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摘 要 高中数学课程标准在教材编写和教学设计等方面有着重要的指导作用。以2000年版、2003年版和2017年版为比较对象，通过静态定量模型的三个主要影响因素课程广度、课程时间和课程深度来分析普通高中数学函数的课程难度。研究发现，2017年版课程标准在课程广度和课程深度都稍有增加，有助于研究者对函数课程内容的进一步认识。
关键词 课程标准 课程难度 函数 对比
中图分类号：G424 文献标识码：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdkx.2019.06.074
A Contrastive Study on the Difficulty of Mathematics Course in Senior High School
——Take the compulsory course function as an example
PI Shuailing， SU Shuhua， LI Qi， ZHANG Bixia
（Fuzhou Normal College of ECUT， Fuzhou， Jiangxi 344000）
Abstract High school mathematics curriculum standards play an important guiding role in textbook compilation and teaching design. By comparing 2000 edition， 2003 edition and 2017 edition， this paper analyses the curriculum difficulty of mathematics function in senior high school through three main factors of static quantitative model： curriculum breadth， curriculum time and curriculum depth. The study finds that the 2017 version of curriculum standards has slightly increased in the breadth and depth of the curriculum， which is helpful for researchers to further understand the content of functional curriculum.
Keywords curriculum standards； course difficulty； function； contrast
1 問题提出
对于普通高中数学课程，2000年之后共有三个版本的课程标准，分别是：2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲（修订版）》、[1]2003年《全日制普通高中数学新课程标准（实验版）》[2]和2017年《普通高中数学课程标准》。[3]为了方便起见，分别简称为：2000年版、2003年版和2017年版。目前，研究课标的主要方法是史宁中于2005年提出的静态定量模型。[4]该模型主要是基于课程广度、课程时间和课程深度来建构课程内容难度的量化模型。
函数作为高中数学的基本概念和课程核心内容之一。现有文献主要是从教材角度来分析函数内容的课程难度，而从课程标准来分析研究的比较少。例如魏钰婷以人教A版与澳洲BIP版高水平数学教材为例，[5]胡晓婷以我国各版本教材为例，来考查高中数学三角函数内容的难度情况；[6]胡莉莉等以中美数学教材为例，来分析初中函数内容的难度情况；[7]吕世虎和刘鹏飞从大纲和课标来探究函数课程内容难度的发展情况。[8]
随着我国最新的高中数学课程标准修订的完成，对函数课程内容难度的具体要求也有所变化。在这样的背景下，把最新修订的2017年版高中数学课程标准与前两版的函数课程内容难度进行分析比较，探究最新的2017版课程标准下的函数课程难度的变化情况，拟解决的问题是：相较于前2版课标，2017版高中数学课程标准对函数课程内容难度的具体要求发生了怎样的变化？
2 关于“函数”课程难度的对比研究
刻画课程难度的静态定量模型为：
（1）
表示课程难度，表示课程广度，表示课程时间，表示课程深度。本文以必修课程函数为样本，运用该模型来研究函数课程内容难度。
由于2003年版课程广度、课程深度和课程时间的具体数据都没有明确给出，为了便于计算，作出以下假设，在对该版三个因素进行量化时，均采用2003年版课程标准下的教材来代替。该教材能够比较全面地反映2003年版课标。
2.1 考查课程广度
课程广度是指课程内容所涉及的范围和领域的广泛程度，可以用我们通常所说的“知识点”的多少进行量化。考虑到“解三角形” 、“数列”、“三角恒等变换”等都涉及到“函数”，所以，我们把这些都归结为“函数”部分的课程内容。经统计，2000年版相应内容的知识点合计32个，取综合的课程广度系数为32，即=32；2003年版相应内容的知识点合计33个，取综合的课程广度系数为33，即=33；2017年版相应内容的知识点合计34个，取综合的课程广度系数为34，即=34。
由上可知，这三个版本函数内容的知识点数量在逐版增加，2017版课程标准相较于前两版，函数知识点的范围最广。
2.2 考查课程时间
课程时间是指课程内容的完成所需要的时间，可以用我们通常所说的“课时”多少进行量化。
2000年版是“函数”30课时，“三角函数”是46课时，“数列”也归为一种特殊的函数，是12课时，共计88课时。于是，T1=88。 2003版下的教科书的设置是“人教版”高中数学课程必修1中“集合与函数概念”、“基本初等函数（I）”、“函数的应用”是18课时，在必修4 中第一章“三角函数”、第三章“三角恒等变换”是36课时，必修5中第一章“解三角形”、第三章“数列”是36课时，共计90课时。类似地，在“北师大版”高中数学课程中，课程时间共计75课时。综合两个版本，取其平均值82.5. 于是，T2=82.5。
2017版中必修课程内容“主题二函数”有52课时，选择性必修课程“主题一数列、函数”有30课时，共计82课时。于是，T3=82。
可以看到，这三个版本函数内容的课时数设置在逐次减少，2017版课程标准相较于前两版，函数的课时数安排最少。
2.3 考查课程深度
课程深度是指课程内容的数学抽象度，还涉及到课程内容的推理与运算步骤。根据数学抽象分析法，[9]我们用抽象度deg来表达数学课程内容的综合深度，可有如下分析：
（1）2000年相应课程内容的抽象度分析：
A：函数 B：三角函数C：同角三角函数D：三角恒等变换 E：斜三角形解法举例。《函数》的deg=3.5从而，其相应的课程内容深度为3.5，即。
（2）2003年相应课程内容的抽象度分析：
A：函数 B：三角函数 C：三角函数的图像和性质 D：三角函数模型的简单应用 E：三角恒等变换。《函数》的deg=4。从而，其相应的课程内容深度为4，即=4。
（3）2017年相应课程内容的抽象度分析：
A：函数 B：三角函数 C：同等三角函数 D：三角恒变换 E：三角函数应用F：三角函数模型与数学建模。《函数》的deg=4.5。 从而，其相应的课程内容深度为4.5，即=4.5。
可以看到，这三个版本函数内容中课程抽象度在逐次增加，2017版课程标准相较于前两版，函数的课程抽象度最深。
3 比较结果
（1）由以上数据可得，表1。
分别代入公式（1）可得：
其中，于是，，，。如果取，那么，，。结果表明，在这个模型下，2017年版函数最难。
（2）如果假定2017年版与2000年版和2003年版的课程难度是相同的，即，相应的课程广度和课程时间不变，而且，仍取，那么，课程深度必满足
于是得到，
如果取，那么，
这表明，此时如果2017年版下的“函数”的课程系数取5，那么，要控制课程难度不变，其课程深度就必须要比2000年版、2003年版都要浅，大约是2000年版的0.66，是2003年版的0.89。
换言之，2017年版函数部分的课程时间减少了，课程广度稍微增加了，但由于增加了探究、建模等活动过程，课程要求增加了即课程深度系数增大了，这必然导致这部分内容的整体课程难度加大。
另一方面，在实际教学中，对于存在内容关联或叠加、而要求又不尽相同的课程内容，由于教学的惯性使然，教师通常会保持相同的课程深度，也就导致了课程难度不能保持一致。因此，对于即将到来新课标下的教材，教师在教学过程中可注意要按照新课标实行教学。
*通讯作者：苏淑华
基金项目：[1]江西省高等学校教学改革研究课题“基于SPOC的高校数学课程‘三环七步’教学模式研究”（JXJG17612）；[2]抚州市社会科学规划课题“以创新‘国培’送教下乡培训模式推进抚州市县域义务教育均衡发展的研究”（18SK027）
参考文献
[1] 中华人民共和国教育部制订.全日制普通高级中学数学教学大纲（修订版）.北京：人民教育出版社，2000.
[2] 中華人民共和国教育部制订.全日制普通高中数学新课程标准（实验版）.北京：人民教育出版社，2003.
[3] 中华人民共和国教育部制订.普通高中数学课程标准.北京：人民教育出版社，2017.
[4] 史宁中，孔凡哲，李淑文.课程难度模型：我国义务教育几何课程难度的对比.东北师大学报（哲学社会科学报），1001-6201（2005）06-0151-05.
[5] 魏钰婷，梅全雄.两套高中数学教材函数内容的比较研究.课程与教学论，2011.
[6] 胡晓婷，高中数学教材中三角函数内容的比较研究.首都师范大学，2011.
[7] 胡莉莉，中美初中数学教材函数内容难度的比较研究.教学，信息.2095-3089（2012）03-0081-02.
[8] 吕世虎，刘鹏飞.《标准》和《大纲》函数内容难度的比较研究.数学教育学报，1004-9894（2010）03-0063-04.
[9] 徐利治，郑毓信.数学抽象方法与抽象分析法.南京：江苏教育出版社，1990.
关键词 课程标准 课程难度 函数 对比
中图分类号：G424 文献标识码：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdkx.2019.06.074
A Contrastive Study on the Difficulty of Mathematics Course in Senior High School
——Take the compulsory course function as an example
PI Shuailing， SU Shuhua， LI Qi， ZHANG Bixia
（Fuzhou Normal College of ECUT， Fuzhou， Jiangxi 344000）
Abstract High school mathematics curriculum standards play an important guiding role in textbook compilation and teaching design. By comparing 2000 edition， 2003 edition and 2017 edition， this paper analyses the curriculum difficulty of mathematics function in senior high school through three main factors of static quantitative model： curriculum breadth， curriculum time and curriculum depth. The study finds that the 2017 version of curriculum standards has slightly increased in the breadth and depth of the curriculum， which is helpful for researchers to further understand the content of functional curriculum.
Keywords curriculum standards； course difficulty； function； contrast
1 問题提出
对于普通高中数学课程，2000年之后共有三个版本的课程标准，分别是：2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲（修订版）》、[1]2003年《全日制普通高中数学新课程标准（实验版）》[2]和2017年《普通高中数学课程标准》。[3]为了方便起见，分别简称为：2000年版、2003年版和2017年版。目前，研究课标的主要方法是史宁中于2005年提出的静态定量模型。[4]该模型主要是基于课程广度、课程时间和课程深度来建构课程内容难度的量化模型。
函数作为高中数学的基本概念和课程核心内容之一。现有文献主要是从教材角度来分析函数内容的课程难度，而从课程标准来分析研究的比较少。例如魏钰婷以人教A版与澳洲BIP版高水平数学教材为例，[5]胡晓婷以我国各版本教材为例，来考查高中数学三角函数内容的难度情况；[6]胡莉莉等以中美数学教材为例，来分析初中函数内容的难度情况；[7]吕世虎和刘鹏飞从大纲和课标来探究函数课程内容难度的发展情况。[8]
随着我国最新的高中数学课程标准修订的完成，对函数课程内容难度的具体要求也有所变化。在这样的背景下，把最新修订的2017年版高中数学课程标准与前两版的函数课程内容难度进行分析比较，探究最新的2017版课程标准下的函数课程难度的变化情况，拟解决的问题是：相较于前2版课标，2017版高中数学课程标准对函数课程内容难度的具体要求发生了怎样的变化？
2 关于“函数”课程难度的对比研究
刻画课程难度的静态定量模型为：
（1）
表示课程难度，表示课程广度，表示课程时间，表示课程深度。本文以必修课程函数为样本，运用该模型来研究函数课程内容难度。
由于2003年版课程广度、课程深度和课程时间的具体数据都没有明确给出，为了便于计算，作出以下假设，在对该版三个因素进行量化时，均采用2003年版课程标准下的教材来代替。该教材能够比较全面地反映2003年版课标。
2.1 考查课程广度
课程广度是指课程内容所涉及的范围和领域的广泛程度，可以用我们通常所说的“知识点”的多少进行量化。考虑到“解三角形” 、“数列”、“三角恒等变换”等都涉及到“函数”，所以，我们把这些都归结为“函数”部分的课程内容。经统计，2000年版相应内容的知识点合计32个，取综合的课程广度系数为32，即=32；2003年版相应内容的知识点合计33个，取综合的课程广度系数为33，即=33；2017年版相应内容的知识点合计34个，取综合的课程广度系数为34，即=34。
由上可知，这三个版本函数内容的知识点数量在逐版增加，2017版课程标准相较于前两版，函数知识点的范围最广。
2.2 考查课程时间
课程时间是指课程内容的完成所需要的时间，可以用我们通常所说的“课时”多少进行量化。
2000年版是“函数”30课时，“三角函数”是46课时，“数列”也归为一种特殊的函数，是12课时，共计88课时。于是，T1=88。 2003版下的教科书的设置是“人教版”高中数学课程必修1中“集合与函数概念”、“基本初等函数（I）”、“函数的应用”是18课时，在必修4 中第一章“三角函数”、第三章“三角恒等变换”是36课时，必修5中第一章“解三角形”、第三章“数列”是36课时，共计90课时。类似地，在“北师大版”高中数学课程中，课程时间共计75课时。综合两个版本，取其平均值82.5. 于是，T2=82.5。
2017版中必修课程内容“主题二函数”有52课时，选择性必修课程“主题一数列、函数”有30课时，共计82课时。于是，T3=82。
可以看到，这三个版本函数内容的课时数设置在逐次减少，2017版课程标准相较于前两版，函数的课时数安排最少。
2.3 考查课程深度
课程深度是指课程内容的数学抽象度，还涉及到课程内容的推理与运算步骤。根据数学抽象分析法，[9]我们用抽象度deg来表达数学课程内容的综合深度，可有如下分析：
（1）2000年相应课程内容的抽象度分析：
A：函数 B：三角函数C：同角三角函数D：三角恒等变换 E：斜三角形解法举例。《函数》的deg=3.5从而，其相应的课程内容深度为3.5，即。
（2）2003年相应课程内容的抽象度分析：
A：函数 B：三角函数 C：三角函数的图像和性质 D：三角函数模型的简单应用 E：三角恒等变换。《函数》的deg=4。从而，其相应的课程内容深度为4，即=4。
（3）2017年相应课程内容的抽象度分析：
A：函数 B：三角函数 C：同等三角函数 D：三角恒变换 E：三角函数应用F：三角函数模型与数学建模。《函数》的deg=4.5。 从而，其相应的课程内容深度为4.5，即=4.5。
可以看到，这三个版本函数内容中课程抽象度在逐次增加，2017版课程标准相较于前两版，函数的课程抽象度最深。
3 比较结果
（1）由以上数据可得，表1。
分别代入公式（1）可得：
其中，于是，，，。如果取，那么，，。结果表明，在这个模型下，2017年版函数最难。
（2）如果假定2017年版与2000年版和2003年版的课程难度是相同的，即，相应的课程广度和课程时间不变，而且，仍取，那么，课程深度必满足
于是得到，
如果取，那么，
这表明，此时如果2017年版下的“函数”的课程系数取5，那么，要控制课程难度不变，其课程深度就必须要比2000年版、2003年版都要浅，大约是2000年版的0.66，是2003年版的0.89。
换言之，2017年版函数部分的课程时间减少了，课程广度稍微增加了，但由于增加了探究、建模等活动过程，课程要求增加了即课程深度系数增大了，这必然导致这部分内容的整体课程难度加大。
另一方面，在实际教学中，对于存在内容关联或叠加、而要求又不尽相同的课程内容，由于教学的惯性使然，教师通常会保持相同的课程深度，也就导致了课程难度不能保持一致。因此，对于即将到来新课标下的教材，教师在教学过程中可注意要按照新课标实行教学。
*通讯作者：苏淑华
基金项目：[1]江西省高等学校教学改革研究课题“基于SPOC的高校数学课程‘三环七步’教学模式研究”（JXJG17612）；[2]抚州市社会科学规划课题“以创新‘国培’送教下乡培训模式推进抚州市县域义务教育均衡发展的研究”（18SK027）
参考文献
[1] 中华人民共和国教育部制订.全日制普通高级中学数学教学大纲（修订版）.北京：人民教育出版社，2000.
[2] 中華人民共和国教育部制订.全日制普通高中数学新课程标准（实验版）.北京：人民教育出版社，2003.
[3] 中华人民共和国教育部制订.普通高中数学课程标准.北京：人民教育出版社，2017.
[4] 史宁中，孔凡哲，李淑文.课程难度模型：我国义务教育几何课程难度的对比.东北师大学报（哲学社会科学报），1001-6201（2005）06-0151-05.
[5] 魏钰婷，梅全雄.两套高中数学教材函数内容的比较研究.课程与教学论，2011.
[6] 胡晓婷，高中数学教材中三角函数内容的比较研究.首都师范大学，2011.
[7] 胡莉莉，中美初中数学教材函数内容难度的比较研究.教学，信息.2095-3089（2012）03-0081-02.
[8] 吕世虎，刘鹏飞.《标准》和《大纲》函数内容难度的比较研究.数学教育学报，1004-9894（2010）03-0063-04.
[9] 徐利治，郑毓信.数学抽象方法与抽象分析法.南京：江苏教育出版社，1990.