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摘 要：简述非欧几何的创立——从数学内部矛盾的引发、提出反问题、演绎出一个“不合常理”的体系、证明这个体系和确立非欧几何.在此基础上，阐述其对数学科学研究和数学教育研究的重要意义和影响.
关键词：非欧几何 ；欧氏几何 ；“第五公设”；历程 ；启示
Thediscoveryandtheprocessoftheestablishmentofnon-Euclideangeometryandits’Inspiration
LI Yi， LIN Li-yun
(Department of Mathematics， Zhangzhou Teachers’ College， Zhangzhou 363000，China)
Abstract: This paper describes the creation of non-Euclidean geometry——it causes by the internal contradictions of mathematics 、make a counter question、 deductive a “Irrational” system、 prove this system and establish the non-Euclidean geometry. On this basis， it describes the research’ significance and impact to the mathematics research and mathematics education research.
Key words: non-Euclidean geometry; Euclidean geometry; “The fifth postulate”; process; Inspiration.
非欧几何在数学发展史上具有重要的地位。它打破了欧氏几何的权威，使得几何学得到极大扩展，尤其是将公理化方法表现得淋漓尽致.另外，非欧几何艰难的发现历程同样具有研究的价值.本文尝试重新阐述非欧几何发现的心路历程，力图寻找出发现所面对的困难以及解决所使用的方法论，从而揭示非欧几何创立的完整过程，但不拘泥于细枝末节.在此基础上，结合数学科学研究和数学教育研究，提出一些启示。
1、非欧几何的发现
1、1 “数学发现”与“数学发明”
数学中有发现也有发明.“数学发现”和“数学发明”两个词义中蕴含着一种认识规律和利用规律的辩证唯物主义的原理，是同一连续体的不同阶段，是不可分割的。“‘发现’的过程也就是认识规律的过程”，“而‘发明’则是利用规律这一过程了”。另一方面，在发现过程中渗透着发现主体的理解与思维创造，发明要以发现为先导。数学发现再现了本来就独立于发现者而存在于外部世界中的数形及其关系，如 ，三角形内角和为 ，等；数学发明创造了原先不存在的数形及其关系，如数字 ，对数的发明等。
1、2非欧几何的发现——数学内部矛盾的引发
非欧几何是相对于欧氏几何来说的，直接起源于欧氏几何中的一个“瑕疵”——“第五公设”的不可证明.从希腊时代到世纪末，数学家们一直沿着用更为自明的命题来代替“第五公设”和从其他几个公理或公设推导“第五公设”这两个途径来解决这个“瑕疵”，但始终未能解决.直至世纪中叶，意大利数学家萨凯里、瑞士数学家兰伯特等的研究才出现有意义的进展。而非欧几何的正式诞生应归功于罗巴切夫斯基、高斯和鲍耶等。欧氏几何体系与非欧几何体系是相容的，欧氏几何是非欧几何的一种极限形式，是一个独立于发现者而存在于外部世界的几何模式.因此，非欧几何的诞生主要是一种数学发现。
2、非欧几何建立的心路历程
2、1提出反问题——对立假设
在发现与创立非欧几何的三个人中，罗巴切夫斯基的工作最为完善。实际上，数学命题如果能从正面得到证明，那么利用反证法也可以得到证明，但如果从正面较难证明，那么利用反证法或许比较容易。罗巴切夫斯基正是意识到了这一点而走了一条全新的路子——运用了数学中的反证法来证明“第五公设”。因为从欧氏几何提出到世纪初的多年中，数学家们提出的各种“第五公设”的证明都是错误的，他们都在证明中默认了一条与“第五公设”相互等价的命题。而按照反证法的思想，必须提出一个与“第五公设”相对的反问题，即对立假设，来代替“第五公设”并进行演绎推理，如果出现矛盾，就等于证明了“第五公设”。通常意义的非欧几何，是指罗氏几何（双曲几何）和黎曼几何（椭圆几何）这两种几何，但这两种体系中所提出的对立假设并不相同，罗氏几何中把欧氏几何“第五公设”用“从直线外一点，至少可以做两条直线和这条直线平行”来代替，而黎曼几何用“过直线外一点，不能做直线和已知直线平行”。
值得注意的是高斯和鲍耶发现非欧几何也用了相同的方法，高斯年起研究“第五公设”问题，开始尝试直接证明遭失败而认为直接证明不可能实现，年起他以否定“第五公设”为出发点，最终使他确信“第五公设”的不可证明，并称得到了一种其先后所称的“反欧几里得几何”、“星空几何”和“非欧几何”的新几何.鲍耶岁时在父亲“不要再做克服平行公理的尝试”的劝告下毅然坚持，将“第五公设”换成它自身的否定，从“三角形内角和小于”这一“荒唐”的假设出发，发现了非欧几何。
2、2演绎出“不合常理”的体系
逻辑上互不矛盾的一组假设提供了欧氏几何学。欧氏几何诞生后，人们恪守这个科学严密化的准则——公理化方法。在替换“第五公设”后，有了基本定义、个公理和个公设后，依据逻辑演绎的方法得到了一些离奇古怪，并与人们的经验格格不入的命题，如三角形内角和小于；过不在同一直线上的三点，不一定能做一个圆，等。由于只是改变了欧氏几何的“第五公设”，其它的不变，那么原则上，替换后演绎的体系是一个和欧氏几何同样丰富的体系。另外，新体系并不是完全不同于欧氏几何体系的，基本的差异只是限于“第五公设”。因此，凡是与“第五公设”无关的欧氏几何定理，在新体系也是不变的，如一个三角形的两边相等，则两对应角可以叠合，等；与人们经验格格不入的那些命题则是涉及到“第五公设”的。虽然无论是罗巴切夫斯基，鲍耶，还是高斯都得到了这些命题，但是高斯害怕这种理论会遭到当时教会力量的打击和迫害，不敢公开发表自己的研究成果。罗巴切夫斯基和鲍耶敢于破除权威，坚信自己的工作。特别是罗巴切夫斯基的学说发表后，很多权威都视其为“邪说”、“伪科学”和“笑话”等，德国诗人歌德更是说：有几何兮，名曰：“非欧”，自己嘲笑，莫名其妙！因此，面对权威的压力，坚持是需要多么巨大的勇气！
2、3新体系的证明
无论是罗氏几何还是黎曼几何，在得到一些“不合常理”的命题之后，都需要考虑一个问题——存在性问题，即这些命题是否成立.在求证的道路上，出现过三种证明的方法。第一种方法为欧几里得法。因为一开始人们注意到欧几里得的《原本》向人们建议了一种认识真理的方法：从少数几条明白清楚的前提出发，用逻辑工具证明你的结论。如果前提是真理，则结论也是真理.也就是说若要证明新体系的存在，只要证明导致新体系的哪些定义，公理和公设的正确性即可。定义和公理都不容置疑，问题在于公设上。所以根本的问题就是：怎样知道新体系的公设是真的呢？与此相似的一个问题是：怎样知道欧氏几何的公设是真的呢？多年来人们几乎一致认为欧氏几何的公设是真的，原因是公设来自于人类理性的先天洞察力。的确没有人怀疑欧氏几何公设的正确性，但是问题是新体系的公设是来自人类理性先天的洞察力吗？不是，如果是，替换后的“第五公设”就不再是“不合常理”了。从而也无法证明那些“不合常理”的命题了。
关键词：非欧几何 ；欧氏几何 ；“第五公设”；历程 ；启示
Thediscoveryandtheprocessoftheestablishmentofnon-Euclideangeometryandits’Inspiration
LI Yi， LIN Li-yun
(Department of Mathematics， Zhangzhou Teachers’ College， Zhangzhou 363000，China)
Abstract: This paper describes the creation of non-Euclidean geometry——it causes by the internal contradictions of mathematics 、make a counter question、 deductive a “Irrational” system、 prove this system and establish the non-Euclidean geometry. On this basis， it describes the research’ significance and impact to the mathematics research and mathematics education research.
Key words: non-Euclidean geometry; Euclidean geometry; “The fifth postulate”; process; Inspiration.
非欧几何在数学发展史上具有重要的地位。它打破了欧氏几何的权威，使得几何学得到极大扩展，尤其是将公理化方法表现得淋漓尽致.另外，非欧几何艰难的发现历程同样具有研究的价值.本文尝试重新阐述非欧几何发现的心路历程，力图寻找出发现所面对的困难以及解决所使用的方法论，从而揭示非欧几何创立的完整过程，但不拘泥于细枝末节.在此基础上，结合数学科学研究和数学教育研究，提出一些启示。
1、非欧几何的发现
1、1 “数学发现”与“数学发明”
数学中有发现也有发明.“数学发现”和“数学发明”两个词义中蕴含着一种认识规律和利用规律的辩证唯物主义的原理，是同一连续体的不同阶段，是不可分割的。“‘发现’的过程也就是认识规律的过程”，“而‘发明’则是利用规律这一过程了”。另一方面，在发现过程中渗透着发现主体的理解与思维创造，发明要以发现为先导。数学发现再现了本来就独立于发现者而存在于外部世界中的数形及其关系，如 ，三角形内角和为 ，等；数学发明创造了原先不存在的数形及其关系，如数字 ，对数的发明等。
1、2非欧几何的发现——数学内部矛盾的引发
非欧几何是相对于欧氏几何来说的，直接起源于欧氏几何中的一个“瑕疵”——“第五公设”的不可证明.从希腊时代到世纪末，数学家们一直沿着用更为自明的命题来代替“第五公设”和从其他几个公理或公设推导“第五公设”这两个途径来解决这个“瑕疵”，但始终未能解决.直至世纪中叶，意大利数学家萨凯里、瑞士数学家兰伯特等的研究才出现有意义的进展。而非欧几何的正式诞生应归功于罗巴切夫斯基、高斯和鲍耶等。欧氏几何体系与非欧几何体系是相容的，欧氏几何是非欧几何的一种极限形式，是一个独立于发现者而存在于外部世界的几何模式.因此，非欧几何的诞生主要是一种数学发现。
2、非欧几何建立的心路历程
2、1提出反问题——对立假设
在发现与创立非欧几何的三个人中，罗巴切夫斯基的工作最为完善。实际上，数学命题如果能从正面得到证明，那么利用反证法也可以得到证明，但如果从正面较难证明，那么利用反证法或许比较容易。罗巴切夫斯基正是意识到了这一点而走了一条全新的路子——运用了数学中的反证法来证明“第五公设”。因为从欧氏几何提出到世纪初的多年中，数学家们提出的各种“第五公设”的证明都是错误的，他们都在证明中默认了一条与“第五公设”相互等价的命题。而按照反证法的思想，必须提出一个与“第五公设”相对的反问题，即对立假设，来代替“第五公设”并进行演绎推理，如果出现矛盾，就等于证明了“第五公设”。通常意义的非欧几何，是指罗氏几何（双曲几何）和黎曼几何（椭圆几何）这两种几何，但这两种体系中所提出的对立假设并不相同，罗氏几何中把欧氏几何“第五公设”用“从直线外一点，至少可以做两条直线和这条直线平行”来代替，而黎曼几何用“过直线外一点，不能做直线和已知直线平行”。
值得注意的是高斯和鲍耶发现非欧几何也用了相同的方法，高斯年起研究“第五公设”问题，开始尝试直接证明遭失败而认为直接证明不可能实现，年起他以否定“第五公设”为出发点，最终使他确信“第五公设”的不可证明，并称得到了一种其先后所称的“反欧几里得几何”、“星空几何”和“非欧几何”的新几何.鲍耶岁时在父亲“不要再做克服平行公理的尝试”的劝告下毅然坚持，将“第五公设”换成它自身的否定，从“三角形内角和小于”这一“荒唐”的假设出发，发现了非欧几何。
2、2演绎出“不合常理”的体系
逻辑上互不矛盾的一组假设提供了欧氏几何学。欧氏几何诞生后，人们恪守这个科学严密化的准则——公理化方法。在替换“第五公设”后，有了基本定义、个公理和个公设后，依据逻辑演绎的方法得到了一些离奇古怪，并与人们的经验格格不入的命题，如三角形内角和小于；过不在同一直线上的三点，不一定能做一个圆，等。由于只是改变了欧氏几何的“第五公设”，其它的不变，那么原则上，替换后演绎的体系是一个和欧氏几何同样丰富的体系。另外，新体系并不是完全不同于欧氏几何体系的，基本的差异只是限于“第五公设”。因此，凡是与“第五公设”无关的欧氏几何定理，在新体系也是不变的，如一个三角形的两边相等，则两对应角可以叠合，等；与人们经验格格不入的那些命题则是涉及到“第五公设”的。虽然无论是罗巴切夫斯基，鲍耶，还是高斯都得到了这些命题，但是高斯害怕这种理论会遭到当时教会力量的打击和迫害，不敢公开发表自己的研究成果。罗巴切夫斯基和鲍耶敢于破除权威，坚信自己的工作。特别是罗巴切夫斯基的学说发表后，很多权威都视其为“邪说”、“伪科学”和“笑话”等，德国诗人歌德更是说：有几何兮，名曰：“非欧”，自己嘲笑，莫名其妙！因此，面对权威的压力，坚持是需要多么巨大的勇气！
2、3新体系的证明
无论是罗氏几何还是黎曼几何，在得到一些“不合常理”的命题之后，都需要考虑一个问题——存在性问题，即这些命题是否成立.在求证的道路上，出现过三种证明的方法。第一种方法为欧几里得法。因为一开始人们注意到欧几里得的《原本》向人们建议了一种认识真理的方法：从少数几条明白清楚的前提出发，用逻辑工具证明你的结论。如果前提是真理，则结论也是真理.也就是说若要证明新体系的存在，只要证明导致新体系的哪些定义，公理和公设的正确性即可。定义和公理都不容置疑，问题在于公设上。所以根本的问题就是：怎样知道新体系的公设是真的呢？与此相似的一个问题是：怎样知道欧氏几何的公设是真的呢？多年来人们几乎一致认为欧氏几何的公设是真的，原因是公设来自于人类理性的先天洞察力。的确没有人怀疑欧氏几何公设的正确性，但是问题是新体系的公设是来自人类理性先天的洞察力吗？不是，如果是，替换后的“第五公设”就不再是“不合常理”了。从而也无法证明那些“不合常理”的命题了。