论文部分内容阅读
一、角与角之间的关系
1.三角形的角.
例1 （1）在△ABC中，若∠A=2∠B=3∠C，则△ABC是 三角形.
（2）在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，则△ABC是 三角形.
【易错点】误认为两题是一样的解法，都设∠A=x，∠B=2x，∠C=3x，由x 2x 3x=180°，解得x=30°，所以得△ABC是直角三角形.
【分析】（2）中∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3可看出三个角的倍数关系是1份，2份，3份，上述设法正确，而（1）中∠A=2∠B，可知若∠B为1份，则∠A为2份，故应设∠A=x，∠B=[12x]，∠C=[13x]，由x [12x] [13x]=180°，解得x=（[108011]）°，所以該三角形是钝角三角形.
【点评】请正确审题，明确角与角之间的份数关系，正确设未知数.可以将所设未知数代入式子进行验证，如（1）中若设∠A=x，∠B=2x，∠C=3x，代入等式，可发现“x=2×2x=3×3x”这个错误的等式.
2.等腰三角形的角.
例2 已知等腰三角形的一个角是40°，则这个三角形的顶角等于 度.
【易错点】固定思维，认为这个角是底角，由三角形内角和定理得顶角为100°.
【分析】题中未明确给出这个角的信息，故要分类讨论，这是数学研究中非常重要的一种思想方法.
（1）当这个角是底角时，可得顶角为100°；
（2）当这个角是顶角时，可直接写顶角为40°.
因此答案为100°或40°.
【点评】解关于等腰三角形的计算题时，要学会“分类讨论”：一个角可能是顶角，也可能是底角；当然，类似的，一条边可能是腰，也可能是底边；腰上的高可能在三角形内，也可能在三角形外.
3.直角三角形的角.
例3 （1）将一副三角板如图1叠放，则图中α的度数为 .
图1
（1）如图2，已知AC⊥BC，垂足为C，AC=4，BC=[33]，将线段AC绕点A按顺时针方向旋转60°，得到线段AD，连接DC，DB.
图2
①线段DC= ；
②求线段DB的长度.
【易错点】（1）有同学做该类题时，常常忽略“一副三角板”的默认条件，以为没有数据而不会解答.
（2）误认为∠CDB=90°，由①中DC的值，和题中BC的值，利用勾股定理求得DB的长.
【分析】（1）其实这是两个有已知数据的特殊的直角三角形，直接可以利用三角形的内、外角的知识求解.答案为60°-45°=15°.
（2）△CDB不是直角三角形，因此我们需要构造直角三角形，作DE⊥BC于E，分别解直角△CDE和直角△BDE，如图3，可得DB=[7].
图3
【点评】观察图形是我们求解几何图形的第一步，有些图形正如我们所见，确实是我们所猜想的图形，当然我们依然要善于从题目中寻找默认的信息或者隐含的条件进行验证；而有些图形却并非如我们所愿，当所给条件不能验证我们的观察结论时，我们需要换个角度来求解，比如题（2）中，无法直接得到直角三角形，则构造直角三角形，便于我们求解.
二、边与边之间的关系
1.三角形的边.
例4 （1）三角形的三边长为3，a，7，则a的范围是 .
（2）若一个三角形的两边长分别为2和4，则该三角形的周长可能是（ ）.
A.6 B.7 C.11 D.12
【易错点】（1）有的同学答案是3 （2）不会主动出击寻找周长的范围，而是被动地对一个个选项研究，做题没有目的性.
【分析】灵活运用三角形的三边关系，即已知三角形的两边长，确定第三边的范围为：两边之差<第三边<两边之和，因此：
（1）可得7-3 （2）可得第三边a的范围为2 【点评】三角形的三边关系是我们处理边与边关系的前提知识.
2.等腰三角形的边.
例5 一个等腰三角形的一边是2cm，另一边是9cm，则这个三角形的周长是 cm.
【易错点】前面我们提醒到，等腰三角形问题常常需要“分类讨论”，因此此题三边有两种情况：2，2，9以及9，9，2，你也许会回答周长为13cm或20cm，殊不知，你考虑了分类讨论，却忽视了三角形三边关系的要求.涉及三角形边的问题时，要判断给定三条线段能否构成一个三角形，用“三角形两边之和大于第三边”来验证.
【分析】由于2 2<9，故2，2，9不能构成三角形，周长只能是20cm.
【点评】由于分类讨论涉及多种情况，因此我们要善于对各种类型的答案进行验证，而不能眉毛胡子一把抓，应该严格掌握一些数学定理和规则，有舍有得.
3.直角三角形的边.
例6 已知一个直角三角形的两边是3和4，则第三条边是 .
【易错点】常见的勾股数确实为我们平时求解直角三角形的边长带来了便利，但是也往往会给我们带来思维定式，此处答案会有人毫不犹豫地填写“5”.
【分析】我们再次强调“勾股定理”：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.因此，判断直角边和斜边是我们解题的前提条件，而此题中未给出确切的直角边和斜边的信息.因此需要分类讨论： （1）当3和4都是直角边时，第三边为斜边5；
（2）当4是斜边时，第三边是直角边，答案为[7].
所以答案为：5或[7].
【点评】求解直角三角形边的问题，必须明确哪个角是直角，哪条边是斜边，才能正确用好勾股定理，同时大家要辨证看待“勾股数”的作用，为我所用.
三、三角形的三线关系
例7 三角形的重心是（ ）.
A.三角形三条边上中线的交点
B.三角形三条边上高线的交点
C.三角形三条边垂直平分线的交点
D.三角形三条内角平分线的交点
【易错点】对三角形三类重要的线段不熟悉，会导致张冠李戴，胡乱选择选项.
【分析】三角形的三类重要的线段：（1）高线——交点为垂心；（2）角平分线——交点为内心；（3）中线——交点为重心.另外还有一类重要的直线：三条边垂直平分线——交点为外心.你可以在四个三角形中分别作出四个心，数形结合来掌握这个结论，避免死记硬背导致混淆答案.
【点评】内心和外心还需要结合内切圆和外接圆的知识，你可以画一棵知识树，帮助自己辨析概念，灵活运用相关知识.
2.等腰三角形的三线.
例8 如图4，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，若∠BAC=70°，则∠BAD= °.
圖4
【分析】此题一般都能求解，这里特地拿出来是为了强调解题的方法，很多同学迷恋全等三角形，涉及求边相等、角相等的问题，第一反应是利用三角形全等的知识，而忽略了有些更便捷的方法.本题也能利用全等三角形证明，但利用等腰三角形三线合一的方法将简单得多.由AB=AC，AD⊥BC，根据等腰三角形三线合一的性质，得∠BAD=∠CAD，由∠BAC=70°，则∠BAD=35°.
【点评】熟记等腰三角形“三线合一”定理：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合.
3.直角三角形的三线.
例9 直角三角形的两直角边分别为5cm，12cm，其中斜边上的高为（ ）.
A.6cm B.5cm C.[3013]cm D.[6013]cm
【易错点】“等积法”在直角三角形求线段问题中非常常见，我们可以轻松求得该直角三角形的斜边长为13cm，面积为30cm2，然后直接用30除以13，选C.
【分析】三角形面积是底乘高的一半，很多同学会忽略“一半”，上面解法的错误就在于直接用面积除以底，而忘了“一半”的处理，为防止这个错误，我们可以由三角形的面积公式得斜边上的高为[5×1213]=[6013]（cm），此处两次计算面积中用到的“一半”同时抵消了，避免了错解.
【点评】我们也可以用方程思想来求解这题，设斜边上的高为x，可得方程[12]×13·x=[12]×5×12，解这个方程，则不会受[12]的干扰.
（作者单位：南京师范大学附属苏州石湖中学）
1.三角形的角.
例1 （1）在△ABC中，若∠A=2∠B=3∠C，则△ABC是 三角形.
（2）在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，则△ABC是 三角形.
【易错点】误认为两题是一样的解法，都设∠A=x，∠B=2x，∠C=3x，由x 2x 3x=180°，解得x=30°，所以得△ABC是直角三角形.
【分析】（2）中∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3可看出三个角的倍数关系是1份，2份，3份，上述设法正确，而（1）中∠A=2∠B，可知若∠B为1份，则∠A为2份，故应设∠A=x，∠B=[12x]，∠C=[13x]，由x [12x] [13x]=180°，解得x=（[108011]）°，所以該三角形是钝角三角形.
【点评】请正确审题，明确角与角之间的份数关系，正确设未知数.可以将所设未知数代入式子进行验证，如（1）中若设∠A=x，∠B=2x，∠C=3x，代入等式，可发现“x=2×2x=3×3x”这个错误的等式.
2.等腰三角形的角.
例2 已知等腰三角形的一个角是40°，则这个三角形的顶角等于 度.
【易错点】固定思维，认为这个角是底角，由三角形内角和定理得顶角为100°.
【分析】题中未明确给出这个角的信息，故要分类讨论，这是数学研究中非常重要的一种思想方法.
（1）当这个角是底角时，可得顶角为100°；
（2）当这个角是顶角时，可直接写顶角为40°.
因此答案为100°或40°.
【点评】解关于等腰三角形的计算题时，要学会“分类讨论”：一个角可能是顶角，也可能是底角；当然，类似的，一条边可能是腰，也可能是底边；腰上的高可能在三角形内，也可能在三角形外.
3.直角三角形的角.
例3 （1）将一副三角板如图1叠放，则图中α的度数为 .
图1
（1）如图2，已知AC⊥BC，垂足为C，AC=4，BC=[33]，将线段AC绕点A按顺时针方向旋转60°，得到线段AD，连接DC，DB.
图2
①线段DC= ；
②求线段DB的长度.
【易错点】（1）有同学做该类题时，常常忽略“一副三角板”的默认条件，以为没有数据而不会解答.
（2）误认为∠CDB=90°，由①中DC的值，和题中BC的值，利用勾股定理求得DB的长.
【分析】（1）其实这是两个有已知数据的特殊的直角三角形，直接可以利用三角形的内、外角的知识求解.答案为60°-45°=15°.
（2）△CDB不是直角三角形，因此我们需要构造直角三角形，作DE⊥BC于E，分别解直角△CDE和直角△BDE，如图3，可得DB=[7].
图3
【点评】观察图形是我们求解几何图形的第一步，有些图形正如我们所见，确实是我们所猜想的图形，当然我们依然要善于从题目中寻找默认的信息或者隐含的条件进行验证；而有些图形却并非如我们所愿，当所给条件不能验证我们的观察结论时，我们需要换个角度来求解，比如题（2）中，无法直接得到直角三角形，则构造直角三角形，便于我们求解.
二、边与边之间的关系
1.三角形的边.
例4 （1）三角形的三边长为3，a，7，则a的范围是 .
（2）若一个三角形的两边长分别为2和4，则该三角形的周长可能是（ ）.
A.6 B.7 C.11 D.12
【易错点】（1）有的同学答案是3
【分析】灵活运用三角形的三边关系，即已知三角形的两边长，确定第三边的范围为：两边之差<第三边<两边之和，因此：
（1）可得7-3
2.等腰三角形的边.
例5 一个等腰三角形的一边是2cm，另一边是9cm，则这个三角形的周长是 cm.
【易错点】前面我们提醒到，等腰三角形问题常常需要“分类讨论”，因此此题三边有两种情况：2，2，9以及9，9，2，你也许会回答周长为13cm或20cm，殊不知，你考虑了分类讨论，却忽视了三角形三边关系的要求.涉及三角形边的问题时，要判断给定三条线段能否构成一个三角形，用“三角形两边之和大于第三边”来验证.
【分析】由于2 2<9，故2，2，9不能构成三角形，周长只能是20cm.
【点评】由于分类讨论涉及多种情况，因此我们要善于对各种类型的答案进行验证，而不能眉毛胡子一把抓，应该严格掌握一些数学定理和规则，有舍有得.
3.直角三角形的边.
例6 已知一个直角三角形的两边是3和4，则第三条边是 .
【易错点】常见的勾股数确实为我们平时求解直角三角形的边长带来了便利，但是也往往会给我们带来思维定式，此处答案会有人毫不犹豫地填写“5”.
【分析】我们再次强调“勾股定理”：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.因此，判断直角边和斜边是我们解题的前提条件，而此题中未给出确切的直角边和斜边的信息.因此需要分类讨论： （1）当3和4都是直角边时，第三边为斜边5；
（2）当4是斜边时，第三边是直角边，答案为[7].
所以答案为：5或[7].
【点评】求解直角三角形边的问题，必须明确哪个角是直角，哪条边是斜边，才能正确用好勾股定理，同时大家要辨证看待“勾股数”的作用，为我所用.
三、三角形的三线关系
例7 三角形的重心是（ ）.
A.三角形三条边上中线的交点
B.三角形三条边上高线的交点
C.三角形三条边垂直平分线的交点
D.三角形三条内角平分线的交点
【易错点】对三角形三类重要的线段不熟悉，会导致张冠李戴，胡乱选择选项.
【分析】三角形的三类重要的线段：（1）高线——交点为垂心；（2）角平分线——交点为内心；（3）中线——交点为重心.另外还有一类重要的直线：三条边垂直平分线——交点为外心.你可以在四个三角形中分别作出四个心，数形结合来掌握这个结论，避免死记硬背导致混淆答案.
【点评】内心和外心还需要结合内切圆和外接圆的知识，你可以画一棵知识树，帮助自己辨析概念，灵活运用相关知识.
2.等腰三角形的三线.
例8 如图4，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，若∠BAC=70°，则∠BAD= °.
圖4
【分析】此题一般都能求解，这里特地拿出来是为了强调解题的方法，很多同学迷恋全等三角形，涉及求边相等、角相等的问题，第一反应是利用三角形全等的知识，而忽略了有些更便捷的方法.本题也能利用全等三角形证明，但利用等腰三角形三线合一的方法将简单得多.由AB=AC，AD⊥BC，根据等腰三角形三线合一的性质，得∠BAD=∠CAD，由∠BAC=70°，则∠BAD=35°.
【点评】熟记等腰三角形“三线合一”定理：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合.
3.直角三角形的三线.
例9 直角三角形的两直角边分别为5cm，12cm，其中斜边上的高为（ ）.
A.6cm B.5cm C.[3013]cm D.[6013]cm
【易错点】“等积法”在直角三角形求线段问题中非常常见，我们可以轻松求得该直角三角形的斜边长为13cm，面积为30cm2，然后直接用30除以13，选C.
【分析】三角形面积是底乘高的一半，很多同学会忽略“一半”，上面解法的错误就在于直接用面积除以底，而忘了“一半”的处理，为防止这个错误，我们可以由三角形的面积公式得斜边上的高为[5×1213]=[6013]（cm），此处两次计算面积中用到的“一半”同时抵消了，避免了错解.
【点评】我们也可以用方程思想来求解这题，设斜边上的高为x，可得方程[12]×13·x=[12]×5×12，解这个方程，则不会受[12]的干扰.
（作者单位：南京师范大学附属苏州石湖中学）