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教材习题具有很强的示范性和代表性.在教学过程中，教师需要全面把握教材习题，精准分析，根据学情进行适当的二次开发，助力学生建构新知.本文以人教版《义务教育教科书·数学》九年级下册（以下统称“教材”）中“26.2实际问题与反比例函数”第1课时的教学为例进行阐述，通过对教材习题进行二次开发，引导学生学会用数学的眼光观察世界，用数学的思维思考问题，用数学的语言表达并解决问题，从而提升学生的数学素养.
一、课前思考
本节课教材安排了两个例题，例1的背景比较简单，抽象为数学问题就是圆柱的体积、底面积与高三个量之间的等量关系.例1中体积是个常数，底面积是高的反比例函数，确定解析式后，用待定系数法解决问题即可.例2与例1不同，没有直接给出反比例函数中的常数，首先需要通过等量关系确定;例2第（2）问涉及不等关系，解决这个问题是本节课的重难点.本节课的核心是学生会通过反比例函数模型的构建解决实际问题.
思考1：本节课的本质是什么？它在本单元学生的学习中起何种作用？
本节课是一节函数建模课，具体是利用反比例函数模型解决实际问题.它既是一节数学知识、技能、方法、思维的实际应用探究课，也是一节单元知识点复习课.类比之前一次函数、二次函数的学习经历，本单元，笔者也是在带领学生学习反比例函数的概念、解析式的三种表达形式、图象与性质后，开启了函数的应用之旅.
思考2：数学建模的核心素养如何落实？
既然是应用，首先便需落脚于实际生活的具体情境中，我们需考虑两方面因素：一是学生自身所处生活环境及具备的生活认知;二是现实生活中的问题往往不会单一出现，它必定是多维度以问题串的方式呈现的.其次，从实际要解决的问题中抽象出数学问题.第三，分析数学问题中的数量关系或变化规律.第四，运用数学语言构建模型.第五，借助数学知识、技能、方法等解析模型，解決实际问题.本节课，笔者设计了一个实际背景问题，借助问题串的形式引导学生落实以上五个步骤.
思考3：选择什么样的内容引导学生学？
实践表明，学生核心素养的形成与发展，在本质上不是靠教师“教”出来的，而是靠学生“悟”出来的.本节反比例函数建模课，需要学生前面学过的基础知识作为解决问题的铺垫，对教材中的例1进行二次开发，实现对反比例函数概念、三种表达形式、图象与性质的复习.接下来，结合教材例2、本节练习第2题、习题26.2复习巩固的第9题，创设一个实际问题下的问题串，突破本节课的重难点.
二、教材习题的二次开发在教学中的运用
教材呈现1：（教材第12页例1）市煤气公司要在地下修建一个容积为104 m3的圆柱形煤气储存室.
（1）储存室的底面积S（单位：m2）与其深度d（单位：m）有怎样的函数关系？
（2）公司决定把储存室的底面积S定为500 m2，施工队施工时应该向地下掘进多深？
（3）当施工队按（2）中的计划掘进到地下15 m时，公司临时改变计划，把储存室的深度改为15 m.相应地，储存室的底面积应改为多少（结果保留小数点后两位）？
设计开发1：同学们，若我们用数学的眼光看世界，会发现，你的身边一直存在着许多数学模型.
（1）你每天喝水使用的水杯可以抽象为哪种立体图形？
（2）这个立体图形的体积、底面积、高三者之间存在着怎样的等量关系？
（3）已知圆柱体体积V=100 m3，其底面积S与高h具有一次函数、二次函数、反比例函数关系中的哪种函数关系？为什么？
（4）根据你的判断，请写出S与h的函数关系式，能写几种解析式的表达方式？分别是什么？
（5）当h=10 m时，求S的值.
（6）请选择图1中表示关于S与h的正确函数图象，并说明理由.
【设计意图】教材中例1的题设背景是市煤气公司在地下修建圆柱形煤气储存室的问题探究，离学生生活较远，故笔者修改了题设背景.第（1）问的设计意在引导学生从实际生活中抽象出数学问题.第（2）问意在引导学生分析数学问题中的数量关系.第（3）问意在分析变化规律，引导学生在初中学过的所有函数关系中明确本题变量间的函数关系;借此复习反比例函数的概念，即两变量乘积是一个非零常数.第（4）问意在用数学符号语言即解析式表述模型，同时复习反比例函数解析式的三种表达形式，为后续解决实际问题进行知识点储备复习.第（5）问呼应教材例1考查知识点，学生能通过解析式，已知其中一个变量的具体值，求另一个变量的值.第（6）问意在复习反比例函数的图象与性质，并通过辨析，引导学生类比之前对函数实际应用的学习，归纳出实际问题自变量非负性这一特点.同时，与教材习题26.2复习巩固第5题的考查内容形成呼应，为学生突破例2的重难点做好数形结合思想应用的助力工作.
教材呈现2：（教材第13页例2）码头工人每天往一艘轮船上装载30吨货物，装载完毕恰好用了8天时间.
（1）轮船到达目的地后开始卸货，平均卸货速度v（单位：吨/天）与卸货天数t之间有怎样的函数关系？
（2）由于遇到紧急情况，要求船上的货物不超过5天卸载完毕，那么平均每天至少要卸载多少吨？
设计开发2：（装卸货模型探究）抗疫期间，云南各地均组织对湖北进行物资援助。某地工人装载一批物资，每天可装载30吨，装载完毕恰好用了8天时间.
（1）该物资到达目的地后开始卸货，平均卸货速度v（单位：吨/天）与卸货天数t之间有怎样的函数关系？
（2）要求该物资5天卸载完毕，那么平均每天要卸载多少吨.
（3）接到上级命令，要求该物资不超过5天卸载完毕，那么平均每天至少要卸载多少吨？
（4）解决第（3）问，你还有哪些方法？请思考并与同学分享. （5）一次物资运输援助，除考虑装卸货过程外，方案制定时还需考虑哪些环节？
【设计意图】教材例2的题目背景是码头工人往轮船上装卸货情况探究，云南不是沿海城市，根据学情替换背景，更改为抗疫物资援助，可以激发学生的学习兴趣，加强立德树人教育思想的渗透.原题中只有两问，即开发设计后题目的第（1）（3）问.加入第（2）问的目的是为了对学生从等量关系到不等关系的解决搭建一个认知的台阶，即方程思想的铺陈.第（4）问的设计，意在引导学生类比一次函数、二次函数学习经历与方法，自主构建方程、不等式、函数三者联系助力实现不等关系的解决.也就是说，学生可以借助方程思想，先求临界值再求范围;或借助函数增减性，数形结合得到范围;或借助不等式组，代数运算得到范围，助力学生自我构建新知.第（5）问的设计，意在引导学生结合实际思考问题，除装卸货过程外，运输方面也需要考虑路程、速度、时间、运输车辆本身的性能等实际问题，引导学生在通过模型构建解决问题的同时，感受“战疫”时方案制定的科学性与必要性.教师借由问题串的现实条件分析，让学生有身临其境之感，引导其体会用数学思维分析问题的优越性.
教材呈现3：（教材第15页练习2）一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以80 km/h的平均速度用6 h到达目的地.
（1）当他按原路匀速返回时，汽车的速度v与时间t有怎样的函数关系？
（2）如果该司机必须在4 h之内回到甲地，那么返程时的平均速度不能小于多少？
设计开发3：（运输货模型探究）云南文山在抗疫期间多次向湖北运输“文山三七”这一中草药，要运向湖北，需要首先到达云南省会城市昆明.已知一司机驾驶汽车从文山去昆明，记汽车行驶时间为t（单位：小时），平均速度为v（单位：千米/小时），根据经验v，t的一组对应值如下表：
（1）当他按原路返回时，根据表中数据，平均速度v（单位：千米/小时）关于行驶时间t（单位：小时）的函数表达式是 .
（2）若该司机必须在4小时内回到文山，那么返程时的平均速度不能小于多少？
（3）若返程汽车行驶速度不超过100千米/小时，最快多长时间可以返程？
（4）若返程时，司机车速控制在80≤v≤100（km/h）范围内，求返程所用时间t的取值范围.
（5）若返程行驶时间需满足4≤t≤4.8（h），则司机需要将车速控制在哪个范围？
【设计意图】教材原题考查内容为开发设计后题目的第（1）（2）问.开发设计后题目增加第（3）至（5）问，意在强化学生解决不等关系的三种思想方法，即方程思想、函数最值思想、不等式（组）思想的应用强化，实现“已知一变量变化规律，求对应变量相应取值范围”这个学习难点的突破，开展有阶梯性、有针对性的课堂训练.同时，设计中题设呈现的等量关系借助表格的形式，意在提示学生解析式中常数的获得，可通过文字、符号、图形三种数学语言提供求解条件.
教材呈现4：（教材第17页习题26.2复习巩固第9题）某汽车油箱的容积为70 L，小王把油箱加满油后驾驶汽车从县城到300 km外的省城接客人，接到客人后立即按原路返回.请回答下列问题：
（1）油箱加满油后，汽车行驶的总路程S（单位：km）与平均耗油量b（单位：L/km）有怎样的函数关系？
（2）小王以平均每千米耗油0.1 L的速度驾驶汽车达到省城.返程时由于下雨，小王降低了车速，此时平均每千米的耗油量增加了一倍.若小王始终以此速度行驶，不需加油能否回到县城？如果不能，至少还需加多少升油？
设计开发4：（运输过程个体因素探究）某司机驾驶的是一辆江铃货車进行该次物资运输.
（1）油箱加满油后，如图2所示，货车行驶的总路程S（单位：km）与平均耗油量b（单位：L/km）有怎样的函数关系？
（2）在这段相距480 km的路上，货车以平均每千米耗油0.1 L的速度前往昆明，返程时由于下雨，降低了车速，此时平均每千米的耗油量增加了一倍.若司机始终以此速度返程，不加油能否回到文山？如果不能，至少还需加多少升油？
【设计意图】设计开发后题目变化的主要是第（1）问，借助图象语言求解析式.同时，介于实际生活中运输车的油箱容量，承接问题串中“战疫”运输的路程，对原题进行了计算数字的改编，起到完善这个实际生活中运输问题的作用.
三、教学反思
在认真研读教材的情况下，结合学情，笔者才会考虑对教材习题进行二次开发，目的在于为学生搭建突破知识重难点的台阶，助力学生自主构建新知，直抵学生思维的“最近发展区”，在充分了解学生原有学习水平、学习规律和学习特点的基础上，方便学生在宽松的氛围中进行探究.
在实际教学中，本节课容量大，有梯度，需要学生具备一定的能力与素养，也需要教师在教育教学中的长期积累与内化.教师借由解决一个时代背景下的问题串展开的实际问题，完成立德树人的根本任务，让学生更有身临其境之感，体会数学建模在生活中的应用性;通过模型的建立、问题的解决，让学生切身感受借助数学模型解决实际问题的方式方法，让数学建模的核心素养慢慢融入学生的数学学习日常.
有效的数学学习不仅要学知识，还要学解决问题的思路与方法;培养学生的数学核心素养需要每节课的有机配合，更加需要教师的潜心研究与不懈尝试.
◇责任编辑 邱 艳◇
一、课前思考
本节课教材安排了两个例题，例1的背景比较简单，抽象为数学问题就是圆柱的体积、底面积与高三个量之间的等量关系.例1中体积是个常数，底面积是高的反比例函数，确定解析式后，用待定系数法解决问题即可.例2与例1不同，没有直接给出反比例函数中的常数，首先需要通过等量关系确定;例2第（2）问涉及不等关系，解决这个问题是本节课的重难点.本节课的核心是学生会通过反比例函数模型的构建解决实际问题.
思考1：本节课的本质是什么？它在本单元学生的学习中起何种作用？
本节课是一节函数建模课，具体是利用反比例函数模型解决实际问题.它既是一节数学知识、技能、方法、思维的实际应用探究课，也是一节单元知识点复习课.类比之前一次函数、二次函数的学习经历，本单元，笔者也是在带领学生学习反比例函数的概念、解析式的三种表达形式、图象与性质后，开启了函数的应用之旅.
思考2：数学建模的核心素养如何落实？
既然是应用，首先便需落脚于实际生活的具体情境中，我们需考虑两方面因素：一是学生自身所处生活环境及具备的生活认知;二是现实生活中的问题往往不会单一出现，它必定是多维度以问题串的方式呈现的.其次，从实际要解决的问题中抽象出数学问题.第三，分析数学问题中的数量关系或变化规律.第四，运用数学语言构建模型.第五，借助数学知识、技能、方法等解析模型，解決实际问题.本节课，笔者设计了一个实际背景问题，借助问题串的形式引导学生落实以上五个步骤.
思考3：选择什么样的内容引导学生学？
实践表明，学生核心素养的形成与发展，在本质上不是靠教师“教”出来的，而是靠学生“悟”出来的.本节反比例函数建模课，需要学生前面学过的基础知识作为解决问题的铺垫，对教材中的例1进行二次开发，实现对反比例函数概念、三种表达形式、图象与性质的复习.接下来，结合教材例2、本节练习第2题、习题26.2复习巩固的第9题，创设一个实际问题下的问题串，突破本节课的重难点.
二、教材习题的二次开发在教学中的运用
教材呈现1：（教材第12页例1）市煤气公司要在地下修建一个容积为104 m3的圆柱形煤气储存室.
（1）储存室的底面积S（单位：m2）与其深度d（单位：m）有怎样的函数关系？
（2）公司决定把储存室的底面积S定为500 m2，施工队施工时应该向地下掘进多深？
（3）当施工队按（2）中的计划掘进到地下15 m时，公司临时改变计划，把储存室的深度改为15 m.相应地，储存室的底面积应改为多少（结果保留小数点后两位）？
设计开发1：同学们，若我们用数学的眼光看世界，会发现，你的身边一直存在着许多数学模型.
（1）你每天喝水使用的水杯可以抽象为哪种立体图形？
（2）这个立体图形的体积、底面积、高三者之间存在着怎样的等量关系？
（3）已知圆柱体体积V=100 m3，其底面积S与高h具有一次函数、二次函数、反比例函数关系中的哪种函数关系？为什么？
（4）根据你的判断，请写出S与h的函数关系式，能写几种解析式的表达方式？分别是什么？
（5）当h=10 m时，求S的值.
（6）请选择图1中表示关于S与h的正确函数图象，并说明理由.
【设计意图】教材中例1的题设背景是市煤气公司在地下修建圆柱形煤气储存室的问题探究，离学生生活较远，故笔者修改了题设背景.第（1）问的设计意在引导学生从实际生活中抽象出数学问题.第（2）问意在引导学生分析数学问题中的数量关系.第（3）问意在分析变化规律，引导学生在初中学过的所有函数关系中明确本题变量间的函数关系;借此复习反比例函数的概念，即两变量乘积是一个非零常数.第（4）问意在用数学符号语言即解析式表述模型，同时复习反比例函数解析式的三种表达形式，为后续解决实际问题进行知识点储备复习.第（5）问呼应教材例1考查知识点，学生能通过解析式，已知其中一个变量的具体值，求另一个变量的值.第（6）问意在复习反比例函数的图象与性质，并通过辨析，引导学生类比之前对函数实际应用的学习，归纳出实际问题自变量非负性这一特点.同时，与教材习题26.2复习巩固第5题的考查内容形成呼应，为学生突破例2的重难点做好数形结合思想应用的助力工作.
教材呈现2：（教材第13页例2）码头工人每天往一艘轮船上装载30吨货物，装载完毕恰好用了8天时间.
（1）轮船到达目的地后开始卸货，平均卸货速度v（单位：吨/天）与卸货天数t之间有怎样的函数关系？
（2）由于遇到紧急情况，要求船上的货物不超过5天卸载完毕，那么平均每天至少要卸载多少吨？
设计开发2：（装卸货模型探究）抗疫期间，云南各地均组织对湖北进行物资援助。某地工人装载一批物资，每天可装载30吨，装载完毕恰好用了8天时间.
（1）该物资到达目的地后开始卸货，平均卸货速度v（单位：吨/天）与卸货天数t之间有怎样的函数关系？
（2）要求该物资5天卸载完毕，那么平均每天要卸载多少吨.
（3）接到上级命令，要求该物资不超过5天卸载完毕，那么平均每天至少要卸载多少吨？
（4）解决第（3）问，你还有哪些方法？请思考并与同学分享. （5）一次物资运输援助，除考虑装卸货过程外，方案制定时还需考虑哪些环节？
【设计意图】教材例2的题目背景是码头工人往轮船上装卸货情况探究，云南不是沿海城市，根据学情替换背景，更改为抗疫物资援助，可以激发学生的学习兴趣，加强立德树人教育思想的渗透.原题中只有两问，即开发设计后题目的第（1）（3）问.加入第（2）问的目的是为了对学生从等量关系到不等关系的解决搭建一个认知的台阶，即方程思想的铺陈.第（4）问的设计，意在引导学生类比一次函数、二次函数学习经历与方法，自主构建方程、不等式、函数三者联系助力实现不等关系的解决.也就是说，学生可以借助方程思想，先求临界值再求范围;或借助函数增减性，数形结合得到范围;或借助不等式组，代数运算得到范围，助力学生自我构建新知.第（5）问的设计，意在引导学生结合实际思考问题，除装卸货过程外，运输方面也需要考虑路程、速度、时间、运输车辆本身的性能等实际问题，引导学生在通过模型构建解决问题的同时，感受“战疫”时方案制定的科学性与必要性.教师借由问题串的现实条件分析，让学生有身临其境之感，引导其体会用数学思维分析问题的优越性.
教材呈现3：（教材第15页练习2）一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以80 km/h的平均速度用6 h到达目的地.
（1）当他按原路匀速返回时，汽车的速度v与时间t有怎样的函数关系？
（2）如果该司机必须在4 h之内回到甲地，那么返程时的平均速度不能小于多少？
设计开发3：（运输货模型探究）云南文山在抗疫期间多次向湖北运输“文山三七”这一中草药，要运向湖北，需要首先到达云南省会城市昆明.已知一司机驾驶汽车从文山去昆明，记汽车行驶时间为t（单位：小时），平均速度为v（单位：千米/小时），根据经验v，t的一组对应值如下表：
（1）当他按原路返回时，根据表中数据，平均速度v（单位：千米/小时）关于行驶时间t（单位：小时）的函数表达式是 .
（2）若该司机必须在4小时内回到文山，那么返程时的平均速度不能小于多少？
（3）若返程汽车行驶速度不超过100千米/小时，最快多长时间可以返程？
（4）若返程时，司机车速控制在80≤v≤100（km/h）范围内，求返程所用时间t的取值范围.
（5）若返程行驶时间需满足4≤t≤4.8（h），则司机需要将车速控制在哪个范围？
【设计意图】教材原题考查内容为开发设计后题目的第（1）（2）问.开发设计后题目增加第（3）至（5）问，意在强化学生解决不等关系的三种思想方法，即方程思想、函数最值思想、不等式（组）思想的应用强化，实现“已知一变量变化规律，求对应变量相应取值范围”这个学习难点的突破，开展有阶梯性、有针对性的课堂训练.同时，设计中题设呈现的等量关系借助表格的形式，意在提示学生解析式中常数的获得，可通过文字、符号、图形三种数学语言提供求解条件.
教材呈现4：（教材第17页习题26.2复习巩固第9题）某汽车油箱的容积为70 L，小王把油箱加满油后驾驶汽车从县城到300 km外的省城接客人，接到客人后立即按原路返回.请回答下列问题：
（1）油箱加满油后，汽车行驶的总路程S（单位：km）与平均耗油量b（单位：L/km）有怎样的函数关系？
（2）小王以平均每千米耗油0.1 L的速度驾驶汽车达到省城.返程时由于下雨，小王降低了车速，此时平均每千米的耗油量增加了一倍.若小王始终以此速度行驶，不需加油能否回到县城？如果不能，至少还需加多少升油？
设计开发4：（运输过程个体因素探究）某司机驾驶的是一辆江铃货車进行该次物资运输.
（1）油箱加满油后，如图2所示，货车行驶的总路程S（单位：km）与平均耗油量b（单位：L/km）有怎样的函数关系？
（2）在这段相距480 km的路上，货车以平均每千米耗油0.1 L的速度前往昆明，返程时由于下雨，降低了车速，此时平均每千米的耗油量增加了一倍.若司机始终以此速度返程，不加油能否回到文山？如果不能，至少还需加多少升油？
【设计意图】设计开发后题目变化的主要是第（1）问，借助图象语言求解析式.同时，介于实际生活中运输车的油箱容量，承接问题串中“战疫”运输的路程，对原题进行了计算数字的改编，起到完善这个实际生活中运输问题的作用.
三、教学反思
在认真研读教材的情况下，结合学情，笔者才会考虑对教材习题进行二次开发，目的在于为学生搭建突破知识重难点的台阶，助力学生自主构建新知，直抵学生思维的“最近发展区”，在充分了解学生原有学习水平、学习规律和学习特点的基础上，方便学生在宽松的氛围中进行探究.
在实际教学中，本节课容量大，有梯度，需要学生具备一定的能力与素养，也需要教师在教育教学中的长期积累与内化.教师借由解决一个时代背景下的问题串展开的实际问题，完成立德树人的根本任务，让学生更有身临其境之感，体会数学建模在生活中的应用性;通过模型的建立、问题的解决，让学生切身感受借助数学模型解决实际问题的方式方法，让数学建模的核心素养慢慢融入学生的数学学习日常.
有效的数学学习不仅要学知识，还要学解决问题的思路与方法;培养学生的数学核心素养需要每节课的有机配合，更加需要教师的潜心研究与不懈尝试.
◇责任编辑 邱 艳◇