立体几何中的易错题归类剖析

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  一、求几何体的外接球时,易忽视球的几何性质
  考点指南:球的问题是平面图形圆的立体化、空间化问题,圆的考点在高中侧重解析几何问题的考查,即与圆的方程有关的问题,高中圆的几何特性(几何图形的外接圆)主要体现在空间几何体的外接球的知识方面,即求解与几何体的外接球有关的问题时,需要把立体球转化为平面圆进行分析,考查层次属于有难度的问题。
  例1 一个几何体的三视图如图1所示,求该几何体外接球的表面正视图侧视图积。(单位:cm)
  解题分析:根据题意知该几何体是一个圆锥,俯视图其轴截面是边长为2cm的正三角形,则几何体及其外接球的直观图如图2所示。由题可知轴截面△PAB为正三角形,球心O为正三角形的重心,根据三角形重心的知识,则
  考查意图:本题主要考查同学们的空间想象能力、空间问题平面化能力及计算能力。虽然本题是求解外接球的表面积,但是在求解球的半径时,需要逐步进行,故对运算逻辑也是有考查的。
  复习建议:由于高考是选拔性考试,考题定位“源于课本,考查分析问题与求解问题的能力”,学习中,应立足教材,对教材中的核心题型,比如求三棱锥的外接球,只有做好归纳总结,步骤细化,有了基本方法的掌握,才能在解决柱体、锥体的问题中做到熟练掌握与应用。
  变式练习1:如图3,在P四棱锥P-ABCD中,面PAB⊥面ABCD,OPAB是等边三角形,四边形ABCD为矩形,边长AB=2,AD=4,求四棱锥P-ABCD的外接球的体积。
  解题分析:如图4,构造四棱锥P-ABCD的外接球O,因为△PAB为正三角形,正△PAB的外接圆为O2,根据三角形重心的知识,则PO2:O2E=2:1。
  二、判断线面关系时,易忽视几何载体或空间几何常识的应用
  考点指南:有关线面关系的问题,属于考题中的小题部分,出题灵活,考查点线面的空间位置关系,在分析过程中,需要借助不同的几何体或线面关系去呈现,考生在做题时,由于线面垂直、平行及判定性质(八大定理)同时出现,易脱离几何载体或忽略几何常识。在简易逻辑问题上,条件的考查对考生来说比较抽象,特别是p是q的什么条件,或p的什么条件是q等知识的考查,属于基础题型中易于出错的部分。
  例2 设m,n是平面a内的两条不同直线,l,s是平面β内两条相交直线,则a⊥β的一个充分不必要条件是()。
  A.l⊥m,l⊥n
  B.m⊥l,m⊥s
  C.m⊥l,n⊥s
  D.m//n,llm
  解题分析:本题给出空间中两线两面,从线面关系去证明面面垂直,需要考虑证明面面垂直的基本方法,就是线面垂直的判定定理或直二面角知识。如图5中,anβ斜交,知A,D选项错误,直线l⊥a。图6中,anβ斜交,m⊥l,n⊥s,知C选项错误。B选项是线面垂直的判定定理,故B选项正确。
  考查意图:简易逻辑中的条件结合空间点线面知识,属于基础问题的综合,体现知识的交叉情况,立足空间几何直观和几何载体,注重对考生基础能力、基本方法应用能力的考查。
  复习建议:在基础问题方面,紧扣数学核心知识及考点,准确掌握概念,平时注重常规问题的分析,简单不出错,拿准分才是考生应该锻炼的。
  变式练习2:已知不同的直线l,m,n,平面anβ,γ,则下列关于线面关系的说法中正确的是()。
  A.l⊥m,m⊥」n,则l⊥n
  B.m⊥ann⊥_an则m//n
  C.x//l,β//l,则a//p
  D.a⊥β,β⊥γ,则a⊥γ
  解题分析:A选项中的直线l与直线之间还存在平行、相交、异面的情况;B选项正确,直线重合的情况,在本题不会出现,考生不用纠结;选项C、D中的两个平面可能存在平行、垂直、相交的情况。
  三、证明平行问题时,易忽视经典平行证明方法的应用
  考点指南:线面的平行问题,是高考立体几何问题中的核心证明问题,与线面垂直处于同样重要的地位。在人教A版《数学必修2》中,关于线面平行有两个判定定理与两个性质定理。虽然可以用向量证明平行与垂直问题,但高考中的立体几何解答题,其第一问一般考查平行与垂直,主要用定理去证明,应用时,结合具体问题,平行因素体现在比例或中点问题上。方法一,构造面面平行;方法二,通过中位线、比例、平行四边形证明线线平行。
  例3 如图7,P是平行四边形ABCD平面外一点,M,N分别是PA,BD上的点,且。求证:MN//平面PDC。
  解题分析:由题知,该图形可看作四棱锥P-ABCD,
  如图8,在AD上取一点Q,满足,即Q是AD的三等分点,连接MQ,NQ。在△ADP和△DAB中,MQ//PD,NQ//AB。
  在平行四边形ABCD中,AB//CD,所以NQ//CD。
  又MQ∩NQ=Q,CD∩PD=D,所以面MNQ//面PCD。
  又MNC面MNQ,所以MN//面PCD。
  考查意图:本题通过比例给出条件去求证平行,对比中点问题,考生易构造中位线在面内寻找线线平行,但通过构造面面平行,用面面平行的判定定理是比较好的方法。本题考查考生对平行问题的常见证明方法的理解与应用情况。
  复习建议:立体几何是高考的必考点,在解答題型中证明问题与求解问题属于中等难度题型,对比圆锥曲线与函数问题,考生易得分,复习时要熟练掌握基本定理,解题时步骤要写详细,保证得分点突出。注意经典题型与构造问题,做好积累归纳。
  变式练习3:如图9,在四棱锥P-ABCD中,AB=BC=1/2AD,∠BAD=∠ABC=90°,E是PD的中点。证明:直线CE//面PAB。
  解题分析:如图10,在四棱锥P-ABCD中,取AD的中点F,连接EF,CF,AB=BC=1   2AD=AF,∠BAF=∠ABC=90°,则四边形ABCF为正方形,所以AB//CF。
  在△PAD中,EF是中位线,故PA//EF。
  又AB∩PA=A,EF∩FC=F,所以面PAB//面EFC。
  又直线CEC面EFC,所以直线CE//面PAB。
  四、应用向量法求空间角时,易忽视坐标系的建立
  考点指南:立体几何属于高考中等难度的问题,考生易得分,空间问题的求解比证明复杂一些,在2010年之前,求解空间角常采用直接构造,对空间想象能力要求比较高,难度比较大,近些年,考查思路转化到代数方法,就是用空间向量去求解,空间向量的运算比构造角的三角形计算,计算量小-些,对考生的考查进一步体现数学的基础性、工具性。建立空间坐标系,通过向量运算证明空间垂直问题,不可小看。
  例4 如图11,四边形ABCD为正方形,E,F分别为AD,BC的中点,以DF为折痕把ODFC折起,使点C到达点P的位置,且PF⊥BF求DP与平面ABFD所成角的正弦值。
  解题分析:由已知的垂直条件可得PF⊥BF,BF⊥EF,所以BF⊥平面PEF。
  又线BFC面ABFE,所以平面PEF⊥平面ABFD。
  过点P作PH⊥平面ABFD,则点H在平面PEF与平面ABFD的交线EF上,过H在面ABFD上作hQ⊥EF,以H为坐标原点,以HQ,HF,HP所在直线为坐标轴,建立空间坐标系,如图12所示。
  由于F为正方形的边BC的中点,设BF=1,则PF=1,DP=2,DE=1。
  设直线PD与平面ABFD所成角为θ,所以sinθ=
  所以PD与平面ABFD所成角的正弦值;是
  考查意图:本题通过翻折,把正方形问题转化为空间几何问题,通过翻折前后的垂直关系,考查线面垂直的证明与应用,求解线面角时,可采用直接构造线面角,难度在于垂线的分析,即垂足位置,采用空间坐标系,考查点的坐标的求解,经典的直角三角形求边长,是不容忽视的问题。
  复习建议:在坐标系建立问题上,梳理归纳考题中的垂直因素:①线面垂直,可以直接用;②面面垂直,融合等腰的中点问题,采用三线合一;③空间几何体,出现斜棱柱或者翻折问题,抓住垂直问题的证明去建立垂直。
  变式练习4:如图13,在等腰△ABC中,D,E,F分别是AB,AC和BC边的中点,CACB=120°,现将△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B,如图14。
  (1)试判断直线AB与平面DEF的位置关系,并说明理由;
  (2)求二面角E-DF-C的余弦值。
  解题分析:(1)如图14,在△ABC中,由E,F分别是AC,BC的中点,得EF//AB又AB平面DEF,EFC平面DEF,所以AB//平面DEF。
  (2)以点D为坐标原点,直线DB,DC,DA为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,如图15所示。设CD=an则AC=BC=2a,AD=DB=,则
  变式练习5:如图16,在三棱锥P-ABC中,PA上底面ABC,PA=AB,∠ABC=60°,∠BCA=90°,点D,E分别在棱PB,PC上,且DE//BC.
  (1)求证:BC⊥平面PAC;
  (2)当D为PB的中点时,求AD与平面PAC所成的角的正弦值。
  解题分析:(1)因为PA⊥底面ABC,所以PA⊥BC。
  又∠BCA=90°,所以AC⊥BC。
  所以BC⊥平面PAC。
  (2)因为D为PB的中点,DE//BC,所以DE=1/2BC。
  由(1)知BC⊥平面PAC,所以DE⊥平面PAC,垂足為点E,所以∠DAE是AD与平面PAC所成的角。
  因为PA⊥底面ABC,所以PA⊥AB。
  又PA=AB,所以△ABP为等腰直角三角形,所以
  在Rt△ABC中,∠ABC=60°,所以BC=。
  在Rt△ADE中,sin∠DAE=DE
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