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【摘要】本文首先从Black-Scholes公式出发，将微分方程转化成差分方程，通过差分方程求出美式看跌期权的价值。为了减少计算量，并且保证最终的估计值接近于真实值，本文采用了控制变量技术来求解估计值。
【关键词】美式看跌期权；差分方程；控制变量技术；微分方程
【中图分类号】F224.9【文献标识码】A【文章编号】1005-1074(2008)06-0006-02
The Reserches on the Numerical Method for Pricing of Non-dividend Paying American Put Options Based on Finite Difference Methods
ZHANG Hong-yan，LIANG Shu-ping
(School of Math Science and Computer Technology，Central South University ,Hunan Changsha，410075)
【Abstract】This article firstly sets out from the Black-Scholes formula,and transposes differential equations into difference equations,and get the value of American put options by solving difference equations.Then，the article adopts control variable technique to get the valuation.
【key words】American put options; difference equations; control variable technique；differential equations
1 引言
Black-Scholes微分方程是基于无红利支付的股票的任意一种衍生证券的价格必须满足的方程，并且Black和Scholes在他们的那篇突破性的论文中成功地求解了此微分方程，得到了欧式看涨期权和欧式看跌期权定价的精确公式．又由于在到期日之前，基于无红利支付的股票的美式看涨期权决不应该执行，因此，同一种基于无红利支付的股票的美式看涨期权的价值与相同股票的欧式看涨期权的价值相同．但是对于基于无红利支付的股票的美式看跌期权定价还没有得出一个精确的解析公式．由此，本文探讨了计算美式看跌期权价值的数值方法－有限差分方法。
2 有限差分方法
有限差分方法是通过求解衍生证券所满足的微分方程来为衍生证券估值的。首先将微分方程转化为一系列的差分方程[1～3]，然后从衍生证券有效期的最后时刻开始，倒推回衍生证券有效期的初始时刻，也就是用倒推法求解这些差分方程。有限差分方法包括内含的有限差分方法和外推的有限差分方法。后者虽然计算起来相当简单，只需代入到相应的公式求解即可，但是它的收敛性差，为了保证收敛性，必须进行特定的事先假设，而且，如果随意改变时间步长和股价步长，可能导致该方法失效，故本文仅讨论了前者。
期权必须满足的微分方程[4]是
【关键词】美式看跌期权；差分方程；控制变量技术；微分方程
【中图分类号】F224.9【文献标识码】A【文章编号】1005-1074(2008)06-0006-02
The Reserches on the Numerical Method for Pricing of Non-dividend Paying American Put Options Based on Finite Difference Methods
ZHANG Hong-yan，LIANG Shu-ping
(School of Math Science and Computer Technology，Central South University ,Hunan Changsha，410075)
【Abstract】This article firstly sets out from the Black-Scholes formula,and transposes differential equations into difference equations,and get the value of American put options by solving difference equations.Then，the article adopts control variable technique to get the valuation.
【key words】American put options; difference equations; control variable technique；differential equations
1 引言
Black-Scholes微分方程是基于无红利支付的股票的任意一种衍生证券的价格必须满足的方程，并且Black和Scholes在他们的那篇突破性的论文中成功地求解了此微分方程，得到了欧式看涨期权和欧式看跌期权定价的精确公式．又由于在到期日之前，基于无红利支付的股票的美式看涨期权决不应该执行，因此，同一种基于无红利支付的股票的美式看涨期权的价值与相同股票的欧式看涨期权的价值相同．但是对于基于无红利支付的股票的美式看跌期权定价还没有得出一个精确的解析公式．由此，本文探讨了计算美式看跌期权价值的数值方法－有限差分方法。
2 有限差分方法
有限差分方法是通过求解衍生证券所满足的微分方程来为衍生证券估值的。首先将微分方程转化为一系列的差分方程[1～3]，然后从衍生证券有效期的最后时刻开始，倒推回衍生证券有效期的初始时刻，也就是用倒推法求解这些差分方程。有限差分方法包括内含的有限差分方法和外推的有限差分方法。后者虽然计算起来相当简单，只需代入到相应的公式求解即可，但是它的收敛性差，为了保证收敛性，必须进行特定的事先假设，而且，如果随意改变时间步长和股价步长，可能导致该方法失效，故本文仅讨论了前者。
期权必须满足的微分方程[4]是