摘 要：本文通过列举实例，初步探索了通解和巧解的关系——通解是巧解的基础，巧解是通解的升华，只谈通解不谈巧解，我们的解题教学就只是简单的模仿训练，就不会有变式更不会有创新；只谈巧解不谈通解，就如同空中楼阁，只是假象无实际意义.所以我们认为，只有在熟练掌握通解的基础上，才能逐渐形成巧解的直觉. 本文旨在帮助学生开拓思维，形成变通，让学生体验由“通”到“巧”的思维过程.
　　关键词：善于解题；通解；巧解
　　
　　G·波利亚在《数学的发现》序言中指出：“中学数学教学的首要任务就是加强解题训练”，“掌握数学就意味着善于解题”. 怎样才能算善于解题呢？是指既要掌握体现一般规律的基本方法（即通解），又要能具体问题具体分析，触类旁通利用知识间的联系解决问题（即巧解）. 在中学数学解题教学中教师往往较重视一般解法，以做到稳中求胜，而在更多时候忽视了追求数学解题的更高境界，即追求数学思维的灵活性与变通性. 在中学解题教学中，我们应当适时的引导学生具体问题具体分析，在掌握通法的同时寻求问题的特殊性与普遍性的联系，从而训练学生的思维，使其感悟数学的精神. 下面我们通过几个具体的例子作进一步探析.
　　例1 f（x）=，a，b∈R+且a≠b，求证：f（a）－f（b）　　法一 f（a）－f（b）=-=<=≤a－b.
　　结论得证.
　　法二 构造双曲线y2－x2=1（y>0），由双曲线的几何意义：
　　对任意的x1，x2∈R，且x1≠x2有<1，
　　所以f（a）－f（b）　　法三 由a，b的对称性，不妨设a　　由构成三角形的条件AB?摇－AD?摇b时结论仍然成立.
　　法四 令m=（1，a），n=（1，b）得出m－n=（0，a－b），（a≠b）得出m－n=a－b.又由构成三角形的条件m?摇－n?摇　　解析 法一思维较常规，先将f（a）－f（b）表达出来，再利用不等式的缩放技巧，证得结果成立，其思维过程大多数人能想到，但难点在于放缩的过程，易错且不容易想到. 而其他三种方法，思维方法都独特新颖，其本质都是数形结合. 法二，将f（x）变形，发现f（x）的图象是双曲线的上半支，利用双曲线半支上的任意两点间的斜率与渐近线斜率之间的关系，将不等式证明成功转化为两点间斜率的绝对值的取值范围问题；题眼在于对f（x）变形，且能及时联系双曲线一支上点的性质. 法三，则是从问题入手，观察发现要证的是差的绝对值小于某个可以看成长度的式子，自然联想到三角形的三边关系，构造三角形的思路就自然形成了，当然放在直角三角形去研究是最简单的. 法四，与法三实际上是异曲同工，三角形可以看成是首尾相接的三个向量连接而成的，将图形与向量结合起来考虑，这四种不同的方法分别从不同的方面将学生的思维加以拓宽.
　　例2 对任意的n∈N+， 求证：1+n<4.
　　法一
　　1+n=C+C·+…+C+…+C=1+n×+×1×1-+×1×1-×1-+…+×1×1-×1-×…×1-…+×1×<1+1+++…+=3－<3. 得出1+n<4.
　　法二 ·1+n=··1+n　　解析 法一的思维过程较为常规，利用二项式展开式，再逐项缩放，使和式最终放为一个可以求解的和，即等比数列的前n-1项和. 整个求解过程的难点在于对×1×1－×1－×…×1－<×1×1×…×1<×1×××…×<（k>1，k∈Z） 的缩放过程，不易想到缩放为一等比数列. 而法二，则通过配凑再利用均值不等式的推广公式巧妙简洁地将问题解决，使原本很繁琐的证明通过整体的思想仅用几个步骤便得以证明.
　　例3
　　解方程+=6.
　　法一 移项得=6－，平方得x－6=－2；再通过平方化简可以求得x=±.
　　法二 由等差数列的定义，将3看成和的等差中项，设公差为d，则有:
　　=3－d，①=3+d，②
　　再根据两根式中的相同部分，将方程①，②两边平方，再两式相减，解出d=x，代回①或②式，可以解得x= ±.
　　解析 诚然法二和法一究其本质是一样的，但是从思路这个角度来讲法二比起法一更具创新性，结合到等差数列的性质以及椭圆及其标准方程的化简启发，注重了对知识的迁移，体现了较高的思维价值，对解决有些更复杂的问题更具有参考价值.
　　例4 已知cosα+2sinα=－，求tanα的值.?摇
　　法一
　　解方程组cosα+2sinα=-，sin2α+cos2α=1，
　　得cosα=－，sinα=－，
　　所以tanα=2.
　　法二 令tanα=x，由题可知α是第三象限角，不妨设：π<α<.
　　构造直角三角形如图2所示：
　　则有：+2=
　　解得：x=2，即tanα=2.
　　法三 由cosα+2sinα=－，可得+=－1，?摇?摇cos（α－β）=－1，其中tanβ=2，所以α－β=（2k+1）π，于是tanα=tanβ=2.
　　解析 法一直接利用三角恒等式联立方程组，通过解方程组得出结果，是常用方法，对思维的要求不高. 但是，二元二次方程组计算量较大，有时还会出现两个解的情况，讨论起来比较麻烦也容易出现计算性错误，具有一定的局限性. 法二则是回归到三角函数和直角三角形的关系中，结合勾股定理巧妙地将三角函数求值问题转化到代数式求值问题. 但是，这种方法带有特殊性，在使用时一定要注意角的范围，做题时一定要具体情况具体分析. 法三，则是将等式右边化为特殊的三角函数值，结合常用的三角函数公式，巧妙地避开了对角的讨论，化简起来也相当方便，对于解决这一类问题都是行之有效的！
　　其实，只要细心地研究每年高考数学试题，不难发现，高考试题中所考查的解题方法都在通法的范围内，但也不排除用巧法来解决问题. 通法的思想顺乎一般规律，其操作过程易于掌握，中下生欢迎它. 他们觉得通法自然、流畅、易于理解，但是其思维本质是定式思维. 而巧法则是思维的升华，“在反复考虑一个问题之后，突然得到了一个巧妙的想法，头脑中掠过一道灵光，顿时觉得豁然开朗，我们仿佛看到了太阳，有一种无法言语的快乐”这个过程培养了学生数学能力，增加了数学感觉. 所以我们在教学过程中需要强调的是：每个学生都应该掌握各类数学题的通法，但同时也要适度地掌握一些“特技”，提倡让学生们从通法的回顾和反思中，去自然地发现和提炼“巧法”. 这样既进行了思维铺垫，创设了思维情景、暴露了思维过程，培养了思维能力，又利于学生从大量烦琐的运算中解脱出来，进一步优化学生的思维品质，培养学生的求简意识和创新能力.