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【摘 要】 直线与圆锥曲线所产生的数学问题(如直线与圆锥曲线的位置关系问题,直线与圆锥曲线的相交弦问题等),能从圆锥曲线的本质出发,以代数思维加以归纳分析进行解题,本文将就以上问题的求解过程进行系统的分析、归纳。
【关键词】 圆锥曲线 公共点 韦达定理 相交弦
圆锥曲线包括椭圆、抛物线和双曲线,通过直角坐标系,它们又与二次方程对应,所以,圆锥曲线又叫做二次曲线。圆锥曲线一直是几何学研究的重要课题之一,它们与直线的位置关系的判定,弦长的有关计算、证明等也是高考命题的热点。现从以上两方面作出归纳分析。
1 直线与圆锥曲线的位置关系问题
直线与圆锥曲线的位置关系可分为:相交、相切、相离。由二次曲线的本质,可从它们的方程组解的情况来确定属哪种关系。由方程组消元后得到形式上的一元二次方程,必须讨论二次项的系数是否为零.若不为零,再通过判别式△讨论根的个数,从而得到直线与圆锥曲线的相交、相切或相离位置关系的判定;若二次项系数为零,消元后的方程实际上是个一次方程,通过讨论它是否有满足方程组的根,进而得知直线与圆锥曲线相交(方程组有一解)或相离(方程组无解)。操作如下:
1.1 联立直线方程与曲线方程,得方程组Ax+By+C=0F(x,y)=0
1.2 方程组消去y(或消去x)得到关于x的方程:ax2+bx+c=0(或关于y的方程ax2+bx+c=0)
1.3 判断第二步中方程的解的个数。
1.3.1 若a=0,且b=0,则方程无解,此时,直线与圆锥曲线相离。
1.3.2 若a=0,且b≠0,即得一元一次方程bx+c=0,方程仅有一解,此时,直线与圆锥曲线相交。
1.3.3 若a≠0,即得一元二次方程ax2+bx+c=0,其中△=b2-4ac.①△>0?圳方程有两解?圳直线与圆锥曲线相交于不同两点;②△=0?圳方程有一解?圳直线与圆锥曲线相切;③△<0?圳方程无解?圳直线与圆锥曲线相离。
值得注意的是:对于抛物线来说,平行或重合于对称轴的直线与抛物线相交于一点,但并不是相切;对于双曲线来说,平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点,但并不相切。因此直线与抛物线、双曲线仅有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件,但不是充分条件。
例1:直线l过点( ,0)且与双曲线x2-y2=2仅有一个公共点,这样的直线有()
A、1条B、2条C、3条D、4条
分析:正确选项是C,除了通过右顶点( ,0)垂直于 x轴的切线x= 外,还应有通过右顶点( ,0)平行于渐近线且斜率为k±1 的两条直线。
2 直线与圆锥曲线的相交弦问题
直线与圆锥曲线的相交弦问题往往涉及中点弦、弦长或其它综合性问题,可利用联立方程组消元后所得一元二次方程中根与系数关系(韦达定理)对相交弦问题设而不求(如例3)、整体处理。操作如下:
2.1 设线(直线和圆锥曲线的方程)设点(弦端点坐标)
2.2 联立直线方程与圆锥曲线方程,由方程组消元得:ax2+bx+c=0(或ay2+by+c=0)
2.3 由韦达定理知根与系数的关系:x1+x2=- ,x1x2=- ;且须满足a≠0△>0
2.4 将题设条件翻译成关于弦端点的坐标条件,然后整体代入韦达定理,从而求出所设参数,最后检验是否满足a≠0△>0.第四步中常常用到下列公式:
弦的斜率:kAB= ;弦中点坐标: x0= y0=
弦长公式:AB= ·x1-x2= · = 或AB= ·y1-y2= · =
例2:O为坐标原点,过点P(2,0)且斜率为k的直线l交抛物线y2=2x于M(x1,y1),N(x2,y2)两点。①写出直线l的方程;②求x1x2与y1y2的值;③求证:OM⊥ON.
分析:①已知点P(2,0)且斜率为k的直线可得方程为y=k(x-2)k≠0;②联立直线方程与圆锥曲线方程,消元得:kx2-(4k2+2)x+4k2=0,由韦达定理知根与系数的关系:x1x2= 得x1x2=4;同理,可得y1y2=-4;③证OM⊥ON即证kOM·kON=-1,从题目条件可知:kOM·kON= · ,结合②解可得:kOM·kON= = =-1,从而得证。
另外,解圆锥曲线与弦的中点或中点弦的问题,除利用韦达定理外,也可以运用点差法。
例3:过椭圆 + =1内一点M(2,1)引一条弦,使弦被M点平分,求此弦所在直线的方程。
分析:设弦所在直线的方程为y-1=k(x-2),其中k待定。
设弦与椭圆的交点为C(x1,y1)、D(x2,y2),从点M(2,1)平分弦可得:x1+x2=4,y1+y2=2,且点C、点D满足方程 + =1,得:x+4y=16……①;x+4y=16……②;②-①:x-x+4(y-y)=0;4(x2-x1)+4·2·(y2-y1)=0; = ,即k= 得直线方程x+2y-4=0.
总之,在处理直线与圆锥曲线的相关问题过程中,要加强对基础知识的综合运用,重视圆锥曲线是二次曲线的本质,以代数的角度出发将问题转化为对一个二元一次方程与二元二次方程组成的方程组的解的研究,如若能数形结合,借助图形的几何性质则更为简便。
【关键词】 圆锥曲线 公共点 韦达定理 相交弦
圆锥曲线包括椭圆、抛物线和双曲线,通过直角坐标系,它们又与二次方程对应,所以,圆锥曲线又叫做二次曲线。圆锥曲线一直是几何学研究的重要课题之一,它们与直线的位置关系的判定,弦长的有关计算、证明等也是高考命题的热点。现从以上两方面作出归纳分析。
1 直线与圆锥曲线的位置关系问题
直线与圆锥曲线的位置关系可分为:相交、相切、相离。由二次曲线的本质,可从它们的方程组解的情况来确定属哪种关系。由方程组消元后得到形式上的一元二次方程,必须讨论二次项的系数是否为零.若不为零,再通过判别式△讨论根的个数,从而得到直线与圆锥曲线的相交、相切或相离位置关系的判定;若二次项系数为零,消元后的方程实际上是个一次方程,通过讨论它是否有满足方程组的根,进而得知直线与圆锥曲线相交(方程组有一解)或相离(方程组无解)。操作如下:
1.1 联立直线方程与曲线方程,得方程组Ax+By+C=0F(x,y)=0
1.2 方程组消去y(或消去x)得到关于x的方程:ax2+bx+c=0(或关于y的方程ax2+bx+c=0)
1.3 判断第二步中方程的解的个数。
1.3.1 若a=0,且b=0,则方程无解,此时,直线与圆锥曲线相离。
1.3.2 若a=0,且b≠0,即得一元一次方程bx+c=0,方程仅有一解,此时,直线与圆锥曲线相交。
1.3.3 若a≠0,即得一元二次方程ax2+bx+c=0,其中△=b2-4ac.①△>0?圳方程有两解?圳直线与圆锥曲线相交于不同两点;②△=0?圳方程有一解?圳直线与圆锥曲线相切;③△<0?圳方程无解?圳直线与圆锥曲线相离。
值得注意的是:对于抛物线来说,平行或重合于对称轴的直线与抛物线相交于一点,但并不是相切;对于双曲线来说,平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点,但并不相切。因此直线与抛物线、双曲线仅有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件,但不是充分条件。
例1:直线l过点( ,0)且与双曲线x2-y2=2仅有一个公共点,这样的直线有()
A、1条B、2条C、3条D、4条
分析:正确选项是C,除了通过右顶点( ,0)垂直于 x轴的切线x= 外,还应有通过右顶点( ,0)平行于渐近线且斜率为k±1 的两条直线。
2 直线与圆锥曲线的相交弦问题
直线与圆锥曲线的相交弦问题往往涉及中点弦、弦长或其它综合性问题,可利用联立方程组消元后所得一元二次方程中根与系数关系(韦达定理)对相交弦问题设而不求(如例3)、整体处理。操作如下:
2.1 设线(直线和圆锥曲线的方程)设点(弦端点坐标)
2.2 联立直线方程与圆锥曲线方程,由方程组消元得:ax2+bx+c=0(或ay2+by+c=0)
2.3 由韦达定理知根与系数的关系:x1+x2=- ,x1x2=- ;且须满足a≠0△>0
2.4 将题设条件翻译成关于弦端点的坐标条件,然后整体代入韦达定理,从而求出所设参数,最后检验是否满足a≠0△>0.第四步中常常用到下列公式:
弦的斜率:kAB= ;弦中点坐标: x0= y0=
弦长公式:AB= ·x1-x2= · = 或AB= ·y1-y2= · =
例2:O为坐标原点,过点P(2,0)且斜率为k的直线l交抛物线y2=2x于M(x1,y1),N(x2,y2)两点。①写出直线l的方程;②求x1x2与y1y2的值;③求证:OM⊥ON.
分析:①已知点P(2,0)且斜率为k的直线可得方程为y=k(x-2)k≠0;②联立直线方程与圆锥曲线方程,消元得:kx2-(4k2+2)x+4k2=0,由韦达定理知根与系数的关系:x1x2= 得x1x2=4;同理,可得y1y2=-4;③证OM⊥ON即证kOM·kON=-1,从题目条件可知:kOM·kON= · ,结合②解可得:kOM·kON= = =-1,从而得证。
另外,解圆锥曲线与弦的中点或中点弦的问题,除利用韦达定理外,也可以运用点差法。
例3:过椭圆 + =1内一点M(2,1)引一条弦,使弦被M点平分,求此弦所在直线的方程。
分析:设弦所在直线的方程为y-1=k(x-2),其中k待定。
设弦与椭圆的交点为C(x1,y1)、D(x2,y2),从点M(2,1)平分弦可得:x1+x2=4,y1+y2=2,且点C、点D满足方程 + =1,得:x+4y=16……①;x+4y=16……②;②-①:x-x+4(y-y)=0;4(x2-x1)+4·2·(y2-y1)=0; = ,即k= 得直线方程x+2y-4=0.
总之,在处理直线与圆锥曲线的相关问题过程中,要加强对基础知识的综合运用,重视圆锥曲线是二次曲线的本质,以代数的角度出发将问题转化为对一个二元一次方程与二元二次方程组成的方程组的解的研究,如若能数形结合,借助图形的几何性质则更为简便。