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摘 要：以链式思维教学是指课堂教学由一条无形的链主宰，围绕这条链制定教学目标，对教学过程中相互联系的各个部分作出整体安排，引领学生思维的发展，从而形成完整的思维链的一种教学构想。链式思维教学根据思维发展的基本特点，制定相应的教学策略，引导学生的思考，走向深度学习，让课堂展现生命的活力和思维的张力。
关键词：链式思维；教学策略；学科素养
中国古代哲学强调变化，孔子在《易传》中曾写道“天地之大德曰生”“生生之谓易”，说明了宇宙生生不息、变化无穷。天地是一个时刻变化的大气场，变化，是事物的表象，在变化的背后有着一根无形的“链”，左右着事物变化的方向。课堂教学中同样有这样的链，影响着事物发展的变化和方向。课堂教学是需要遵循学生的身心特点和技能形成的一般规律，对教学过程中相互联系的各个部分作出整体安排，形成一个链式思维教学，以此发展学生的思维能力，提高学生的学科素养。“以思维品质的提升促进学生的学科素养提高”是链式思维教学的核心，也是数学教育的价值追求。当然，思维品质不单单指逻辑思维，而是有着更广泛的含义。正如柏拉图所指出的“哲学家也要学数学，因为他必须跳出淡如烟海的万变现象而抓住真正的实质……”因此，在数学教学实践中应始终关注数学这个本质特征，避免单纯追求数学知识的倾向，而是要注重思维品质的提升。
学生的思维发展过程表现为：发散思维-归纳思维-统摄思维-批判思维-更高层次的发散思维。链式思维教学注重思维活动的逻辑起点，并由此层层推进，抓住思维规律，多角度辐射、多方位归纳、多路径延展和多学科融通安排教学，赋予学生一个完整的学习路径，形成一个链条，完整建构知识，发展思维。
一、 多角度辐射问题
数学知识是相互联系的，一节课中的知识点之间有联系，新知与旧知之间也有联系，但不能因为知识是一个链，思维就得走直线，还需有辐射思维，从不同的角度、不同的侧面去观察、思考、想象，打破常规思维模式，提出新的创见。课堂教学需要给学生充足的时间探究，才会产生不同角度的思考，学力才会在自主探究中变得强劲。
例如，教学梯形的面积时，笔者让学生回忆以前学过的推导图形面积的方法，共同理出一条研究的路线：转化成学过的图形再求面积；接着教师给足学生时间，含英咀华，学生不仅会探究出用两个完全一样的梯形，拼成一个平行四边形，顺利推导出了梯形的面积，还出现以下4种不同的剪拼方法，推导梯形的面积。（见图1）
在适当巩固练习后，对单元知识进行整理，（见图2）异中求同，纵横沟通，形成知识体系。
该案例围绕转化这一思维策略展开学习，引导学生用“运动视角”寻找关联，寻找解决问题的多种方法。之后，又实现了以“点”的知识为牵引，达到了“面”知识的梳理，实现了平面图形面积计算相关知识的增值。同时，发散了思维，拓展了思维的广度，最终使学生的综合能力得到结构化发展。这样的学习会让学生体会到思维方法的价值和作用，使思维超越知识，在学习中得到最充分的运用与彰显。这是链式教学在思维发展水平上的第一层次表现：发散思维的培养。
二、 多方位归纳知识
思维的发展在操作层次上表现为：动作把握—图像把握—文字把握。数学研究的主要对象是不变的“数量关系”和固定“空间形式”，“数”与“形”是分开研究的。链式思维教学需要通过合理的方式帮助学生打通“数”与“形”的通道，将“数”与“形”结合，巧妙地融通，引发学生思考。思维在归纳抽象中更理性。
例如《小数的初步认识》教学，教师用课件首先出示一元硬币图，将一元硬币花纹隐去，用圆形表示1元，要求学生把1元平均分成10分，说出其中的1份表示多少钱？其次，用10张1角纸币拼成一个长方形，多少角是1元？10角是几分之几元？写成小数是多少元？如果涂色2份，可以表示多少元？如果这个长方形表示的是1米，涂色部分是2份，表示多少米？再次，将长方形变细成一条线段，如果这条线段表示1元又该怎样分？有了操作初步的感悟，最后将分好的圆形、长方形和线段，放在一起对比，找出相同之处。学生就此顺利归纳出小数的意义：这些图形都是平均分成了10份，十分之几可以用小数来表示。
这个教学片段中学习的是数，教师稍作处理操作材料，让图形成为学生分析、思辨的对象，利用数与形的特殊關系，丰富学生认知，从而让他们的目光更敏锐、智慧更通达，这样在数与形呈现中、变化中、关联中学习，从动作、图像和语言等多方位归纳小数的意义，在直观和抽象的穿梭中发现本质，理解概念。这就是链式思维教学在思维发展水平上的第二层次的表现：归纳思维的训练。
三、 多路径延展能力
思维是人脑对事物的间接概括的反应，思维活动的逻辑起点是通过感知这个媒介对知识进行处理。教师组织教学要与唤起学生的知识、经验，充分感知事物，以思维的延展和变通，增强学生思维的深刻性。让学生头脑中知识结构的变化催生思维方式的变化，敢于交流想法，让学生的思想在交流碰撞中变得深邃。
例如在“长方体的认识”教学中，首先小组探索长方体的特征：不少学生通过观察和数，知道了长方体有6个面，相对的面相等，有8个顶，12条棱。侧重于思维的严密性训练，追问：除了数，你还有其他的证明方法吗？学生拿出长方体模型解释，用面的个数推理棱和顶点的个数；棱是在相交的两个面上，可以用面的个数推理出棱的条数，长方体6个面，每个面有4条边，共有4×6=24（条），每条棱是两个面共有，所以除以2，等于12条。顶点是3个面的交点，每个面有4个角（顶点），4×6÷3=8（个），顶点就是8个。最后，通过阅读材料，简单多面体，如果用V表示顶点数，E表示棱数，F表示面数，那么V F=E 2，这就是拓扑学普遍使用的定理——欧拉定理。皮亚杰认为，概念的形成正是基于知觉材料与超越知觉范围的逻辑数学结构的结合。这里通过推理，学生探索出了长方体各元素之间的隐秘关系，深入理解了图形的特征，学生的理性思维得到了训练，实现了直观几何、实验几何与论证几何的结合。学生以后在解决问题时，思维常常会不拘一格地朝着多种方向去探寻各种不同的方法，而在同样的情况下，思维也常常“从所给予的信息中产生逻辑的结论”。这是思维链式教学在思维发展水平上的第三层次的表现：统摄思维的展现。 四、 多领域融合素养
荷兰数学教育家费赖登塔尔在《作为教育任务的数学》一书中阐述了数学教学应教给学生充满着联系的数学，不仅要实现数学内部的联系，而且要让数学与外部世界联系、统一。因此，小学数学教学要着眼于儿童整体素养的提升，关注并改善影响儿童数学素养形成各要素之间内在的联系，通过适切的学习资源的提供、学习活动的组织、学习结果的评价，强调各领域学科知识的融通与联结，以整体的视角、结构的方式链接课外知识，智慧在链接分享中变得灵动。
例如，学过圆柱的体积，笔者让学生测量校园里一棵树的体积，学生用软尺量出树干的周长，计算出树干横截面的面积，接着测量出树干的高度，用横截面积乘树高计算体积，但树有那么多粗细不等的树枝，体积的测算太麻烦。这时链接阅读任务材料：一棵树长到一定高度就开始分叉，长出几根枝丫，每根枝丫又继续分叉成几根小枝丫……树木的这种倒锥形生长方式对于我們来说都不陌生，但恐怕很少有人注意到其中的“数学”，早在15世纪，画家达·芬奇发现：一棵树在任何一个高度，其所有树枝的横截面积之和是不变的。学生读了上述生物知识，感叹：大自然真奇妙！很快解决了数学问题：只要在树的根部量出它的横截面积，再乘它的高就可以了。这时，还有学生提议我们不能迷信权威，这个方法只能测量一棵未经过修剪的树，像旁边这棵经过修剪的雪松，我觉得需要从树的腰部测量出树围，测算横截面积。美国著名数学史家克莱因认为，数学是一种精神，一种理性精神。因此，学习中要培养学生独立思考、勇于批判、求异质疑的精神。上述教学中这种任务链接不仅有效地激发了学生的好奇心，还培养了学生的批判性思维能力。学生以整体联系的眼光来进行学习与思考，促进学科内与学科间知识的联通与整合，以批判的眼光使用知识。这就是思维链式教学在思维发展水平上的第四层次的表现：批判思维的展现。
当下我国的教育全面落实“创新、绿色、协调、开放、共享”五大理念，全力提升学生的核心素养。其实，提升核心素养的落脚点在课堂。相信在链式思维教学价值引领下，让学生以整体和联系的眼光来进行学习与思考，在头脑中形成清晰、完整的网状认知结构，从而牢固地掌握必备的知识，在此基础上实现自身关键能力与必备品格的多重发展。而这正是核心素养理念的落实下的数学课堂教学的本然。
参考文献：
[1]冯克诚.（战国）孔伋思孟学派教学思想与《学记》解读[M].北京：中国环境科学出版社，2006.
[2]王子兴.数学方法论[M].长沙：中南大学出版社，2002.
[3]弗赖登塔尔著，陈昌平，唐瑞芬编译.作为教育任务的数学上海教育出版社[M].上海：上海教育出版社，1995.
作者简介：
李冬芳，小学高级教师，江苏省扬州市，江苏省扬州市三元桥小学。
关键词：链式思维；教学策略；学科素养
中国古代哲学强调变化，孔子在《易传》中曾写道“天地之大德曰生”“生生之谓易”，说明了宇宙生生不息、变化无穷。天地是一个时刻变化的大气场，变化，是事物的表象，在变化的背后有着一根无形的“链”，左右着事物变化的方向。课堂教学中同样有这样的链，影响着事物发展的变化和方向。课堂教学是需要遵循学生的身心特点和技能形成的一般规律，对教学过程中相互联系的各个部分作出整体安排，形成一个链式思维教学，以此发展学生的思维能力，提高学生的学科素养。“以思维品质的提升促进学生的学科素养提高”是链式思维教学的核心，也是数学教育的价值追求。当然，思维品质不单单指逻辑思维，而是有着更广泛的含义。正如柏拉图所指出的“哲学家也要学数学，因为他必须跳出淡如烟海的万变现象而抓住真正的实质……”因此，在数学教学实践中应始终关注数学这个本质特征，避免单纯追求数学知识的倾向，而是要注重思维品质的提升。
学生的思维发展过程表现为：发散思维-归纳思维-统摄思维-批判思维-更高层次的发散思维。链式思维教学注重思维活动的逻辑起点，并由此层层推进，抓住思维规律，多角度辐射、多方位归纳、多路径延展和多学科融通安排教学，赋予学生一个完整的学习路径，形成一个链条，完整建构知识，发展思维。
一、 多角度辐射问题
数学知识是相互联系的，一节课中的知识点之间有联系，新知与旧知之间也有联系，但不能因为知识是一个链，思维就得走直线，还需有辐射思维，从不同的角度、不同的侧面去观察、思考、想象，打破常规思维模式，提出新的创见。课堂教学需要给学生充足的时间探究，才会产生不同角度的思考，学力才会在自主探究中变得强劲。
例如，教学梯形的面积时，笔者让学生回忆以前学过的推导图形面积的方法，共同理出一条研究的路线：转化成学过的图形再求面积；接着教师给足学生时间，含英咀华，学生不仅会探究出用两个完全一样的梯形，拼成一个平行四边形，顺利推导出了梯形的面积，还出现以下4种不同的剪拼方法，推导梯形的面积。（见图1）
在适当巩固练习后，对单元知识进行整理，（见图2）异中求同，纵横沟通，形成知识体系。
该案例围绕转化这一思维策略展开学习，引导学生用“运动视角”寻找关联，寻找解决问题的多种方法。之后，又实现了以“点”的知识为牵引，达到了“面”知识的梳理，实现了平面图形面积计算相关知识的增值。同时，发散了思维，拓展了思维的广度，最终使学生的综合能力得到结构化发展。这样的学习会让学生体会到思维方法的价值和作用，使思维超越知识，在学习中得到最充分的运用与彰显。这是链式教学在思维发展水平上的第一层次表现：发散思维的培养。
二、 多方位归纳知识
思维的发展在操作层次上表现为：动作把握—图像把握—文字把握。数学研究的主要对象是不变的“数量关系”和固定“空间形式”，“数”与“形”是分开研究的。链式思维教学需要通过合理的方式帮助学生打通“数”与“形”的通道，将“数”与“形”结合，巧妙地融通，引发学生思考。思维在归纳抽象中更理性。
例如《小数的初步认识》教学，教师用课件首先出示一元硬币图，将一元硬币花纹隐去，用圆形表示1元，要求学生把1元平均分成10分，说出其中的1份表示多少钱？其次，用10张1角纸币拼成一个长方形，多少角是1元？10角是几分之几元？写成小数是多少元？如果涂色2份，可以表示多少元？如果这个长方形表示的是1米，涂色部分是2份，表示多少米？再次，将长方形变细成一条线段，如果这条线段表示1元又该怎样分？有了操作初步的感悟，最后将分好的圆形、长方形和线段，放在一起对比，找出相同之处。学生就此顺利归纳出小数的意义：这些图形都是平均分成了10份，十分之几可以用小数来表示。
这个教学片段中学习的是数，教师稍作处理操作材料，让图形成为学生分析、思辨的对象，利用数与形的特殊關系，丰富学生认知，从而让他们的目光更敏锐、智慧更通达，这样在数与形呈现中、变化中、关联中学习，从动作、图像和语言等多方位归纳小数的意义，在直观和抽象的穿梭中发现本质，理解概念。这就是链式思维教学在思维发展水平上的第二层次的表现：归纳思维的训练。
三、 多路径延展能力
思维是人脑对事物的间接概括的反应，思维活动的逻辑起点是通过感知这个媒介对知识进行处理。教师组织教学要与唤起学生的知识、经验，充分感知事物，以思维的延展和变通，增强学生思维的深刻性。让学生头脑中知识结构的变化催生思维方式的变化，敢于交流想法，让学生的思想在交流碰撞中变得深邃。
例如在“长方体的认识”教学中，首先小组探索长方体的特征：不少学生通过观察和数，知道了长方体有6个面，相对的面相等，有8个顶，12条棱。侧重于思维的严密性训练，追问：除了数，你还有其他的证明方法吗？学生拿出长方体模型解释，用面的个数推理棱和顶点的个数；棱是在相交的两个面上，可以用面的个数推理出棱的条数，长方体6个面，每个面有4条边，共有4×6=24（条），每条棱是两个面共有，所以除以2，等于12条。顶点是3个面的交点，每个面有4个角（顶点），4×6÷3=8（个），顶点就是8个。最后，通过阅读材料，简单多面体，如果用V表示顶点数，E表示棱数，F表示面数，那么V F=E 2，这就是拓扑学普遍使用的定理——欧拉定理。皮亚杰认为，概念的形成正是基于知觉材料与超越知觉范围的逻辑数学结构的结合。这里通过推理，学生探索出了长方体各元素之间的隐秘关系，深入理解了图形的特征，学生的理性思维得到了训练，实现了直观几何、实验几何与论证几何的结合。学生以后在解决问题时，思维常常会不拘一格地朝着多种方向去探寻各种不同的方法，而在同样的情况下，思维也常常“从所给予的信息中产生逻辑的结论”。这是思维链式教学在思维发展水平上的第三层次的表现：统摄思维的展现。 四、 多领域融合素养
荷兰数学教育家费赖登塔尔在《作为教育任务的数学》一书中阐述了数学教学应教给学生充满着联系的数学，不仅要实现数学内部的联系，而且要让数学与外部世界联系、统一。因此，小学数学教学要着眼于儿童整体素养的提升，关注并改善影响儿童数学素养形成各要素之间内在的联系，通过适切的学习资源的提供、学习活动的组织、学习结果的评价，强调各领域学科知识的融通与联结，以整体的视角、结构的方式链接课外知识，智慧在链接分享中变得灵动。
例如，学过圆柱的体积，笔者让学生测量校园里一棵树的体积，学生用软尺量出树干的周长，计算出树干横截面的面积，接着测量出树干的高度，用横截面积乘树高计算体积，但树有那么多粗细不等的树枝，体积的测算太麻烦。这时链接阅读任务材料：一棵树长到一定高度就开始分叉，长出几根枝丫，每根枝丫又继续分叉成几根小枝丫……树木的这种倒锥形生长方式对于我們来说都不陌生，但恐怕很少有人注意到其中的“数学”，早在15世纪，画家达·芬奇发现：一棵树在任何一个高度，其所有树枝的横截面积之和是不变的。学生读了上述生物知识，感叹：大自然真奇妙！很快解决了数学问题：只要在树的根部量出它的横截面积，再乘它的高就可以了。这时，还有学生提议我们不能迷信权威，这个方法只能测量一棵未经过修剪的树，像旁边这棵经过修剪的雪松，我觉得需要从树的腰部测量出树围，测算横截面积。美国著名数学史家克莱因认为，数学是一种精神，一种理性精神。因此，学习中要培养学生独立思考、勇于批判、求异质疑的精神。上述教学中这种任务链接不仅有效地激发了学生的好奇心，还培养了学生的批判性思维能力。学生以整体联系的眼光来进行学习与思考，促进学科内与学科间知识的联通与整合，以批判的眼光使用知识。这就是思维链式教学在思维发展水平上的第四层次的表现：批判思维的展现。
当下我国的教育全面落实“创新、绿色、协调、开放、共享”五大理念，全力提升学生的核心素养。其实，提升核心素养的落脚点在课堂。相信在链式思维教学价值引领下，让学生以整体和联系的眼光来进行学习与思考，在头脑中形成清晰、完整的网状认知结构，从而牢固地掌握必备的知识，在此基础上实现自身关键能力与必备品格的多重发展。而这正是核心素养理念的落实下的数学课堂教学的本然。
参考文献：
[1]冯克诚.（战国）孔伋思孟学派教学思想与《学记》解读[M].北京：中国环境科学出版社，2006.
[2]王子兴.数学方法论[M].长沙：中南大学出版社，2002.
[3]弗赖登塔尔著，陈昌平，唐瑞芬编译.作为教育任务的数学上海教育出版社[M].上海：上海教育出版社，1995.
作者简介：
李冬芳，小学高级教师，江苏省扬州市，江苏省扬州市三元桥小学。