摘 要：新课标下的高考越来越注重对学生的综合素质的考察，恒成立问题便是一个考察学生综合素质的很好途径，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。
　　关键词：恒成立 主元变量 参变量
　　中图分类号：G634 文献标识码：A 文章编号：1673-9795（2012）12（c）-0075-01
　　恒成立问题是高中数学常见的一种题型，经常和函数、不等式、导数等章节联系，且在其解法当中还渗透着换元、化归、数形结合、函数方程等数学思想方法。因此是教学的一个难点，同时又是高考的一个重点。本文先对恒成立问题的题型特点进行说明并根据其特有形式给出恒成立问题的解决方法。
　　1 恒成立问题的题型特点
　　“知己知彼，百战不殆”正确认识和区分恒成立问题是求解得关键。恒成立问题有其明显的标志和特点：
　　（1）题干中有明显的恒大于、恒小于、全体实数、永远在上方等等一系列近似的文字。
　　（2）题干中除主元变量外，还会有另一个变量（即参变量）。
　　2 恒成立问题中主元变量与参变量的区分
　　一般来说，恒成立问题都会给定一个确切的成立区间，那么该区间即为主元变量所在区间，相对应的变量即为主元变量；题干中剩余的另一个变量即为参变量。
　　例1：（1）对于满足≤2的所有实数，求使不等式恒成立的的取值范围。
　　（2）对于满足≤2的所有实数p，求使不等式恒成立的x的取值范围。
　　分析：上述两题题干相似，但是两者有本质的区别：第一题是关于主元变量的一元二次不等式恒成立问题；第二题是关于主元变量的一元一次不等式恒成立问题。
　　正确判断是否是恒成立题型及准确区分主元变量和参变量是解决恒成立问题的前提条件。
　　3 恒成立问题的解决策略
　　根据以上恒成立问题题型的特点，可以把恒成立问题按主元变量成立的范围划分为：
　　（1）主元变量在上恒成立；（2）主元变量在某个区间上恒成立。下面逐一说明：
　　①主元变量在上恒成立问题的解题策略是利用不等式、方程与其对应函数图像与轴的位置关系求解。下面以三个二次之间的关系举例说明：
　　规律方法：利用二次函数
　　在上的图像求解二次不等式和二次方程恒成立问题。
　　在恒成立；
　　在恒成立；
　　在恒成立≥0；
　　例2：已知不等式
　　在上恒成立，求实数的取值范围？
　　分析：先判断该题是恒成立问题，并确定主元变量为和参变量为。将该不等式转化为其对应主元变量为的函数的图像与坐标轴的关系求解。
　　解：结合相应函数图像可知，要使该不等式恒成立，只需
　　，解得；的取值范围是。
　　注：此法关键是分清主元变量与参变量，并根据主元变量确定所对应函数的类型，然后结合所得函数的图像与轴的位置关系求解该不等式。
　　②主元变量在某个区间上恒成立问题的解题策略是将题干中的参变量反解出来，即将参变量做成主元变量的函数，转化成参变量和主元函数在所给区间的最值之间的一个大小比较，即分离参变量法。
　　规律方法：设为参变量，为主元变量，为主元变量所在区间
　　恒成立
　　恒成立
　　恒成立
　　，值域为开区间。
　　例3：当时，不等式
　　恒成立，求的取值范围？
　　分析：先判断该题是恒成立问题，并确定主元变量和参变量。将该不等式转化成参变量和主元函数的最值之间的比较问题。
　　解：当时，由
　　得令
　　，则易知在上是减函数，所以时，则
　　，
　　∴≤-5.
　　规律方法：此法在反解参变量过程中，会遇到不等式的性质、函数在某个区间的值域问题都是学生的易错点和困难点。需要在解题过程中慢慢体会，多多总结常用方法，才能应用自如。
　　总之，“恒成立”问题的解法思路主要就是转化，把复杂的问题等价转化为简单的、容易解决的问题。而要让学生做到正确的、灵活的转化，就要求我们在高中数学的教学过程中，经常引导学生对典型问题的典型解法加以研究并自觉地疏理知识，形成知识板块结构和方法体系，在此过程中不断提高数学解题能力，增强对数学学习的信心。