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摘要：在电力系统中，由电源供给负载的电功率有两种，分别是有功功率和无功功率。相对有功功率而言，无功功率的定义比较抽象，但它却是电力系统和用电设备正常运转的重要元素之一。对无功功率的物理意义、无功功率的大小和符号以及无功功率与余弦稳态瞬时功率之间的关系进行了讨论，指出平均功率是由同相电压、电流分量产生的，而正交电压、电流分量则产生无功功率，并据此导出了平均功率与余弦稳态瞬时功率之间的两种表达式。理清了关于无功功率的一些模糊认识，表明消耗在电阻的平均功率就是整个系统的平均功率，纯电感和纯电容均不消耗能量。
关键词：电力系统；无功功率；平均功率；瞬时功率
作者简介：马冠雄（1981-），男，广东佛山人，广州供电局有限公司系统规划研究中心，工程师。（广东 广州 510610）
中图分类号：TM714.3 文献标识码：A 文章编号：1007-0079（2013）36-0221-03
现今许多用电设备均是根据电磁感应原理工作的，如配电变压器、电动机等，它们都是依靠建立交变磁场才能进行能量的转换和传递。为建立交变磁场和感应磁通而需要的电功率称为无功功率，因此，所谓的“无功”并不是“无用”的电功率，只不过它的功率并不转化为机械能、热能而已。
无功功率其实是一份真实的功率，它的数量级和随伴它的有功功率一样，但被电路不停地吞吐着。虽则每半周期都抵消掉，基本上不消耗电能，但如果让它在电网中任意流动的话，它不但白占着电源的容量，而且增加了电网的损耗，加大电压降。
在交流输电中，无功功率是不可避免的。它在半周之内由零升到最大又降回零，电力系统要将如此巨大的一份电磁场能量在半周之内吸收又放出来。使用的电流越大，建立的磁场能就越大，吞吐就越大。
一、无功功率的解析推演
要理顺无功功率的概念，首先需对电力系统中的纯感性电路和纯容性电路分别进行简单的推演。
1.纯感性电路
设正弦电流为 I=Im sin（ωt ） （1）
根据法拉第电磁感应定律，电感L上的感生电动势（e.m.f.）为：
于是电感L上的电压uL就是：
比较（1）和 （3）式，就可以发现电压uL超前电流i 90°。这里（3）式中的ωL叫做感抗，记作xL。
2.纯容性电路
在电容C 上的正弦电压uC如下（4）式所示：
比较（4）和（4）式，显然，电压uC 比电流i 滞后90°。
这里（4）式中的1/（ωL）叫做容抗，记作xC。
3.电感串电阻电路
按欧姆定律，电阻R 上的电压降是：
因为在式（3）已经推导过电感L上的电压为：
于是在电感电阻串上的电压为：
（5）
对（5）式作些数学处理，并引入一些辅助参数：
z就称为电感L电阻R串的阻抗。于是（5）式就改写成：
到此，就证明了加在一个带有欧姆电阻的电感上的电压u比电流i超前φ角度。
二、瞬时功率和平均功率推导
上述Um和Im分别是正弦电压和正弦电流的幅值。为了接近实际，引入正弦电压和正弦电流的有效值（均方根值r.m.s.）到式（5）和式（7）。
同时为方便计算，令电压作为参考（矢）量u=Umsin（ωt）。
于是瞬时功率：
（8）
图1表示出瞬时电压u、瞬时电流i和瞬时功率pL之间的关系。从（8）式看到，瞬时功率pL包括两部分：
恒定功率 p1=UI cosφ= P （9）
交变部分p2=UI cos（2ωt-φ） （10）
图1中Φ/ω是电流电压相差的时间表达式。
瞬时功率的交变部分p2是以两倍工频2ω变化。整个瞬时功率pL在一周期T的平均功率：
（11）
瞬时功率的交变部分pL在一周期T内抵消为零。
消耗在电阻R（串有L或C）上的瞬时功率：
一周内在电阻R（串有L 或C）上的平均功率：
（12）
上式（11）、（12）说明，消耗在电阻R的平均功率，就是整个电路的平均功率。纯电感L和纯电容C都不消耗能量。
同时，瞬时功率交变部分p2可以进一步分解为：
（13）
p2式的第一项是以平均功率P=UIcosφ为振幅的交变功率。而第二项是以UIsinφ为振幅的交变功率。将它记作Q=UIsinφ，于是（13）就变成：
（14）
从因子cos2ωt和sin2ωt可看出，P和Q在时间相位上是“正交”的。于是（8）式的电感串电阻电路的瞬时功率pL就变为：
pL=P-Pcos2ωt-Qsin2ωt （15）
用相似的方法，可以得到电阻R和电容C串联电路的瞬时功率，pC就变为：
pC=P-Pcos2ωt+Qsin2ωt （16）
当然，上式瞬时功率pC的交变部分在时间相位上也是“正交”的。
三、复空间中的正弦交变量
1. 旋转矢量
以上推算属于解析推演，是最基础的物理和数学方法，能准确地描述瞬时过程和对时间的平均值，是最易理解和可信的分析，但只限于实空间（实轴），无法在同一场面内反映相位的关系。复数就能克服这个困难。
参考量u将采用余弦形式，u=Um cos（ωt），而相应的电流就变为i=Im cos（ωt-φ）。
图2上两个模（幅值）分别为Um和Im的矢量，绕原点0 以角速度ω转动。它们在实轴0x上的投影Umcos（ωt）和Imcos（ωt-φ）正是交变电压和交变电流的瞬时值。 这些矢量，转动角速度ω是常数。所以，如果有一个以ω恒定转动的平面，相对于这样的平面，矢量变成固定的了。
以上的叙述还是基于实空间的，启示旋转矢量能代表正弦交变量。
2.旋转复平面
数的最普遍的形式是复数。它包含两个部分——实部x和虚y。通常的实数或虚数，看成是复数的特殊情况。复数用复空间上一个矢量来表示。
Z=x+jy
=z（cosφ+jsinφ）
=
式中z称为复数的模（幅值），φ称为复数的幅角。
通常，如果R，L和C串联，复阻抗就是：
式中z称为复数的模（幅值），φ称为复数的幅角。
令复平面绕原点0以角速度ω转动。于是正弦交变电压U和弦交变电流I就成为这个旋转复平面上两个静止的矢量。这里，矢量长度不再是幅值，而是它们的有效值（其实幅值是有效值的倍）。用和表示旋转复平面上的电流矢和电压矢。I和U是它们的绝对值（有效值）。对于电压参考矢，由于它置于实轴，其绝对值和等于矢量，即：
（17）
于是可以用欧姆定律导出电流矢：
（18）
在旋转复平面上只有两种矢量：电压矢量和电流矢量。参考矢的选用是任意的，通常都以电压为参考矢。因为电压常常发自电源点或在电路的始端，驱动电流的相移相对这个始点是顺理成章的，如图3。
电能E、功率P、无功功率Q和阻抗Z（包括电抗xL，xC）对旋转复平面，都是的标量。它们不能出现在旋转复平面，但它们可以以复数形式出现在静止的复平面上。
电压和电流是旋转复平面上的矢量，而它们的乘积（标量积），则是静止复平面上的矢量。
以感性电路为例，电流矢比电压矢滞后φ角度：
（19）
它和电压矢的标量积：
（20）
国际协议规定，感性负荷的无功Q应和有功功率同为正向。式（20）显然是不符的。
所以视在功率定义为电流的共轭矢I*和电压矢的标量积。对于电流，它的共轭矢就是：
（21）
共轭矢I*在几何上是原电流矢的镜像。于是感性负荷的视在功率变成：
（22）
如果是容性负荷，视在功率就是 ：
（23）
四、结论
最后，回顾一下以上的基础推演和复平面推算的结论：
首先，由式（14）可见，瞬时功率的交变部分（无功部分）p2 可以用矢量表示为：
p2=-Pcos2ωt-Qsin2ωt
它存在于以2ω转动的旋转复平面。从式（14）可见，在一个以2ω旋转的复平面上，由-P矢量和-Q矢量合成了瞬时功率的交变部分p2矢量。
但不要忘记，纯电感L和纯电容C均不消耗能量。
另外，从图3中可以想象到，虚线矢量、和只能存在于旋转的复平面中。而图3是静止的复平面。它们只能像幽灵一样随伴P、Q的空间而旋转。
通过本文的理论分析和公式推演，可从不同的角度理清关于电力系统无功功率的一些模糊认识，其中的一些观点和结论可供电力系统相关工作人员加以参考和学习。
参考文献：
[1]董大伟.浅谈无功功率的产生和补偿技术[J].中国电力教育，
2011，（27）：104-105.
[2]田社平，陈洪亮.关于无功功率的讨论[J].电气电子教学学报，
2012，34（1）：23-25.
[3]田社平，张峰，陈洪亮.无功功率教学新探[J].电气电子教学学报，2012，34（3）：4-6.
[4]秋官源，罗先觉.电路[M].第6版.北京：高等教育出版社，2007.
关键词：电力系统；无功功率；平均功率；瞬时功率
作者简介：马冠雄（1981-），男，广东佛山人，广州供电局有限公司系统规划研究中心，工程师。（广东 广州 510610）
中图分类号：TM714.3 文献标识码：A 文章编号：1007-0079（2013）36-0221-03
现今许多用电设备均是根据电磁感应原理工作的，如配电变压器、电动机等，它们都是依靠建立交变磁场才能进行能量的转换和传递。为建立交变磁场和感应磁通而需要的电功率称为无功功率，因此，所谓的“无功”并不是“无用”的电功率，只不过它的功率并不转化为机械能、热能而已。
无功功率其实是一份真实的功率，它的数量级和随伴它的有功功率一样，但被电路不停地吞吐着。虽则每半周期都抵消掉，基本上不消耗电能，但如果让它在电网中任意流动的话，它不但白占着电源的容量，而且增加了电网的损耗，加大电压降。
在交流输电中，无功功率是不可避免的。它在半周之内由零升到最大又降回零，电力系统要将如此巨大的一份电磁场能量在半周之内吸收又放出来。使用的电流越大，建立的磁场能就越大，吞吐就越大。
一、无功功率的解析推演
要理顺无功功率的概念，首先需对电力系统中的纯感性电路和纯容性电路分别进行简单的推演。
1.纯感性电路
设正弦电流为 I=Im sin（ωt ） （1）
根据法拉第电磁感应定律，电感L上的感生电动势（e.m.f.）为：
于是电感L上的电压uL就是：
比较（1）和 （3）式，就可以发现电压uL超前电流i 90°。这里（3）式中的ωL叫做感抗，记作xL。
2.纯容性电路
在电容C 上的正弦电压uC如下（4）式所示：
比较（4）和（4）式，显然，电压uC 比电流i 滞后90°。
这里（4）式中的1/（ωL）叫做容抗，记作xC。
3.电感串电阻电路
按欧姆定律，电阻R 上的电压降是：
因为在式（3）已经推导过电感L上的电压为：
于是在电感电阻串上的电压为：
（5）
对（5）式作些数学处理，并引入一些辅助参数：
z就称为电感L电阻R串的阻抗。于是（5）式就改写成：
到此，就证明了加在一个带有欧姆电阻的电感上的电压u比电流i超前φ角度。
二、瞬时功率和平均功率推导
上述Um和Im分别是正弦电压和正弦电流的幅值。为了接近实际，引入正弦电压和正弦电流的有效值（均方根值r.m.s.）到式（5）和式（7）。
同时为方便计算，令电压作为参考（矢）量u=Umsin（ωt）。
于是瞬时功率：
（8）
图1表示出瞬时电压u、瞬时电流i和瞬时功率pL之间的关系。从（8）式看到，瞬时功率pL包括两部分：
恒定功率 p1=UI cosφ= P （9）
交变部分p2=UI cos（2ωt-φ） （10）
图1中Φ/ω是电流电压相差的时间表达式。
瞬时功率的交变部分p2是以两倍工频2ω变化。整个瞬时功率pL在一周期T的平均功率：
（11）
瞬时功率的交变部分pL在一周期T内抵消为零。
消耗在电阻R（串有L或C）上的瞬时功率：
一周内在电阻R（串有L 或C）上的平均功率：
（12）
上式（11）、（12）说明，消耗在电阻R的平均功率，就是整个电路的平均功率。纯电感L和纯电容C都不消耗能量。
同时，瞬时功率交变部分p2可以进一步分解为：
（13）
p2式的第一项是以平均功率P=UIcosφ为振幅的交变功率。而第二项是以UIsinφ为振幅的交变功率。将它记作Q=UIsinφ，于是（13）就变成：
（14）
从因子cos2ωt和sin2ωt可看出，P和Q在时间相位上是“正交”的。于是（8）式的电感串电阻电路的瞬时功率pL就变为：
pL=P-Pcos2ωt-Qsin2ωt （15）
用相似的方法，可以得到电阻R和电容C串联电路的瞬时功率，pC就变为：
pC=P-Pcos2ωt+Qsin2ωt （16）
当然，上式瞬时功率pC的交变部分在时间相位上也是“正交”的。
三、复空间中的正弦交变量
1. 旋转矢量
以上推算属于解析推演，是最基础的物理和数学方法，能准确地描述瞬时过程和对时间的平均值，是最易理解和可信的分析，但只限于实空间（实轴），无法在同一场面内反映相位的关系。复数就能克服这个困难。
参考量u将采用余弦形式，u=Um cos（ωt），而相应的电流就变为i=Im cos（ωt-φ）。
图2上两个模（幅值）分别为Um和Im的矢量，绕原点0 以角速度ω转动。它们在实轴0x上的投影Umcos（ωt）和Imcos（ωt-φ）正是交变电压和交变电流的瞬时值。 这些矢量，转动角速度ω是常数。所以，如果有一个以ω恒定转动的平面，相对于这样的平面，矢量变成固定的了。
以上的叙述还是基于实空间的，启示旋转矢量能代表正弦交变量。
2.旋转复平面
数的最普遍的形式是复数。它包含两个部分——实部x和虚y。通常的实数或虚数，看成是复数的特殊情况。复数用复空间上一个矢量来表示。
Z=x+jy
=z（cosφ+jsinφ）
=
式中z称为复数的模（幅值），φ称为复数的幅角。
通常，如果R，L和C串联，复阻抗就是：
式中z称为复数的模（幅值），φ称为复数的幅角。
令复平面绕原点0以角速度ω转动。于是正弦交变电压U和弦交变电流I就成为这个旋转复平面上两个静止的矢量。这里，矢量长度不再是幅值，而是它们的有效值（其实幅值是有效值的倍）。用和表示旋转复平面上的电流矢和电压矢。I和U是它们的绝对值（有效值）。对于电压参考矢，由于它置于实轴，其绝对值和等于矢量，即：
（17）
于是可以用欧姆定律导出电流矢：
（18）
在旋转复平面上只有两种矢量：电压矢量和电流矢量。参考矢的选用是任意的，通常都以电压为参考矢。因为电压常常发自电源点或在电路的始端，驱动电流的相移相对这个始点是顺理成章的，如图3。
电能E、功率P、无功功率Q和阻抗Z（包括电抗xL，xC）对旋转复平面，都是的标量。它们不能出现在旋转复平面，但它们可以以复数形式出现在静止的复平面上。
电压和电流是旋转复平面上的矢量，而它们的乘积（标量积），则是静止复平面上的矢量。
以感性电路为例，电流矢比电压矢滞后φ角度：
（19）
它和电压矢的标量积：
（20）
国际协议规定，感性负荷的无功Q应和有功功率同为正向。式（20）显然是不符的。
所以视在功率定义为电流的共轭矢I*和电压矢的标量积。对于电流，它的共轭矢就是：
（21）
共轭矢I*在几何上是原电流矢的镜像。于是感性负荷的视在功率变成：
（22）
如果是容性负荷，视在功率就是 ：
（23）
四、结论
最后，回顾一下以上的基础推演和复平面推算的结论：
首先，由式（14）可见，瞬时功率的交变部分（无功部分）p2 可以用矢量表示为：
p2=-Pcos2ωt-Qsin2ωt
它存在于以2ω转动的旋转复平面。从式（14）可见，在一个以2ω旋转的复平面上，由-P矢量和-Q矢量合成了瞬时功率的交变部分p2矢量。
但不要忘记，纯电感L和纯电容C均不消耗能量。
另外，从图3中可以想象到，虚线矢量、和只能存在于旋转的复平面中。而图3是静止的复平面。它们只能像幽灵一样随伴P、Q的空间而旋转。
通过本文的理论分析和公式推演，可从不同的角度理清关于电力系统无功功率的一些模糊认识，其中的一些观点和结论可供电力系统相关工作人员加以参考和学习。
参考文献：
[1]董大伟.浅谈无功功率的产生和补偿技术[J].中国电力教育，
2011，（27）：104-105.
[2]田社平，陈洪亮.关于无功功率的讨论[J].电气电子教学学报，
2012，34（1）：23-25.
[3]田社平，张峰，陈洪亮.无功功率教学新探[J].电气电子教学学报，2012，34（3）：4-6.
[4]秋官源，罗先觉.电路[M].第6版.北京：高等教育出版社，2007.