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一、数学思想方法教学的心理学意义
第一,“懂得基本原理使得学科更容易理解”。心理学认为:“由于认知结构中原有的有关观念在包摄和概括水平上高于新学习的知识,因而新知识与旧知识所构成的这种类属关系又可称为下位关系,这种学习便称为下位学习。”当学生掌握了一些数学思想、方法,再去学习相关的数学知识,就属于下位学习了。下位学习所学知识“具有足够的稳定性,有利于牢固地固定新学习的意义”,即使新知识能够较顺利地纳入到学生已有的认知结构中去。学生学习了数学思想、方法就能够更好地理解和掌握数学内容。
第二,有利于记忆。布鲁纳认为:“除非把一件件事情放进构造好的模型里面,否则很快就会忘记。”“学习基本原理的目的,就在于保证记忆的丧失不是全部丧失,而遗留下来的东西将使我们在需要的时候得以把一件件事情重新构思起来。高明的理论不仅是现在用以理解现象的工具,而且也是明天用以回忆那个现象的工具。”由此可见,数学思想、方法作为数学学科的“一般原理”,在数学学习中是至关重要的。无怪乎有人认为,对于中学生,“不管他们将来从事什么业务工作,唯有深深地铭刻于头脑中的数学的精神、数学的思维方法、研究方法,却会随时随地发生作用,使他们受益终生。”
第三,学习基本原理有利于“原理和态度的迁移”。美国心理学家贾德通过实验证明:“学习迁移的发生应有一个先决条件,就是学生需先掌握原理,形成类比,才能迁移到具体的类似学习中。”学生学习数学思想、方法有利于实现学习迁移,特别是原理和态度的迁移,从而可以较快地提高学习质量和数学能力。
第四,强调结构和原理的学习,“能够缩小‘高级’知识和‘初级’知识之间的间隙”。一般地讲,初等数学与高等数学的界限还是比较清楚的,特别是中学数学的许多具体内容在高等数学中不再出现了,有些术语如方程、函数等在高等数学中要赋予它们以新的涵义。而在高等数学中几乎全部保留下来的只有中学数学思想和方法以及与其关系密切的内容,如集合、对应等。因此,数学思想、方法是联结中学数学与高等数学的一条红线。
二、中学数学教学内容的层次
中学数学教学内容从总体上可以分为两个层次:一个称为表层知识,另一个称为深层知识。表层知识包括概念、性质、法则、公式、公理、定理等数学的基本知识和基本技能,深层知识主要指数学思想和数学方法。 表层知识是深层知识的基础,是教学大纲中明确规定的、教材中明确给出的,以及具有较强操作性的知识。学生只有通过对教材的学习,在掌握和理解了一定的表层知识后,才能进一步学习和领悟相关的深层知识。深层知识蕴含于表层知识之中,是数学的精髓,它支撑和统帅着表层知识。教师必须在讲授表层知识的过程中不断地渗透相关的深层知识,让学生在掌握表层知识的同时,领悟到深层知识,才能使学生的表层知识达到一个质的“飞跃”,从而使数学教学超脱“题海”之苦,使其更富有朝气和创造性。那种只重视讲授表层知识而不注重渗透数学思想、方法的教学,是不完备的教学,它不利于学生对所学知识的真正理解和掌握,使学生的知识水平永远停留在一个初级阶段,难以提高;反之,如果单纯强调数学思想和方法,而忽略了表层知识的教学,就会使教学流于形式,成为无源之水、无本之木,学生也难以领略到深层知识的真谛。
三、中学数学中的主要数学思想和方法
数学思想是分析、处理和解决数学问题的根本想法,是对数学规律的理性认识。由于中学生认知能力和中学数学教学内容的限制,只能将部分重要的数学思想落实到数学教学过程中,而对有些数学思想不宜要求过高。我们认为,在中学数学中应予以重视的数学思想主要有三个:集合思想、化归思想和对应思想。其理由是:(1)这三个思想几乎包摄了全部中学数学内容;(2)符合中学生的思维能力及他们的实际生活经验,易于被他们理解和掌握;(3)在中学数学教学中,运用这些思想分析、处理和解决数学问题的机会比较多;(4)掌握这些思想可以为进一步学习高等数学打下较好的基础。 此外,符号化思想、公理化思想以及极限思想等在中学数学中也不同程度地有所体现,应依据具体情况在教学中予以渗透。 数学方法是分析、处理和解决数学问题的策略,这些策略与人们的数学知识、经验以及数学思想掌握情况密切相关。从有利于中学数学教学出发,本着数量不宜过多的原则,我们认为目前应予以重视的数学方法有:数学模型法、数形结合法、变换法、函数法和类分法等。一般讲,中学数学中分析、处理和解决数学问题的活动是在数学思想指导下,运用数学方法,通过一系列数学技能操作来完成的。
四、数学思想方法的教学模式
数学表层知识与深层知识具有相辅相成的关系,这就决定了它们在教学中的辩证统一性。基于上述认识,我们给出了数学思想方法教学的一个教学模式: 操作——掌握——领悟。对此模式作如下说明:(1)数学思想、方法教学要求教师较好地掌握有关的深层知识,以保证在教学过程中有明确的教学目的。(2)“操作”是指表层知识教学,即基本知识与技能的教学。“操作”是数学思想、方法教学的基础。(3)“掌握”是指在表层知识教学过程中,学生对表层知识的掌握。学生掌握了一定量的数学表层知识,是学生能够接受相关深层知识的前提。(4)“领悟”是指在教师引导下,学生对掌握的有关表层知识的认识深化,即对蕴于其中的数学思想、方法有所悟、有所体会。(5)数学思想、方法教学是循环往复、螺旋上升的过程,往往是几种数学思想、方法交织在一起,在教学过程中依据具体情况在一段时间内突出渗透与明确一种数学思想或方法,效果可能更好些。
第一,“懂得基本原理使得学科更容易理解”。心理学认为:“由于认知结构中原有的有关观念在包摄和概括水平上高于新学习的知识,因而新知识与旧知识所构成的这种类属关系又可称为下位关系,这种学习便称为下位学习。”当学生掌握了一些数学思想、方法,再去学习相关的数学知识,就属于下位学习了。下位学习所学知识“具有足够的稳定性,有利于牢固地固定新学习的意义”,即使新知识能够较顺利地纳入到学生已有的认知结构中去。学生学习了数学思想、方法就能够更好地理解和掌握数学内容。
第二,有利于记忆。布鲁纳认为:“除非把一件件事情放进构造好的模型里面,否则很快就会忘记。”“学习基本原理的目的,就在于保证记忆的丧失不是全部丧失,而遗留下来的东西将使我们在需要的时候得以把一件件事情重新构思起来。高明的理论不仅是现在用以理解现象的工具,而且也是明天用以回忆那个现象的工具。”由此可见,数学思想、方法作为数学学科的“一般原理”,在数学学习中是至关重要的。无怪乎有人认为,对于中学生,“不管他们将来从事什么业务工作,唯有深深地铭刻于头脑中的数学的精神、数学的思维方法、研究方法,却会随时随地发生作用,使他们受益终生。”
第三,学习基本原理有利于“原理和态度的迁移”。美国心理学家贾德通过实验证明:“学习迁移的发生应有一个先决条件,就是学生需先掌握原理,形成类比,才能迁移到具体的类似学习中。”学生学习数学思想、方法有利于实现学习迁移,特别是原理和态度的迁移,从而可以较快地提高学习质量和数学能力。
第四,强调结构和原理的学习,“能够缩小‘高级’知识和‘初级’知识之间的间隙”。一般地讲,初等数学与高等数学的界限还是比较清楚的,特别是中学数学的许多具体内容在高等数学中不再出现了,有些术语如方程、函数等在高等数学中要赋予它们以新的涵义。而在高等数学中几乎全部保留下来的只有中学数学思想和方法以及与其关系密切的内容,如集合、对应等。因此,数学思想、方法是联结中学数学与高等数学的一条红线。
二、中学数学教学内容的层次
中学数学教学内容从总体上可以分为两个层次:一个称为表层知识,另一个称为深层知识。表层知识包括概念、性质、法则、公式、公理、定理等数学的基本知识和基本技能,深层知识主要指数学思想和数学方法。 表层知识是深层知识的基础,是教学大纲中明确规定的、教材中明确给出的,以及具有较强操作性的知识。学生只有通过对教材的学习,在掌握和理解了一定的表层知识后,才能进一步学习和领悟相关的深层知识。深层知识蕴含于表层知识之中,是数学的精髓,它支撑和统帅着表层知识。教师必须在讲授表层知识的过程中不断地渗透相关的深层知识,让学生在掌握表层知识的同时,领悟到深层知识,才能使学生的表层知识达到一个质的“飞跃”,从而使数学教学超脱“题海”之苦,使其更富有朝气和创造性。那种只重视讲授表层知识而不注重渗透数学思想、方法的教学,是不完备的教学,它不利于学生对所学知识的真正理解和掌握,使学生的知识水平永远停留在一个初级阶段,难以提高;反之,如果单纯强调数学思想和方法,而忽略了表层知识的教学,就会使教学流于形式,成为无源之水、无本之木,学生也难以领略到深层知识的真谛。
三、中学数学中的主要数学思想和方法
数学思想是分析、处理和解决数学问题的根本想法,是对数学规律的理性认识。由于中学生认知能力和中学数学教学内容的限制,只能将部分重要的数学思想落实到数学教学过程中,而对有些数学思想不宜要求过高。我们认为,在中学数学中应予以重视的数学思想主要有三个:集合思想、化归思想和对应思想。其理由是:(1)这三个思想几乎包摄了全部中学数学内容;(2)符合中学生的思维能力及他们的实际生活经验,易于被他们理解和掌握;(3)在中学数学教学中,运用这些思想分析、处理和解决数学问题的机会比较多;(4)掌握这些思想可以为进一步学习高等数学打下较好的基础。 此外,符号化思想、公理化思想以及极限思想等在中学数学中也不同程度地有所体现,应依据具体情况在教学中予以渗透。 数学方法是分析、处理和解决数学问题的策略,这些策略与人们的数学知识、经验以及数学思想掌握情况密切相关。从有利于中学数学教学出发,本着数量不宜过多的原则,我们认为目前应予以重视的数学方法有:数学模型法、数形结合法、变换法、函数法和类分法等。一般讲,中学数学中分析、处理和解决数学问题的活动是在数学思想指导下,运用数学方法,通过一系列数学技能操作来完成的。
四、数学思想方法的教学模式
数学表层知识与深层知识具有相辅相成的关系,这就决定了它们在教学中的辩证统一性。基于上述认识,我们给出了数学思想方法教学的一个教学模式: 操作——掌握——领悟。对此模式作如下说明:(1)数学思想、方法教学要求教师较好地掌握有关的深层知识,以保证在教学过程中有明确的教学目的。(2)“操作”是指表层知识教学,即基本知识与技能的教学。“操作”是数学思想、方法教学的基础。(3)“掌握”是指在表层知识教学过程中,学生对表层知识的掌握。学生掌握了一定量的数学表层知识,是学生能够接受相关深层知识的前提。(4)“领悟”是指在教师引导下,学生对掌握的有关表层知识的认识深化,即对蕴于其中的数学思想、方法有所悟、有所体会。(5)数学思想、方法教学是循环往复、螺旋上升的过程,往往是几种数学思想、方法交织在一起,在教学过程中依据具体情况在一段时间内突出渗透与明确一种数学思想或方法,效果可能更好些。