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数学是有趣且美妙的，但是有时候它却会让你失去信心，甚至在别人面前出丑。这是因为在一些看起来非常直观的数学问题的背后，往往隐藏着你容易忽略的简单逻辑，导致你在计算的时候“栽跟头”。算错往往不是因为你不懂，而是数学其实是一个非常巧妙的“伪装者”，它常常让你忘记了它其实是戴着面纱的。本文介绍了3例违反直觉的概率事件。
三门问题
第一个事件是三门问题。1963年的一个美国电视游戏节目《让我们做个交易》中，一个叫做蒙蒂·霍尔的主持人提出了该问题。三门问题是这样描述的：你作为一个玩家在玩一个游戏——在你前面分别有左、中、右三扇门，一扇门后面有一辆汽车，其余两扇门后面分别是一只山羊。你有一次开门的机会，如果你打开了后面停着汽车的门，你就能赢走这辆汽车。如果你打开了其他的门，那你将什么都得不到。
你肯定是不会知道每扇门后面是什么的，庄家则一清二楚。当你选中一扇门时（假设此门为1号），庄家就会挑选另一扇门（假设是3号），3号门的后面是一只山羊。然后庄家问你：你想改变你的选择吗？要不改选2号门？这时你自然而然地认为，只剩下两扇门了，且一扇是山羊一扇是车，不管选择1号还是2号，获得车的概率都是1/2，就不用改变选择了吧。然而，如果你这样想，你就错了！事实上，如果你改选2号门，你赢得汽车的概率是2/3。如果你坚持1号门，你赢得汽车的概率只有1/3，这是为什么呢？
左、中、右三扇门，门后的物体有三种可能的排列——1：车、羊、羊;2：羊、车、羊;3：羊、羊、车。门的位置是不變的，但号码是可以变的——你挑的门为1号门，庄家开给你看的为3号门。我们假设你挑选的是左门，即左门为1号门（哪个门作为1号门都是一样的）。对于第一种情况而言，中门和右门哪个作为2号门（3号门）的结果都是一样的，即你只有坚持原选择，你才能赢得车;对于第二种情况，庄家会打开右门作为3号门给你看，因为这扇门后是一只羊，而你只有改变选择，选择2号门的中门，才能赢得车;而对于第三种情况，庄家会给你看中门，而你只有改变选择，选择作为2号门的右门，你才能赢。所以以上三种情况，有两种情况是改变选择才能赢，只有一种情况是坚持选择才能赢。综上，改变选择赢的概率是2/3，而坚持选择赢的概率是1/3。所以，为了更可能赢车，你还是改选2号门吧。
8名囚犯的问题
第二个事件是这样的，分别被标号为1～8的8名囚犯获得了一个被集体释放的机会，但他们需要通过一个游戏：他们将按号码顺序陆续进入一个房间。该房间里面有8个抽屉，每个抽屉里面有一个小纸条，纸条上面有一个号码，号码为1～8中的一个且不重复，且纸条是随机放在抽屉里的。每个囚犯分别轮流进入房间，进去后的囚犯最多被允许打开任意4个抽屉，如果这4个抽屉里面有写着这个人序号的纸条，这个人就算赢。上一个囚犯将所有的东西还原并且出去后，下一个囚犯才能进来。一旦游戏开始，即第一个人进入房间，所有的囚犯将不得再交流。8名囚犯必须全部赢，他们才能被释放。一旦有一名囚犯输了，这群人将全部被枪毙。
这个游戏可比上一个游戏残酷多了！因为对于一名囚犯来说，写有他的号码的纸条在他所挑选的4个抽屉里面的概率为4除以8，即1/2。每一名囚犯都是独立做挑选工作的，且互不干扰，所以8囚犯全部赢的概率为（1/2）8≈0.0039，甚至还不足千分之四。这个概率太小了，有同学看到这里会认为这群囚犯很难活得了，这个游戏极其不公平！但事情真的只能是这样吗？
实际上，如果囚犯们采取一种共同的策略，就可以使所有人都赢的机会大大增加，这个概率甚至超过了30%。那么这是什么策略呢？我们把抽屉按1～8的顺序从左到右给抽屉编号。我们规定序号为X的囚犯第一个必须打开序号为X的抽屉，然后按照X序号抽屉里面的号码Y，确定下一个打开的抽屉的序号。按照这种模式，一直找到自己的号码为止，或者用完能够抽取的抽屉的次数。我们利用一种布局来说明一下这种策略。
抽屉序号 1 2 3 4 5 6 7 8
抽屉里的号码 4 6 1 3 7 5 2 8
由1号囚犯开始，他打开了1号抽屉，看到了号码4。然后打开抽屉4，看到了号码3，再打开抽屉3，看到了号码1，他赢了。
对于2号囚犯：抽屉2 →抽屉6 →抽屉5 →抽屉7，赢了
对于3号囚犯： 抽屉3 →抽屉1 →抽屉4，赢了
对于4号囚犯： 抽屉4 →抽屉3 →抽屉1，赢了
对于5号囚犯： 抽屉5 →抽屉7 →抽屉2 →抽屉6，赢了
对于6号囚犯： 抽屉6 →抽屉5 →抽屉7 →抽屉2，赢了
对于7号囚犯： 抽屉7 →抽屉2 →抽屉6→抽屉5，赢了
对于8号囚犯： 抽屉8，赢了。至此，所有人都会被释放。
我们发现，对于这种布局，无论谁去打开抽屉，他都将陷入三种循环（如下）中的其中一种。而之所以每个人都能赢，是因为这三种循环含有的抽屉数都不多于4个，这意味着任何人都能在4次选择之前找到自己的号码。
一：抽屉1→抽屉4→抽屉3 →抽屉1
二：抽屉2 →抽屉6 →抽屉5 →抽屉7→抽屉2
三：抽屉8本身循环
然而，如果换一种布局，情况可就不那么妙了。例如下面这一种：
抽屉序号 1 2 3 4 5 6 7 8
抽屉里的号码 4 6 8 3 7 5 1 2
这里面只有一个循环：抽屉1→抽屉4→抽屉3 →抽屉8→抽屉2→抽屉6 →抽屉5→抽屉7→抽屉1。这个循环含有全部8个抽屉，任何人要想翻出自己的号码，都得开完8个抽屉。看来，这种策略有时会面临好运，有时会面临厄运。
但我们在意的是成功的概率。首先得提一下客观事实，含有超过一半数量——4个的抽屉的循环（可能含有5、6、7或8个抽屉）最多只有一个，因为抽屉总量是8个。而一旦存在含有超过4个抽屉的循环，意味着一定会有人失败。经过计算，不含有超过4个循环的布局发生的概率约为0.365（学过排列组合的同学可以自己算下），这也是这种策略的成功率，这个数字远大于千分之四。
辛普森悖论
第三个事件是这样的：根据下面两个表格所显示的数据，你认为迈克尔·乔丹和雷吉·米勒哪一个投篮命中率最高？
乍一看，雷吉·米勒的三分命中率和2分命中率都比迈克尔·乔丹高——52%>51%、38%>29%，我们就很容易得出雷吉·米勒的命中率比迈克尔·乔丹高的结论。然而事情却并非直观印象所显示的那样——迈克尔·乔丹的命中率更高！因为三分和两分的命中率所占的比例是不一样的，我们不能简单的将三分和两分的命中率分别直接对比，这就是辛普森悖论。平均下来，迈克尔·乔丹的命中率是49%，而雷吉·米勒的命中率是47%，迈克尔·乔丹技高一筹。这是怎么算的呢？
其实，这个很简单，因为命中率和场均分数无关，我们只需要将场均命中的次数除以场均尝试的次数就可以了。对于迈克尔·乔丹来说，其场均命中率为（21.2×51%+1.7×29%）/（21.2+1.7）≈49%，按照同样的方法算得雷吉·米勒的场均命中率约为47%。结果很惊讶吧？
三门问题
第一个事件是三门问题。1963年的一个美国电视游戏节目《让我们做个交易》中，一个叫做蒙蒂·霍尔的主持人提出了该问题。三门问题是这样描述的：你作为一个玩家在玩一个游戏——在你前面分别有左、中、右三扇门，一扇门后面有一辆汽车，其余两扇门后面分别是一只山羊。你有一次开门的机会，如果你打开了后面停着汽车的门，你就能赢走这辆汽车。如果你打开了其他的门，那你将什么都得不到。
你肯定是不会知道每扇门后面是什么的，庄家则一清二楚。当你选中一扇门时（假设此门为1号），庄家就会挑选另一扇门（假设是3号），3号门的后面是一只山羊。然后庄家问你：你想改变你的选择吗？要不改选2号门？这时你自然而然地认为，只剩下两扇门了，且一扇是山羊一扇是车，不管选择1号还是2号，获得车的概率都是1/2，就不用改变选择了吧。然而，如果你这样想，你就错了！事实上，如果你改选2号门，你赢得汽车的概率是2/3。如果你坚持1号门，你赢得汽车的概率只有1/3，这是为什么呢？
左、中、右三扇门，门后的物体有三种可能的排列——1：车、羊、羊;2：羊、车、羊;3：羊、羊、车。门的位置是不變的，但号码是可以变的——你挑的门为1号门，庄家开给你看的为3号门。我们假设你挑选的是左门，即左门为1号门（哪个门作为1号门都是一样的）。对于第一种情况而言，中门和右门哪个作为2号门（3号门）的结果都是一样的，即你只有坚持原选择，你才能赢得车;对于第二种情况，庄家会打开右门作为3号门给你看，因为这扇门后是一只羊，而你只有改变选择，选择2号门的中门，才能赢得车;而对于第三种情况，庄家会给你看中门，而你只有改变选择，选择作为2号门的右门，你才能赢。所以以上三种情况，有两种情况是改变选择才能赢，只有一种情况是坚持选择才能赢。综上，改变选择赢的概率是2/3，而坚持选择赢的概率是1/3。所以，为了更可能赢车，你还是改选2号门吧。
8名囚犯的问题
第二个事件是这样的，分别被标号为1～8的8名囚犯获得了一个被集体释放的机会，但他们需要通过一个游戏：他们将按号码顺序陆续进入一个房间。该房间里面有8个抽屉，每个抽屉里面有一个小纸条，纸条上面有一个号码，号码为1～8中的一个且不重复，且纸条是随机放在抽屉里的。每个囚犯分别轮流进入房间，进去后的囚犯最多被允许打开任意4个抽屉，如果这4个抽屉里面有写着这个人序号的纸条，这个人就算赢。上一个囚犯将所有的东西还原并且出去后，下一个囚犯才能进来。一旦游戏开始，即第一个人进入房间，所有的囚犯将不得再交流。8名囚犯必须全部赢，他们才能被释放。一旦有一名囚犯输了，这群人将全部被枪毙。
这个游戏可比上一个游戏残酷多了！因为对于一名囚犯来说，写有他的号码的纸条在他所挑选的4个抽屉里面的概率为4除以8，即1/2。每一名囚犯都是独立做挑选工作的，且互不干扰，所以8囚犯全部赢的概率为（1/2）8≈0.0039，甚至还不足千分之四。这个概率太小了，有同学看到这里会认为这群囚犯很难活得了，这个游戏极其不公平！但事情真的只能是这样吗？
实际上，如果囚犯们采取一种共同的策略，就可以使所有人都赢的机会大大增加，这个概率甚至超过了30%。那么这是什么策略呢？我们把抽屉按1～8的顺序从左到右给抽屉编号。我们规定序号为X的囚犯第一个必须打开序号为X的抽屉，然后按照X序号抽屉里面的号码Y，确定下一个打开的抽屉的序号。按照这种模式，一直找到自己的号码为止，或者用完能够抽取的抽屉的次数。我们利用一种布局来说明一下这种策略。
抽屉序号 1 2 3 4 5 6 7 8
抽屉里的号码 4 6 1 3 7 5 2 8
由1号囚犯开始，他打开了1号抽屉，看到了号码4。然后打开抽屉4，看到了号码3，再打开抽屉3，看到了号码1，他赢了。
对于2号囚犯：抽屉2 →抽屉6 →抽屉5 →抽屉7，赢了
对于3号囚犯： 抽屉3 →抽屉1 →抽屉4，赢了
对于4号囚犯： 抽屉4 →抽屉3 →抽屉1，赢了
对于5号囚犯： 抽屉5 →抽屉7 →抽屉2 →抽屉6，赢了
对于6号囚犯： 抽屉6 →抽屉5 →抽屉7 →抽屉2，赢了
对于7号囚犯： 抽屉7 →抽屉2 →抽屉6→抽屉5，赢了
对于8号囚犯： 抽屉8，赢了。至此，所有人都会被释放。
我们发现，对于这种布局，无论谁去打开抽屉，他都将陷入三种循环（如下）中的其中一种。而之所以每个人都能赢，是因为这三种循环含有的抽屉数都不多于4个，这意味着任何人都能在4次选择之前找到自己的号码。
一：抽屉1→抽屉4→抽屉3 →抽屉1
二：抽屉2 →抽屉6 →抽屉5 →抽屉7→抽屉2
三：抽屉8本身循环
然而，如果换一种布局，情况可就不那么妙了。例如下面这一种：
抽屉序号 1 2 3 4 5 6 7 8
抽屉里的号码 4 6 8 3 7 5 1 2
这里面只有一个循环：抽屉1→抽屉4→抽屉3 →抽屉8→抽屉2→抽屉6 →抽屉5→抽屉7→抽屉1。这个循环含有全部8个抽屉，任何人要想翻出自己的号码，都得开完8个抽屉。看来，这种策略有时会面临好运，有时会面临厄运。
但我们在意的是成功的概率。首先得提一下客观事实，含有超过一半数量——4个的抽屉的循环（可能含有5、6、7或8个抽屉）最多只有一个，因为抽屉总量是8个。而一旦存在含有超过4个抽屉的循环，意味着一定会有人失败。经过计算，不含有超过4个循环的布局发生的概率约为0.365（学过排列组合的同学可以自己算下），这也是这种策略的成功率，这个数字远大于千分之四。
辛普森悖论
第三个事件是这样的：根据下面两个表格所显示的数据，你认为迈克尔·乔丹和雷吉·米勒哪一个投篮命中率最高？
乍一看，雷吉·米勒的三分命中率和2分命中率都比迈克尔·乔丹高——52%>51%、38%>29%，我们就很容易得出雷吉·米勒的命中率比迈克尔·乔丹高的结论。然而事情却并非直观印象所显示的那样——迈克尔·乔丹的命中率更高！因为三分和两分的命中率所占的比例是不一样的，我们不能简单的将三分和两分的命中率分别直接对比，这就是辛普森悖论。平均下来，迈克尔·乔丹的命中率是49%，而雷吉·米勒的命中率是47%，迈克尔·乔丹技高一筹。这是怎么算的呢？
其实，这个很简单，因为命中率和场均分数无关，我们只需要将场均命中的次数除以场均尝试的次数就可以了。对于迈克尔·乔丹来说，其场均命中率为（21.2×51%+1.7×29%）/（21.2+1.7）≈49%，按照同样的方法算得雷吉·米勒的场均命中率约为47%。结果很惊讶吧？