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【学科难点解读】
方程、不等式和函数都是人们刻画客观世界的重要数学模型。结合一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组与一次函数之间的关系，构建完整的知识网络，培养学生数学建模的思想，是此学段的难点所在。
用建模的思想看一元一次方程，使学生不仅能加深对方程的理解，提高认识问题的水平，还能借用数形结合的思想分析和解释“一维”空间中出现的比较复杂的变化过程。如何构建对应的图形阐释数量关系是学生学习数学的一个难点，也是数形结合思想形成的重要阶段。这一类问题基本上要经历以下几个环节：⑴建立研究问题的平台（如恰当的几何图形、平面直角坐标系等）;⑵确立数与形之间的对应关系;⑶结合图形的特点寻求相应的数量关系;⑷探索解决问题的合理途径。通过多角度、多途径解决同一类数学问题，体现出数学建模的灵活性。
案例：动态演绎、静态结合──在一元一次方程应用的行程问题中利用数形结合的思想建构数学模型阐释数量关系
【教学设计及说明】
在列代数式和解一元一次方程的基础上，本节课的内容是以行程问题中的追及问题、相遇问题为依托，体现一题多解、多题归一，形成知识的链式结构，不仅使学生明白知识本身的内涵，也要清楚知识的外延。继绝对值后又一次体会数轴上点与数的对应及其位置间的关系，为平面直角坐标系及函数的学习做以铺设;将算术、方程和函数三者统一起来，体会数学知识生成的必然性。
教学活动以“画线段图”为主线，以实现将复杂的数量关系变得直观明了;通过用“点与点的位置关系”展现行程问题中的数量关系，初步形成数形结合的思想，培养简单的表达能力，使数学知识简单化。由学生在直线（或线段）上设计“线段图”，展现行程问题中路程间的数量关系;在数轴上设计“线段图”，展现这个动点的运动路径，实现把抽象的思维变成一种直观的判断，实现从实际问题抽象到数学模型的课堂设计。本节课借助变式教学，对数学内容进行不同角度、不同背景的变式，以凸显问题的本质特征，揭示不同知识点间的内在联系，使一题多用，多题重组，常给人以新鲜感，以点带面促使其产生主动参与的动力，使学生由学会，变为会学、乐学。
【微课实录】
师：直线上有无数个点，是否可以利用直线上“点与点的位置关系”形象的展现行程问题中路程间的数量关系呢？我们不妨通过下面的问题作一个探究性的尝试，这是一个回声定位问题。
问题一：
例1.汽车以72千米/小时的速度在公路上行驶，开向寂静的山谷，驾驶员按一下喇叭，4s后听到回声，已知空气中声音的传播速度以340米/秒。求这时汽车离山谷多远？
师：请同学们根据题意。画出线段图，并寻求数量关系。哪位同学能板演？
生：学生的示意图：设听到回声时汽车到山谷的距离是x米
师：总结：通过刚才的探究，我们发现根据线段的大小比较能够清晰地呈现路程之间的数量关系，也就是可以把抽象的思维变为一种直观的判断。
师：同时我们也关注到：在速度一定时，随时间的变化，有的点相对于定点的位置发生了变化，也就是这个点到定点的距离随时间的变化而变化，这就是所谓的动点问题，接下来我们研究一个纯数学的动点问题。
问题二：
例2.如图，线段AB的长为24cm，M、N两点分别从A、B两点同时出发，在线段AB上运动，点M由点A运动到点B，速度为1cm/s，点N在点M与点B之间做循环往返运动，速度为2cm/s.
（1）求M、N两点第一次相遇时的时间.
（2）求当M、N两点第二次相遇时与A点的距离.
师：通过读题，请分析M、N究竟做了怎样的运动？
生：点M、N先做相向而行，共同完成全程24cm，实现了第一次相遇。然后点M继续前行，因为点N比点M的速度快，此时点N返回至点B的途中他们不会相遇，直至点N调头才再次和点M相遇。
师：现在你了解N点吗？那么你能演绎N点吗？哪位同学能演绎M点呢？
（学生演绎脚本：先关注两点的运动地点、方向和速度。M同学从A走向B的同时，N同学也从B走向A，在此过程中第一次遇到了M同学，相遇后立即调头返回到B的过程中N的速度大于M的速度，所以N先到B处后，再调头迎向M同学直至第二次相遇）
请同学们根据他们的演绎，在练习本上画线段图，请借助线段间的大小比较，寻求数量关系。（学生的示意图）
师：总结：利用数形结合的思想，构建数学模型，可以培养我们简单的表达能力，使数学知识简单化。
师：我们知道对于数轴，任给一个数，可以确定一个点的位置，反之，一个位置确定的点，不仅能描述它与其他点之间的距离，还能刻画一个数的大小。让我们借助一维数轴，解决动点问题。
问题三：
例3.如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上一点，且AB=10.动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t>0）秒.
动点Q从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动;动点R从点B出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若P、Q、R三动点同时出发，当点P遇到点R时，立即返回向点Q运动，遇到点Q后则停止运动.那么点P从开始运动到停止运动，行驶的路程是多少个单位长度？
师：此题信息较多，谁能概括一下它的已知条件。
生：一个定长，三个动点。
师：三个动点是怎么运动的？
生：P、Q同时同地出发，P、R同时异地出发，P追上R后再调头和Q相遇。
师：现在哪些同学了解了P、Q、R三点？请三位同学真实的再现运动的状态。
（学生演绎脚本：场景一──整体展示三个点的运动节奏;场景二──片段演绎P、Q和P、R，清晰的呈现追及、相遇的情境）
师：通过如此演绎，主次分明，其中内在的数量关系轻松可以得出。
生：（学生板演示意图，并讲解其中线段间的数量关系。）
师：总结：本节课由静态图形到动态图形，由常量到变量，在思维上有了质的飞跃，为将来的学习创设了条件。
【教学亮点评析】
變化是数学的主要特征，无论是式的变形，还是图形的变换，都要在变化过程中探究其中的变化规律，判断相关数量的生成或改变的原因是衡量图形变化规律的一个重要指标。
本节课为学生创设一个思维发散的空间和知识迁移的途径，把数形结合的思想巧妙地渗透在探索解决问题方法的过程之中，同时在数学方法的生成、提练的每一个环节中呈现出数形结合的魅力。教学目标是明确的，教学内容是弹性的，学生的思考方向是可选择的。充分发挥学生的主观能动性，展现他们的想象力，对于动态与静态的对立统一的关系有了初步的认识，为最终形成空间观念和函数思想作了很好的铺垫。
作者简介：谢园春（1977-4-22）女，汉族，吉林长春人，硕士学历，吉林大学附属中学，教师，数学专业
方程、不等式和函数都是人们刻画客观世界的重要数学模型。结合一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组与一次函数之间的关系，构建完整的知识网络，培养学生数学建模的思想，是此学段的难点所在。
用建模的思想看一元一次方程，使学生不仅能加深对方程的理解，提高认识问题的水平，还能借用数形结合的思想分析和解释“一维”空间中出现的比较复杂的变化过程。如何构建对应的图形阐释数量关系是学生学习数学的一个难点，也是数形结合思想形成的重要阶段。这一类问题基本上要经历以下几个环节：⑴建立研究问题的平台（如恰当的几何图形、平面直角坐标系等）;⑵确立数与形之间的对应关系;⑶结合图形的特点寻求相应的数量关系;⑷探索解决问题的合理途径。通过多角度、多途径解决同一类数学问题，体现出数学建模的灵活性。
案例：动态演绎、静态结合──在一元一次方程应用的行程问题中利用数形结合的思想建构数学模型阐释数量关系
【教学设计及说明】
在列代数式和解一元一次方程的基础上，本节课的内容是以行程问题中的追及问题、相遇问题为依托，体现一题多解、多题归一，形成知识的链式结构，不仅使学生明白知识本身的内涵，也要清楚知识的外延。继绝对值后又一次体会数轴上点与数的对应及其位置间的关系，为平面直角坐标系及函数的学习做以铺设;将算术、方程和函数三者统一起来，体会数学知识生成的必然性。
教学活动以“画线段图”为主线，以实现将复杂的数量关系变得直观明了;通过用“点与点的位置关系”展现行程问题中的数量关系，初步形成数形结合的思想，培养简单的表达能力，使数学知识简单化。由学生在直线（或线段）上设计“线段图”，展现行程问题中路程间的数量关系;在数轴上设计“线段图”，展现这个动点的运动路径，实现把抽象的思维变成一种直观的判断，实现从实际问题抽象到数学模型的课堂设计。本节课借助变式教学，对数学内容进行不同角度、不同背景的变式，以凸显问题的本质特征，揭示不同知识点间的内在联系，使一题多用，多题重组，常给人以新鲜感，以点带面促使其产生主动参与的动力，使学生由学会，变为会学、乐学。
【微课实录】
师：直线上有无数个点，是否可以利用直线上“点与点的位置关系”形象的展现行程问题中路程间的数量关系呢？我们不妨通过下面的问题作一个探究性的尝试，这是一个回声定位问题。
问题一：
例1.汽车以72千米/小时的速度在公路上行驶，开向寂静的山谷，驾驶员按一下喇叭，4s后听到回声，已知空气中声音的传播速度以340米/秒。求这时汽车离山谷多远？
师：请同学们根据题意。画出线段图，并寻求数量关系。哪位同学能板演？
生：学生的示意图：设听到回声时汽车到山谷的距离是x米
师：总结：通过刚才的探究，我们发现根据线段的大小比较能够清晰地呈现路程之间的数量关系，也就是可以把抽象的思维变为一种直观的判断。
师：同时我们也关注到：在速度一定时，随时间的变化，有的点相对于定点的位置发生了变化，也就是这个点到定点的距离随时间的变化而变化，这就是所谓的动点问题，接下来我们研究一个纯数学的动点问题。
问题二：
例2.如图，线段AB的长为24cm，M、N两点分别从A、B两点同时出发，在线段AB上运动，点M由点A运动到点B，速度为1cm/s，点N在点M与点B之间做循环往返运动，速度为2cm/s.
（1）求M、N两点第一次相遇时的时间.
（2）求当M、N两点第二次相遇时与A点的距离.
师：通过读题，请分析M、N究竟做了怎样的运动？
生：点M、N先做相向而行，共同完成全程24cm，实现了第一次相遇。然后点M继续前行，因为点N比点M的速度快，此时点N返回至点B的途中他们不会相遇，直至点N调头才再次和点M相遇。
师：现在你了解N点吗？那么你能演绎N点吗？哪位同学能演绎M点呢？
（学生演绎脚本：先关注两点的运动地点、方向和速度。M同学从A走向B的同时，N同学也从B走向A，在此过程中第一次遇到了M同学，相遇后立即调头返回到B的过程中N的速度大于M的速度，所以N先到B处后，再调头迎向M同学直至第二次相遇）
请同学们根据他们的演绎，在练习本上画线段图，请借助线段间的大小比较，寻求数量关系。（学生的示意图）
师：总结：利用数形结合的思想，构建数学模型，可以培养我们简单的表达能力，使数学知识简单化。
师：我们知道对于数轴，任给一个数，可以确定一个点的位置，反之，一个位置确定的点，不仅能描述它与其他点之间的距离，还能刻画一个数的大小。让我们借助一维数轴，解决动点问题。
问题三：
例3.如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上一点，且AB=10.动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t>0）秒.
动点Q从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动;动点R从点B出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若P、Q、R三动点同时出发，当点P遇到点R时，立即返回向点Q运动，遇到点Q后则停止运动.那么点P从开始运动到停止运动，行驶的路程是多少个单位长度？
师：此题信息较多，谁能概括一下它的已知条件。
生：一个定长，三个动点。
师：三个动点是怎么运动的？
生：P、Q同时同地出发，P、R同时异地出发，P追上R后再调头和Q相遇。
师：现在哪些同学了解了P、Q、R三点？请三位同学真实的再现运动的状态。
（学生演绎脚本：场景一──整体展示三个点的运动节奏;场景二──片段演绎P、Q和P、R，清晰的呈现追及、相遇的情境）
师：通过如此演绎，主次分明，其中内在的数量关系轻松可以得出。
生：（学生板演示意图，并讲解其中线段间的数量关系。）
师：总结：本节课由静态图形到动态图形，由常量到变量，在思维上有了质的飞跃，为将来的学习创设了条件。
【教学亮点评析】
變化是数学的主要特征，无论是式的变形，还是图形的变换，都要在变化过程中探究其中的变化规律，判断相关数量的生成或改变的原因是衡量图形变化规律的一个重要指标。
本节课为学生创设一个思维发散的空间和知识迁移的途径，把数形结合的思想巧妙地渗透在探索解决问题方法的过程之中，同时在数学方法的生成、提练的每一个环节中呈现出数形结合的魅力。教学目标是明确的，教学内容是弹性的，学生的思考方向是可选择的。充分发挥学生的主观能动性，展现他们的想象力，对于动态与静态的对立统一的关系有了初步的认识，为最终形成空间观念和函数思想作了很好的铺垫。
作者简介：谢园春（1977-4-22）女，汉族，吉林长春人，硕士学历，吉林大学附属中学，教师，数学专业