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一、知识要点
1．两个基本定理
正弦定理：
[asinA=bsinB=csinC=2R(R]为[△ABC]外接圆的半径）.
余弦定理：
[b2+c2-a2=2ac cosA] [cosA=b2+c2-a22bc]
[c2+a2-b2=2ac cosB][cosB=c2+a2-b22ca]
[a2+b2-c2=2abcosC][cosC=a2+b2-c22ab]
2．三角形的面积
设[△ABC]的面积为[S]，则：
（1）[S=12aha=12bhb=12chc]
[=12acsinB=12bcsinA=12absinC．]
（2）[S=abc4R=2R2sinAsinBsinC]
[=pr=p(p-a)(p-b)(p-c)]
（其中[p]为[△ABC]的周长的一半，[r]为[△ABC]内切圆半径）[．]
3．几个常用的结论
（1）在[△ABC]中，[sinA>sinB⇔a>b⇔A>B⇔][cosA （2）在[△ABC]中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
（3）在[△ABC]中，三边[a、b、c]成等差数列，则 [a+c=2b．] [sinA+sinC=2sinB．]
二、易错点提醒
1．在运用正弦定理解决“已知两边和其中一边的对角，解三角形”问题时，要注意对解的个数的判断.这是同学们学习这部分内容的最大难点和易错点．
2．在处理三角形中的三角函数的求值、证明问题时，要注意角的范围对三角函数值的影响，避免造成增解或漏解. 如在[△ABC]中，[sinA=12]，[A=π6]或[π-π6].
3．恰当选用正、余弦定理解决问题，简化运算过程，提高解题速度，用方程的观点去认识余弦定理，一般地，凡能用正弦定理解决的问题也可用余弦定理解决，但有时要复杂些．
4．在解三角形时，要注意把平面几何中的性质、定理与正、余弦定理结合起来，挖掘题目中的隐含条件，并结合三角形的有关性质，注意数形结合，灵活地进行边角互化从而使问题顺利解决．
5．向量也是解三角形的武器之一．
三、典型例题
例1 在[△ABC]中，[bcosA=acosB]，试判断[△ABC]的形状．
解法一：（利用余弦定理的推论将角转化为边）
∵[bcosA=acosB]，
∴[b⋅b2+c2-a22bc=a⋅a2+c2-b22ac]，
∴[b2+c2-a2=a2+c2-b2]，∴[a2=b2].
∵[a>0,b>0]，∴[a=b]，
∴[△ABC]是等腰三角形.
解法二：（利用正弦定理的推论将角转化为边）
∵[bcosA=acosB]，又由正弦定理，
[b=2RsinB,a=2RsinA]，
∴[2RsinBcosA=2RsinAcosB]，
∴[sinBcosA-sinAcosB=0]，
∴[sin(A-B)=0].
又[0 ∴[-π ∴[A-B=0]，即[A=B]，
∴[△ABC]是等腰三角形.
方法总结若已知条件既含有边，又含有角，一般用正、余弦定理完成边角转化，化为只含有边或只含有角的式子，然后再求解.
例2在某点[B]处测得建筑物[AE]的顶端[A]的仰角为[θ]，沿[BE]方向前进[30m]，至点[C]处测得顶端[A]的仰角为2[θ]，再继续前进[103m]至[D]点，测得顶端[A]的仰角为4[θ]，求[θ]的大小和建筑物的高[AE]．
解法一：（用正弦定理求解）
由已知可得在[△ACD]中，[AC=BC=30，][AD=DC=103]，[∠ADC=180°][-4θ,]
[∴][103sin2θ]=[30sin(180°-4θ)]，
[sin4θ=2sin2θcos2θ,]
故[cos2θ][=32],得[2θ=30°],[θ=15°]，
[∴]在Rt[△ADE]中，[AE=ADsin60°=15,]故所求角[θ]为[15°]，建筑物高度为15m.
解法二：（设方程来求解）
设[DE=x,AE=h，]
在 Rt[△ACE]中,(10[3+x)2+h2=302.]
在 Rt[△ADE]中,[x2+h2=(103)2]，
两式相减，得[x=53],[h=15]，
故在 Rt[△ACE]中,[tan2θ]=[h103+x]=[33]，
[∴][2θ]=30°,[θ]=15°，
故所求角[θ]为15°，建筑物高度为15m.
解法三：（用倍角公式求解）
设建筑物高为[AE=x，]
由题意，得[∠BAC=θ]，[∠CAD=2θ]，
[AC=BC=30m,][AD=CD=103m]，
在Rt[△ACE]中，[sin2θ]=[x30]，①
在Rt[△ADE]中，[sin4θ]=[x103],②
②÷①，得cos2[θ]=[32],[2θ]=30°,
[θ]=15°，AE=ADsin60°=15.
例3在[△ABC]中，[a]、[b]、[c]分别为内角[A]、[B]、[C]的对边，[2asinA=(2b+c)sinB+(2c+][b)sinC].
（1）求[A]的大小；
（2）求[sinB+sinC]的最大值.
解（1）由已知，根据正弦定理得
[2a2=(2b+c)b+(2c+b)c,]即[a2=b2+c2+bc]，
由余弦定理得[a2=b2+c2-2bc cosA,]
故[cosA=-12]，[A=120∘].
（2）由（1）得[sinB+sinC=sinB+sin(60∘-B)]
[=32cosB+12sinB][=sin(60∘+B)]，
故当[B=30∘]时，[sinB+sinC]取得最大值1.
方法总结 与正弦定理有关的三角函数最值的求法：利用正弦定理弄清三角形中的基本量间的关系，或求出某些基本量；将要求的最值或取值范围的两表示成为某一变量的函数（包括三角函数），从而转化为求函数的最值问题.
1．两个基本定理
正弦定理：
[asinA=bsinB=csinC=2R(R]为[△ABC]外接圆的半径）.
余弦定理：
[b2+c2-a2=2ac cosA] [cosA=b2+c2-a22bc]
[c2+a2-b2=2ac cosB][cosB=c2+a2-b22ca]
[a2+b2-c2=2abcosC][cosC=a2+b2-c22ab]
2．三角形的面积
设[△ABC]的面积为[S]，则：
（1）[S=12aha=12bhb=12chc]
[=12acsinB=12bcsinA=12absinC．]
（2）[S=abc4R=2R2sinAsinBsinC]
[=pr=p(p-a)(p-b)(p-c)]
（其中[p]为[△ABC]的周长的一半，[r]为[△ABC]内切圆半径）[．]
3．几个常用的结论
（1）在[△ABC]中，[sinA>sinB⇔a>b⇔A>B⇔][cosA
（3）在[△ABC]中，三边[a、b、c]成等差数列，则 [a+c=2b．] [sinA+sinC=2sinB．]
二、易错点提醒
1．在运用正弦定理解决“已知两边和其中一边的对角，解三角形”问题时，要注意对解的个数的判断.这是同学们学习这部分内容的最大难点和易错点．
2．在处理三角形中的三角函数的求值、证明问题时，要注意角的范围对三角函数值的影响，避免造成增解或漏解. 如在[△ABC]中，[sinA=12]，[A=π6]或[π-π6].
3．恰当选用正、余弦定理解决问题，简化运算过程，提高解题速度，用方程的观点去认识余弦定理，一般地，凡能用正弦定理解决的问题也可用余弦定理解决，但有时要复杂些．
4．在解三角形时，要注意把平面几何中的性质、定理与正、余弦定理结合起来，挖掘题目中的隐含条件，并结合三角形的有关性质，注意数形结合，灵活地进行边角互化从而使问题顺利解决．
5．向量也是解三角形的武器之一．
三、典型例题
例1 在[△ABC]中，[bcosA=acosB]，试判断[△ABC]的形状．
解法一：（利用余弦定理的推论将角转化为边）
∵[bcosA=acosB]，
∴[b⋅b2+c2-a22bc=a⋅a2+c2-b22ac]，
∴[b2+c2-a2=a2+c2-b2]，∴[a2=b2].
∵[a>0,b>0]，∴[a=b]，
∴[△ABC]是等腰三角形.
解法二：（利用正弦定理的推论将角转化为边）
∵[bcosA=acosB]，又由正弦定理，
[b=2RsinB,a=2RsinA]，
∴[2RsinBcosA=2RsinAcosB]，
∴[sinBcosA-sinAcosB=0]，
∴[sin(A-B)=0].
又[0
∴[△ABC]是等腰三角形.
方法总结若已知条件既含有边，又含有角，一般用正、余弦定理完成边角转化，化为只含有边或只含有角的式子，然后再求解.
例2在某点[B]处测得建筑物[AE]的顶端[A]的仰角为[θ]，沿[BE]方向前进[30m]，至点[C]处测得顶端[A]的仰角为2[θ]，再继续前进[103m]至[D]点，测得顶端[A]的仰角为4[θ]，求[θ]的大小和建筑物的高[AE]．
解法一：（用正弦定理求解）
由已知可得在[△ACD]中，[AC=BC=30，][AD=DC=103]，[∠ADC=180°][-4θ,]
[∴][103sin2θ]=[30sin(180°-4θ)]，
[sin4θ=2sin2θcos2θ,]
故[cos2θ][=32],得[2θ=30°],[θ=15°]，
[∴]在Rt[△ADE]中，[AE=ADsin60°=15,]故所求角[θ]为[15°]，建筑物高度为15m.
解法二：（设方程来求解）
设[DE=x,AE=h，]
在 Rt[△ACE]中,(10[3+x)2+h2=302.]
在 Rt[△ADE]中,[x2+h2=(103)2]，
两式相减，得[x=53],[h=15]，
故在 Rt[△ACE]中,[tan2θ]=[h103+x]=[33]，
[∴][2θ]=30°,[θ]=15°，
故所求角[θ]为15°，建筑物高度为15m.
解法三：（用倍角公式求解）
设建筑物高为[AE=x，]
由题意，得[∠BAC=θ]，[∠CAD=2θ]，
[AC=BC=30m,][AD=CD=103m]，
在Rt[△ACE]中，[sin2θ]=[x30]，①
在Rt[△ADE]中，[sin4θ]=[x103],②
②÷①，得cos2[θ]=[32],[2θ]=30°,
[θ]=15°，AE=ADsin60°=15.
例3在[△ABC]中，[a]、[b]、[c]分别为内角[A]、[B]、[C]的对边，[2asinA=(2b+c)sinB+(2c+][b)sinC].
（1）求[A]的大小；
（2）求[sinB+sinC]的最大值.
解（1）由已知，根据正弦定理得
[2a2=(2b+c)b+(2c+b)c,]即[a2=b2+c2+bc]，
由余弦定理得[a2=b2+c2-2bc cosA,]
故[cosA=-12]，[A=120∘].
（2）由（1）得[sinB+sinC=sinB+sin(60∘-B)]
[=32cosB+12sinB][=sin(60∘+B)]，
故当[B=30∘]时，[sinB+sinC]取得最大值1.
方法总结 与正弦定理有关的三角函数最值的求法：利用正弦定理弄清三角形中的基本量间的关系，或求出某些基本量；将要求的最值或取值范围的两表示成为某一变量的函数（包括三角函数），从而转化为求函数的最值问题.