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摘 要：以动点变化产生的特殊图形问题已成为中考数学精神、思想、方法的重要载体，是考察数学定义、定理、法则、公式的具体体现.通过对由动点变化产生的特殊图形的模式与构图的分析，不仅让学生明晰了这类题型的解题思路、方法和技巧，也提升了教师自身研究试题的水平和教学能力.
关键词：特殊图形；模式化；构图
近年来， 以动点变化产生的特殊图形问题已成为中考数学精神、思想、方法的重要载体，也是考查数学定义、定理、法则、公式的具体体现，因此，解决动点变化产生的特殊图形的问题，常常被命制成中考压轴题，倍受中考命题者的青睐.但学生往往在动点变化产生的特殊图形的构图上存在很大的障碍，教师在教学中，若不能很好地引导学生进行模式训练，提升学生的思维能力，易造成年年考，年年考不好的现象.为了突破这一障碍，起到举一反三之效，笔者经过多年教学实践与研究，并结合中考命题的经验，对数学中考中动点变化产生的图形的模式与构图进行剖析，以求对教学有所启迪和帮助.
1 动点变化产生的等腰三角形问题
例1 （2012年江苏扬州中考题）已知抛物线y=ax2 by c经过A（-1，0），B（3，0），C（0，3）三点，直线l是抛物线的对称轴如图1.
（1）求抛物线的解析式.
（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC周长最小时，求P点的坐标.
（3）在直线l上的一个动点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由.
1.1 等腰三角形存在性问题的模式识别
在等腰三角形问题中，通常是确定一条边，但这条边可能作为腰，也可能作为底，则出现二种模式：如图2
1.2 等腰三角形存在性问题的剖析图
构成等腰三角形的作图法为：（1）分别以定边长的两个端点为圆心，以定边长为半径画图，如图3、图4；（2）作定边长的垂直平分线，如图5所示.
1.3 解题思路点拨
（1）直接将A、B、C三点坐标代入抛物线的解析式中，求出待定系数即可.（2）由于A、B两点关于抛物线的对称轴对称，那么根据抛物线的对称性以及两点之间线段最短可知：若连接BC，那么BC与直线l的交点即为符合条件的点p.（3）由于△MAC的腰和底没有明确，因此要分三种情况来讨论：①MA=AC，②MA=MC，③AC=MC；可先设出点M的坐标，然后用M点的纵坐标表示△MAC的三边长，再按上面的三种情况列式求解.
2 动点变化产生的直角三角形问题
例2 （2012年海南省中考）如图6所示，顶点为P（4，-4）的二次函数图像经过原点（0，0），点A在该图像上，OA交其对称轴L于点M，点M、N关于点P对称，连接AN、ON.
（1）求该二次函数的关系式.
（2）若点A的坐标是（6，-3），求△ANO的面积.
（3）当点A在对称轴L右侧的二次函数图像上运动，请解答下列问题：
①证明：∠ANM=∠ONM.
②△ANO能否为直角三角形？如果能，请求出所有符合条件的点A的坐标，如果不能，请说明理由.
2.1 直角三角形存在性问题的模式识别
在直角三角形问题中，通常会确定一条边，但这条边可能是直角边，也可能是斜边，则出现二种模式：如图7
2.2 直角三角形存在性问题的剖析图
构成直角三角形的作图法为：①以定边长为直角边，两端点处角为直角如图8，图9；②以定边长为直径作圆.如图10
2.3 解题思维点拨
（1）由于二次函数顶点为P（4，-4）以及经过原点，可设顶点式，由待定系数法即可求得.（2）求出直线OA的解析式，从而得到点M的坐标，根据对称点N的坐标，求得MN的长，从而得到△ANO的面积.（3） 根据正切函数的定义，分别求∠ANM和∠ ONM正切值即可证明等式成立.（4）分∠AON是直角，∠NAO是直角和∠AND是直角三种情况讨论，即可得到结论.
3 动点变化产生的相似三角形问题
例3（2012年湖南常德中考）如图11，已知二次函数y=（x 2）（ax b）的图像过A（-4，3），B（4，4）.
（1）求二次函数的解析式.
（2）求证：△ACB是直角三角形.
（3）若点P在第二象限，且是抛物线上的一动点，过P点作PH垂直x轴于点H，是否存在以P、H、D为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由.
3.1 相似三角形存在性问题的模式识别：
通常在相似三角形问题中，会确定一对应角相等，则可能出现另一对应角相等或相等的角的对应边成比例两种模式：如图12.
3.2 存在相似三角形问题的剖析图
构成相似三角形的作图方法：在已知一对应角相等的情况下，只要互换另二个对应角相等.如图13，图14.
3.3 解题思维点拨
（1）求二次函数的解析式，也就是要求y=（x 2）（ax b）中的a、b的值，只要把A（-4，3）、B（4，4）代入即可.
（2）求证：△ACB是直角三角形，只要求出AC、BC、AB的长度，然后用勾股定理及其逆定理去考查.
（3）是否存在以P、H、D为顶点的三角形与△ABC相似？先要选择一点P，然后自P作垂线，构成Rt△PHD，把两个三角形相似用条件，运用三角形相似的性质去构建关于点P的横坐标的方程.
（未完待续）
关键词：特殊图形；模式化；构图
近年来， 以动点变化产生的特殊图形问题已成为中考数学精神、思想、方法的重要载体，也是考查数学定义、定理、法则、公式的具体体现，因此，解决动点变化产生的特殊图形的问题，常常被命制成中考压轴题，倍受中考命题者的青睐.但学生往往在动点变化产生的特殊图形的构图上存在很大的障碍，教师在教学中，若不能很好地引导学生进行模式训练，提升学生的思维能力，易造成年年考，年年考不好的现象.为了突破这一障碍，起到举一反三之效，笔者经过多年教学实践与研究，并结合中考命题的经验，对数学中考中动点变化产生的图形的模式与构图进行剖析，以求对教学有所启迪和帮助.
1 动点变化产生的等腰三角形问题
例1 （2012年江苏扬州中考题）已知抛物线y=ax2 by c经过A（-1，0），B（3，0），C（0，3）三点，直线l是抛物线的对称轴如图1.
（1）求抛物线的解析式.
（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC周长最小时，求P点的坐标.
（3）在直线l上的一个动点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由.
1.1 等腰三角形存在性问题的模式识别
在等腰三角形问题中，通常是确定一条边，但这条边可能作为腰，也可能作为底，则出现二种模式：如图2
1.2 等腰三角形存在性问题的剖析图
构成等腰三角形的作图法为：（1）分别以定边长的两个端点为圆心，以定边长为半径画图，如图3、图4；（2）作定边长的垂直平分线，如图5所示.
1.3 解题思路点拨
（1）直接将A、B、C三点坐标代入抛物线的解析式中，求出待定系数即可.（2）由于A、B两点关于抛物线的对称轴对称，那么根据抛物线的对称性以及两点之间线段最短可知：若连接BC，那么BC与直线l的交点即为符合条件的点p.（3）由于△MAC的腰和底没有明确，因此要分三种情况来讨论：①MA=AC，②MA=MC，③AC=MC；可先设出点M的坐标，然后用M点的纵坐标表示△MAC的三边长，再按上面的三种情况列式求解.
2 动点变化产生的直角三角形问题
例2 （2012年海南省中考）如图6所示，顶点为P（4，-4）的二次函数图像经过原点（0，0），点A在该图像上，OA交其对称轴L于点M，点M、N关于点P对称，连接AN、ON.
（1）求该二次函数的关系式.
（2）若点A的坐标是（6，-3），求△ANO的面积.
（3）当点A在对称轴L右侧的二次函数图像上运动，请解答下列问题：
①证明：∠ANM=∠ONM.
②△ANO能否为直角三角形？如果能，请求出所有符合条件的点A的坐标，如果不能，请说明理由.
2.1 直角三角形存在性问题的模式识别
在直角三角形问题中，通常会确定一条边，但这条边可能是直角边，也可能是斜边，则出现二种模式：如图7
2.2 直角三角形存在性问题的剖析图
构成直角三角形的作图法为：①以定边长为直角边，两端点处角为直角如图8，图9；②以定边长为直径作圆.如图10
2.3 解题思维点拨
（1）由于二次函数顶点为P（4，-4）以及经过原点，可设顶点式，由待定系数法即可求得.（2）求出直线OA的解析式，从而得到点M的坐标，根据对称点N的坐标，求得MN的长，从而得到△ANO的面积.（3） 根据正切函数的定义，分别求∠ANM和∠ ONM正切值即可证明等式成立.（4）分∠AON是直角，∠NAO是直角和∠AND是直角三种情况讨论，即可得到结论.
3 动点变化产生的相似三角形问题
例3（2012年湖南常德中考）如图11，已知二次函数y=（x 2）（ax b）的图像过A（-4，3），B（4，4）.
（1）求二次函数的解析式.
（2）求证：△ACB是直角三角形.
（3）若点P在第二象限，且是抛物线上的一动点，过P点作PH垂直x轴于点H，是否存在以P、H、D为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由.
3.1 相似三角形存在性问题的模式识别：
通常在相似三角形问题中，会确定一对应角相等，则可能出现另一对应角相等或相等的角的对应边成比例两种模式：如图12.
3.2 存在相似三角形问题的剖析图
构成相似三角形的作图方法：在已知一对应角相等的情况下，只要互换另二个对应角相等.如图13，图14.
3.3 解题思维点拨
（1）求二次函数的解析式，也就是要求y=（x 2）（ax b）中的a、b的值，只要把A（-4，3）、B（4，4）代入即可.
（2）求证：△ACB是直角三角形，只要求出AC、BC、AB的长度，然后用勾股定理及其逆定理去考查.
（3）是否存在以P、H、D为顶点的三角形与△ABC相似？先要选择一点P，然后自P作垂线，构成Rt△PHD，把两个三角形相似用条件，运用三角形相似的性质去构建关于点P的横坐标的方程.
（未完待续）