB=AQQB],则[λ>0]且[λ≠1.]
又[A、P、B、Q]四点共线，
从而[AP=-λPB,AQ=λQB，]
于是[4=x1-λx21-λ]， [1=y1-λy21-λ.]
[x=x1+λx21+λ]， [y=y1+λy21+λ,]
从而 [x21-λ2x221-λ2=4x]，①
[y21-λ2y221-λ2=y]，②
又点[A、B]在椭圆[C]上，即
[x21+2y21=4,③] [x22+2y22=4,④]
①+②×2并结合③④得[4x+2y=4,]
即点[Q(x,y)]总在定直线[2x+y-2=0]上
点评 本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力.
专题训练五
一、选择题
1. 若[m≠0]，则过（1，-1）的直线[ax+3my+2a=0]的斜率为（ ）
A. 1 B. -3 C. [13] D. -[13]
2. 若圆[x2+y2-2x-4y=0]的圆心到直线[x-y+a=0]的距离为[22],则[a]的值为（ ）
A. -2或2 B. [12或32] C. 2或0 D. -2或0
3. 经过抛物线[y2=2x]的焦点且平行于直线[3x-2y+5=0]的直线[l]的方程是（ ）
A. [6x-4y-3=0] B. [3x-2y-3=0]
C. [2x+3y-2=0] D. [2x+3y-1=0]
4. 设[F1、F2]为曲线[C1]：[x26+y22=1]的焦点，[P]是曲线[C2]：[x23-y2=1]与[C1]的一个交点，则[△PF1F2]的面积为（ ）
A. [14] B. [2]1 C. D. [22]
5. 双曲线[x2b2-y2a2=1]的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率为（ ）
A. [3] B. 2 C. [2] D. [32]
6. 如图，过抛物线[y2=2px(p>0)]的焦点[F]的直线[l]交抛物线于点[A、B]，交其准线于点[C]，若[|BC|=2|BF|]，且[|AF|=3]，则此抛物线的方程为（ ）
A. [y2=32x] B. [y2=3x]
C. [y2=92x] D. [y2=9x]
7. 在同一坐标系中，方程[x2a2+y2b2=1]与[ax+by2=0(a>b>0)]的曲线大致是（ ）
[A B C D]
8. 过双曲线[M:x2-y2b2=1]的左顶点[A]作斜率为1的直线[l],若[l]与双曲线[M]的两条渐近线分别相交于[B、C,]且[|AB|=|BC|,]则双曲线[M]的离心率是 ( )
A. [10] B. [5] C. [103] D. [52]
9. 已知点[M(a，b)(ab≠0)]是图[x2+y2=r2]内一点，直线[g]是以[M]为中点的弦所在直线，直线[l]的方程为[ax+by+r2=0]，则（ ）
A. [l∥g]，且[l]与圆相离
B. [l⊥g]，且[l]与圆相切
C. [l∥g]，且[l]与圆相交
D. [l⊥g]，且[l]与圆相离
10. 已知两点[M1,54], [N-4,-54], 给出下列曲线方程： ①[4x+y-1=0;] ②[x2+y2=3;]
③[x22+y2=1] ；④[x22-y2=1]. 在曲线上存在点[P]满足[MP=NP]的所有曲线方程是（ ）
A. ①②④ B. ①③
C. ②④ D. ②③④
二、填空题
11. 已知两点[A]（3，2）和[B]（－1，4）到直线[l]:[mx+y+3=0]距离相等，则[m]值为 .
12. 过点[M]（1，2）的直线[l]将圆[A:][x-22+y2=9]分成两段弧，其中当劣弧最短时，直线[l]的方程为 .
13. 如图，[F1、F2]分别为椭圆[x2a2+y2b2=1]的左、右焦点， 点[P]在椭圆上，[△POF2]是面积为[3]的正三角形，则[b2]的值是 .
14. 已知双曲线[x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)]的左右焦点分别为[F1、F2，]点[P]在双曲线的右支上，且[|PF1|=4|PF2|]，则此双曲线的离心率的最大值是
.
15. 若直线[2ax-by+2=0(a>0,b>0)]被圆[x2+y2+2x-4y+1=0]截得的弦长为4，则[1a+1b]的最小值是 .
三、解答题
16. 自点[A(-3，3)]发出的光线[l]射到[x]轴上，被[x]轴反射，其反射光线[m]所在直线与圆[x2+y2-][4x-4y+7=0]相切，求光线[l]与[m]所在直线方程.
17. 已知圆[x2+y2+8x-4y=0]与以原点为圆心的某圆关于直线[y=kx+b]对称.
（1）求[k、b]的值；
（2）若这时两圆的交点为[A、B]，求[∠AOB]的度数.
18. 如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状.
（1）若最大拱高[h]为6米，则隧道设计的拱宽[l]是多少？
（2）若最大拱高[h]不小于6米，则应如何设计拱高[h]和拱宽[l]，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小？
（半个椭圆的面积公式为[S=π4lh]，柱体体积为：底面积乘以高. ）
19. 已知椭圆[E]的方程为[x2a2+y2b2=1(a>b>0),]双曲线[x2a2-y2b2=1]的两条渐近线为[l1]和[l2]，过椭圆[E]的右焦点[F]作直线[l]，使得[l⊥l2]于点[C]，又[l]与[l1]交于点[P]，[l]与椭圆[E]的两个交点从上到下依次为[A、B]（如图）.
（1）当直线[l1]的倾斜角为[30°]，双曲线的焦距为8时，求椭圆的方程；
（2）设[PA=λ1AF,PB=λ2BF]，证明：[λ1+λ2]为常数.
20. 若椭圆[x2a2+y2b2=1(a>b>0)]过点（-3，2），离心率为[33]，[⊙O]的圆心为原点，直径为椭圆的短轴，[⊙M]的方程为[(x-8)2+(y-6)2=4]，过[⊙M]上任一点[P]作[⊙O]的切线[PA、PB]，切点为[A、B].
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线[PA]与[⊙M]的另一交点为[Q]，当弦[PQ]最大时，求直线[PA]的直线方程；
（3）求[OA⋅OB]的最大值与最小值.
21. 已知曲线[C：xy=1]，过C上一点[An(xn , yn)]作一斜率为[kn=-1xn+2]的直线交曲线[C]于另一点[An+1(xn+1 , yn+1)]，点列[An(n=1 , 2 , 3 , ⋯)]的横坐标构成数列{[xn]}，其中[x1=117].
（1）求[xn]与[xn+1]的关系式；
（2）求证：{[1xn-2+13]}是等比数列；
（3）求证：[(-1)x1+(-1)2x2+(-1)3x3+⋯+(-1)nxn][<1(n∈N , n≥1)].