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中图分类号：TU 文献标识码：A 文章编号：（2021）-04-407
垂径定理及其推论是初中数学的一个重要知识点，多年来虽然教材几经改版，但垂径定理的重要性不变，垂径定理及其推论反映了圆的重要性质，是证明线段和角相等以及垂直关系的重要依据，同时也为圆的计算和作图问题提供了方法和依据。尽管在课标2011年版中，垂径定理的探索与证明是选学内容，但垂径定理的应用是教科書的重点，另外，这部分内容的题设和结论比较复杂，容易混淆，所以也是难点，从中考的角度来看，垂径定理也是必考知识点。笔者从多年的教学中总结对垂径定理的教学体会如下：
首先，让学生理解并会证明圆的轴对称性。从实验探究入手：引导学生剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复做几次，你有什么发现？得到什么结论？能证明吗？通过操作，这里学生很容易得到结论：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。引导学生通过在圆上任取一点，证明它关于对称轴（直径所在直线）对称的点也在圆上。这种证明圆是轴对称图形的方法学生掌握和接受起来都较为容易。
接着，利用以上证明得到垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。这里需要帮助学生分析定理的题设和结论。题设：一条直线若满足（一） 过圆心，（二） 垂直于弦，则可以推出结论：（一） 平分弦，（二）平分弦所对的优弧，（三）平分弦所对的劣弧。引导学生认识垂径定理对于线段相等、弧相等的证明：如图在⊙O中，直径CD⊥AB于E，则图中（1）相等的线段有：AE=EB，OA=OB=OC=OD，（2）相等的弧有：弧AD=弧BD，弧AC=弧BC （3）相等的角（直角除外）有： ∠AOD=∠BOD，∠AOC=∠BOC，∠OAB=∠OBA结合图形观察总结对于角相等的证明。既加深学生对定理的理解，又为学习推论做好准备。
现在的人教版教材只给出了一个推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。一定要强调“弦不是直径”的条件。因为一个圆的任意两条直径互相平分，但是它们未必垂直。对于其他的推论，可以引导学生根据条件画出图形，观察、思考，得出结论。对于学有余力的学生，可以引导他们发现在上述五条叙述中，有两条做题设，那么其他三条就是结论，简述为“知二推三”。
认识了垂径定理及其推论后，就要进行垂径定理的应用。我主要从三个方面进行教学：一、作图方面例1、已知弧AB，求作弧AB的中点。这个问题引导学生运用推论：垂直平分弦的直线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧;找出弧AB的中点。然后对例1进行变式训练：你能找出弧AB所在圆的圆心吗？容易想到在弧AB上任意找一点C，连接AC、BC，弦AC、 BC的垂直平分线的交点就是弧AB所在圆的圆心。再到实际运用：给你一块圆的残缺部分，你能把这个圆全部恢复吗？——“破镜重圆”;随着教学的层层递进，此时的学生跃跃欲试，兴趣倍增。
二、计算方面 我由浅入深安排以下例题和练习。练习一：如图一AB是⊙O的直径。弦CD⊥AB于点E，OC=5cm，CD=8cm，则AE=（ ） A.8cm B.5cm C.3cm D2cm 这个解答学生容易从垂径定理和勾股定理得到。接着安排例1如图二⊙O的直径CD长为10，弦AB的长为8，且AB⊥CD于E。则OE= DE= CE= 。有了练习一作铺垫，学生容易想到连接OA或OB，把问题转化解决。通过以上例题和练习，介绍学生认识两种线段：弦心距，弓形高。做好铺垫后再来学习教材例2：有关赵州桥的计算。“你知道赵州桥吗？它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23m.你想知道赵州桥的主桥拱的半径吗？”——先把实际问题转化为数学语言：如图三用弧AB表示主桥拱，设弧AB所在圆的圆心为O，半径为r，AB=37m，过点O作OC⊥AB交AB于D，OC交弧AB于C，根据垂径定理，点C是弧AB的中点，CD就是拱高也叫弓形高，CD=7.23m，结合前面的学习，学生容易想到连接OA或OB，运用勾股定理解决问题;这里引导学生小结：关于圆中求弦长、半径、弦心距或弓形高的问题，经常运用垂径定理转化成应用勾股定理解直角三角形：如图四，图中的相等关系有：d+h=r，d2+ （a2）2=r2在a，d，r，h中，知道其中任意两个量，可以求出其他两个量。
三、辅助线的添加 结合例2的教学进一步总结：作半径或过圆心作垂直于弦的垂线段是圆中构造直角三角形常用的作辅助线的方法。典例解析：例3 如右图，两个圆都是以O为圆心，大圆的弦AB交小圆于C，D两点，求证：AC=BD。这个问题学生最容易想到连接半径用三角形全等方法证明，学生证明之后，引导他们作垂直于弦的垂线段，证明过程简单明了，很多学生都会惊叹不已，印象深刻;变式训练：若大圆的半径R=10，小圆的半径r=8，且圆心O到直线AB的距离为6，求AC的长。强调“过圆心作垂直于弦的垂线段，这种添加辅助线的方法是解决这类与弦有关的问题的常用方法”。
通过这三个方面的教学，学生对垂径定理的认识从直观感觉到与逻辑推理的有机结合，从数学知识到实际问题的解决，学会对问题进行转化，找到解决问题的方法，由浅入深，能力一步步提升，信心逐渐增长，效果也不错。这是我对垂径定理及其推论的教学点滴总结，愿同仁们不吝赐教。
绵竹市汉旺温州加园栋梁中学
垂径定理及其推论是初中数学的一个重要知识点，多年来虽然教材几经改版，但垂径定理的重要性不变，垂径定理及其推论反映了圆的重要性质，是证明线段和角相等以及垂直关系的重要依据，同时也为圆的计算和作图问题提供了方法和依据。尽管在课标2011年版中，垂径定理的探索与证明是选学内容，但垂径定理的应用是教科書的重点，另外，这部分内容的题设和结论比较复杂，容易混淆，所以也是难点，从中考的角度来看，垂径定理也是必考知识点。笔者从多年的教学中总结对垂径定理的教学体会如下：
首先，让学生理解并会证明圆的轴对称性。从实验探究入手：引导学生剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复做几次，你有什么发现？得到什么结论？能证明吗？通过操作，这里学生很容易得到结论：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。引导学生通过在圆上任取一点，证明它关于对称轴（直径所在直线）对称的点也在圆上。这种证明圆是轴对称图形的方法学生掌握和接受起来都较为容易。
接着，利用以上证明得到垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。这里需要帮助学生分析定理的题设和结论。题设：一条直线若满足（一） 过圆心，（二） 垂直于弦，则可以推出结论：（一） 平分弦，（二）平分弦所对的优弧，（三）平分弦所对的劣弧。引导学生认识垂径定理对于线段相等、弧相等的证明：如图在⊙O中，直径CD⊥AB于E，则图中（1）相等的线段有：AE=EB，OA=OB=OC=OD，（2）相等的弧有：弧AD=弧BD，弧AC=弧BC （3）相等的角（直角除外）有： ∠AOD=∠BOD，∠AOC=∠BOC，∠OAB=∠OBA结合图形观察总结对于角相等的证明。既加深学生对定理的理解，又为学习推论做好准备。
现在的人教版教材只给出了一个推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。一定要强调“弦不是直径”的条件。因为一个圆的任意两条直径互相平分，但是它们未必垂直。对于其他的推论，可以引导学生根据条件画出图形，观察、思考，得出结论。对于学有余力的学生，可以引导他们发现在上述五条叙述中，有两条做题设，那么其他三条就是结论，简述为“知二推三”。
认识了垂径定理及其推论后，就要进行垂径定理的应用。我主要从三个方面进行教学：一、作图方面例1、已知弧AB，求作弧AB的中点。这个问题引导学生运用推论：垂直平分弦的直线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧;找出弧AB的中点。然后对例1进行变式训练：你能找出弧AB所在圆的圆心吗？容易想到在弧AB上任意找一点C，连接AC、BC，弦AC、 BC的垂直平分线的交点就是弧AB所在圆的圆心。再到实际运用：给你一块圆的残缺部分，你能把这个圆全部恢复吗？——“破镜重圆”;随着教学的层层递进，此时的学生跃跃欲试，兴趣倍增。
二、计算方面 我由浅入深安排以下例题和练习。练习一：如图一AB是⊙O的直径。弦CD⊥AB于点E，OC=5cm，CD=8cm，则AE=（ ） A.8cm B.5cm C.3cm D2cm 这个解答学生容易从垂径定理和勾股定理得到。接着安排例1如图二⊙O的直径CD长为10，弦AB的长为8，且AB⊥CD于E。则OE= DE= CE= 。有了练习一作铺垫，学生容易想到连接OA或OB，把问题转化解决。通过以上例题和练习，介绍学生认识两种线段：弦心距，弓形高。做好铺垫后再来学习教材例2：有关赵州桥的计算。“你知道赵州桥吗？它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23m.你想知道赵州桥的主桥拱的半径吗？”——先把实际问题转化为数学语言：如图三用弧AB表示主桥拱，设弧AB所在圆的圆心为O，半径为r，AB=37m，过点O作OC⊥AB交AB于D，OC交弧AB于C，根据垂径定理，点C是弧AB的中点，CD就是拱高也叫弓形高，CD=7.23m，结合前面的学习，学生容易想到连接OA或OB，运用勾股定理解决问题;这里引导学生小结：关于圆中求弦长、半径、弦心距或弓形高的问题，经常运用垂径定理转化成应用勾股定理解直角三角形：如图四，图中的相等关系有：d+h=r，d2+ （a2）2=r2在a，d，r，h中，知道其中任意两个量，可以求出其他两个量。
三、辅助线的添加 结合例2的教学进一步总结：作半径或过圆心作垂直于弦的垂线段是圆中构造直角三角形常用的作辅助线的方法。典例解析：例3 如右图，两个圆都是以O为圆心，大圆的弦AB交小圆于C，D两点，求证：AC=BD。这个问题学生最容易想到连接半径用三角形全等方法证明，学生证明之后，引导他们作垂直于弦的垂线段，证明过程简单明了，很多学生都会惊叹不已，印象深刻;变式训练：若大圆的半径R=10，小圆的半径r=8，且圆心O到直线AB的距离为6，求AC的长。强调“过圆心作垂直于弦的垂线段，这种添加辅助线的方法是解决这类与弦有关的问题的常用方法”。
通过这三个方面的教学，学生对垂径定理的认识从直观感觉到与逻辑推理的有机结合，从数学知识到实际问题的解决，学会对问题进行转化，找到解决问题的方法，由浅入深，能力一步步提升，信心逐渐增长，效果也不错。这是我对垂径定理及其推论的教学点滴总结，愿同仁们不吝赐教。
绵竹市汉旺温州加园栋梁中学