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提出了一种通过求解L1范数最小化问题来重建四元数信号的算法，并且同时考虑了有噪声和没有噪声2种应用场景．该算法首先将四元数域的L1范数最小化问题转化为实数域的二次锥规划问题，然后通过工具包如SeDuMi来解决这个二次锥规划问题．为了验证所提出算法的正确性和有效性，进行了相关的数值试验．试验结果表明：在没有噪声的情况下，在某些实际可接受的条件下原始信号的精确重建是可以实现的；在有噪声的情况下，所提出的算法对于测量中的加性噪声具有鲁棒性．该算法可以被应用于四元数域基于压缩感知理论的信号重建中．