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数学是思维活动的学科，如果数学课堂只是追求知识的获取，而忽视思维发展这一核心，无疑是舍本求末。2011年版《义务教育数学课程标准》指出：“有效的数学学习活动不能单独地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学习数学的重要方式。”而思维训练与发展往往需要借助情境、通过问题的提出和解决，让学生主动探究，发现数学的内在规律，认识和理解数学的本质。下面笔者以苏科版教学九年级下册“二次函数与一元二次方程”的教学为例，探讨以问题驱动促进学生思考，通过类比等途径的探索发展学生的思维能力，促进数学素养的养成。
一、教材与学情简析
1.教材分析：本节课是在学生了解了一次函数与一元一次方程、一元一次不等式以及二元一次方程组之后，通过探讨二次函数与一元二次方程的关系，再次展示函数与方程之间的联系。理解二次函数与x轴交点的个数和一元二次方程的根的关系，理解一元二次方程的根的个数和二次函数的图像与x轴的交点个数之间的关系。这样的安排一方面可以强化学生对一元二次方程的认识，另一方面可以运用二次函数解决一元二次方程的有关问题，为后续学习实际问题与二次函数相关知识做好铺垫，起着承上启下的作用。利用函数图像研究方程的根，是培养学生几何直观的重要途径。
2.学情分析：在八年级下学期相关课程内容的学习中，学生通过一次函数与方程、不等式的学习，已经初步建立方程模型与函数模型的联系。在九年级上学期相关内容的学习中，学生已经分别学习了一元二次方程、二次函数，知道它们都是刻画现实问题中数量关系的重要模型，但没有建立这些知识之间的有效联系。同时，二次函數与一元二次方程之间的联系看似简单，但想要用简洁的语言归纳出来并非易事。
3.制订目标：基于上述分析，本课所要学习的二次函数与一元二次方程之间的关系可以利用类比的方法，让学生在问题探究的基础上进行合作学习。这样处理可以让学生在经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程中培养探索能力和创新精神。因此，笔者制订如下学习目标：（1）会用对立统一的辩证观点，把一元二次方程ax2+bx+c=0的问题转化为相应的二次函数y=ax2+bx+c的相关问题，经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程;（2）能根据二次函数图像与x轴的位置关系判断相应的一元二次方程的根的有关问题;（3）通过探索函数与方程的关系，感受“数形结合”思想，培养从特殊到一般、从静态到动态以及类比推理的探究能力和创新精神。
学习重点：经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系。
学习难点：体会函数与方程的相互转化，数形结合的思想方法，学会用数形结合的方法解决问题。
基于上述对本节课教学内容与学情的分析，笔者对本节课进行了优化设计。
二、教学过程摘录
1.寻求生长点，让问题自然发生。
教师：对于方程x+2=0，你能求出它的解吗？你能从“形”的角度解释这个方程的根的意义吗？
学生：……
教师：“形”一般指的是图形、图像。说到图像，我们会联想到某一个函数，那么看到这个方程，大家会联想到哪个函数呢？我们又该如何从“形”的角度来解释这个方程的根的意义呢？
学生1：我联想到一次函数y=x+2，方程x+2=0的根就是一次函数y=x+2的图像与x轴的交点的横坐标。
教师：太棒了！我们已经发现了一次函数与一元一次方程之间存在着紧密的联系，这是我们在之前学习中获得的经验，它能否给我们现在的学习带来新的思维火花呢？我们已经学习了二次函数的定义、图像与性质，那么我们还可以探究二次函数哪方面的内容呢？
学生2：我们可以研究二次函数与一元二次方程的关系。
教师：是的，我们今天就一起来研究二次函数与一元二次方程。
【设计意图】通过已有的学习经验，类比启发新的思维。即通过复习一次函数与一元一次方程的关系，从而启发学生类比二次函数与一元二次方程的关系。教师给出一元一次方程，而没有直接给出一次函数，目的是激活学生已有的解决问题的经验，从学生的知识起点出发，巧妙诱发学生自觉想、主动问的思维方式，激发学生的学习潜能。
2.问题探究，让难点自然解决。
教师：二次函数与一元二次方程之间到底存在什么样的联系呢？同学们能否大胆猜想呢？
学生3：我猜想一元二次方程的根是二次函数图像与x轴的交点的横坐标。
教师：你是怎么产生这样的想法的呢？
学生3：根据一次函数与一元一次方程的关系类比猜想出来的。
……
教师：请同学们以如下三个函数为例验证一下。
1.y=-[12]x2-4x-6;2.y=x2-6x+9;3.y=x2-2x+3。
学生觉得都是成立的。然后教师引导学生对结论一般化，得出如下结论：
二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点。当二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴有交点时，交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值，即一元二次方程ax2+bx+c=0的根。
【设计意图】教师提出了一个巧妙的问题，引发学生思考、回答，再通过追问，让学生通过类比猜想、探究与验证，进行深入思考，获得了一个二次函数的图像与一元二次方程根的关系的重要结论。
3.知识迁移，让能力自然提升。
教师：对于方程x2+2x-3=-4，你能不解方程直接说出它的根吗？
学生4：从二次函数y=x2+2x-3的图像与直线y=-4的交点的横坐标，看出方程的解是x1=x2=-1。
教师：已知函数y=x2+2x-3的图像，你能设计一些问题吗？
学生5：可以设计问题为，已知方程x2+2x-3=-5，你能不解方程直接说出它的根吗？ 学生6：函数y=x2+2x-3的图像与直线y=-5没有交点，所以此方程无实数根。
教师：能否将这个问题一般化？对于方程x2+2x-3=k，如果方程有实数根，k的取值范围是什么？
学生7：因为函数图像与直线y=-4只有一个公共点，直线y=-4以下的直线与抛物线都没有公共点，所以k≥-4。
教师：如果直线与x轴不平行，那么它与抛物线的交点问题怎么解决呢？
学生8：把直线的函数表达式与抛物线的函数表达式联立方程组，解出这个方程组，就可以得出交点的橫坐标。
教师：很棒！有了这个经验，以后我们还可以解决二次函数图像与反比例函数图像的交点、二次函数图像与二次函数图像的公共点等一系列问题啦！
【设计意图】从方程x2+2x-3=-4到方程x2+2x-3=k，学生经历了从特殊到一般的过程，学会用运动的眼光看待问题。学生学会寻找变化中的不变量，即函数图像与直线的交点情况。笔者在这里设计开放性问题，预设学生能类比迁移刚刚学习的经验，自主发现和提出问题，分析并解决问题，使学生的探究能力得到发展。最后，笔者再拓展到二次函数图像与反比例函数图像的交点等一系列问题，体现整体教学观，突破单个知识点的教学边界，让思维一以贯之，体现自然延续与生长。
三、教学思考与感悟
1.对课堂引入的冷思考。
一节课的序曲首先表现在导入情境的创设上。美国心理学家布鲁纳认为，在教学过程中，教师的作用是要形成一种使学生能够独立探究的情境，而不是提供现成的知识。对于本节课的情境，教师通常是先给出一个二次函数，请学生画图像并说出图像与x轴的交点坐标，再给出一个一元二次方程，请学生求出方程的解。随后，教师请学生说出图像与x轴的交点坐标与相应的方程的解之间的关系。这样的设计删去了细枝末节，直奔主题，看似简洁高效，实则忽视了数学课堂的一个重要价值——培养学生的探究能力。教师越俎代庖，把要研究的对象直接明了地告知学生，学生的思维被一下子框定在预设范围之内，被教师牵着鼻子走。因此，把思维训练的机会还给学生，显得尤为重要。基于此，需要改变学习方式，寻找教学突破口，从学生已有的学习经验入手。章建跃博士说：“研究对象在变，‘研究套路’不变，思想方法不变，这就是数学基本思想、数学基本活动经验的力量。”基于这一思考，笔者通过聊天的方式把学生的思绪拉到了对一次函数与一元一次方程相关学习内容的认知当中，通过已有的学习经验，类比启发新的思维，也激发了学生的求知欲。这样的设计看似比传统教学“浪费”时间，但从长远角度看，以“慢”促思，发展学生的思维，花这个时间是值得的。
2.对真实自主探究的再认识。
自古以来，数学问题的提出和解决是推动数学发展的重要力量。数学学习中，学生能自发地提出一个有价值的问题是难能可贵的。“发现问题”和“提出问题”能力的培养是课堂教学的重中之重，也是提升思维的重要途径。只有教师有意识地沿着学生的思维轨迹去因势利导，学生才能于平常的课堂学习中体悟到数学思维的方法与魅力。面对“一元二次方程的根就是相应的二次函数图像与x轴交点的横坐标”这一结论，传统教学中教师大多直接引导学生观察二次函数的图像和相应的一元二次方程的根，学生迅速得知结论，赢得更多的时间进行相关练习。这样教学，短期效果是不错的，但从长远来看，学生失去了自主探究发现的机会，探究能力难以得到发展。因此，笔者认为教师应当合理地选择能激活学生已有解决问题经验的素材，从学生的知识起点出发，巧妙诱发学生自觉想、主动问的思维方式，学生的学习潜能才能得以激发。教师让学生通过自主探究、合作学习来主动发现问题，提出和解决问题，使他们能够在独立思考与合作学习交流中解决学习中的问题，从而学会学习和思考。教师营造了一个思维场，让学生的思维活跃、自然扩张。
3.对数学思维形成过程的再设计。
数学教育不仅仅是把数学知识传授给学生，更是通过数学教学让学生学会用数学的眼光看待问题，用数学的思维理性思考问题，促进深度学习，这将使学生终身受益。然而目前的课堂教学，教师在数学思想方法的渗透与传递过程中往往缺乏必要的教学侧重，对教学重点、难点的思辨大多停留在知识与技能层面，对于“数学思考”“问题解决”“情感态度价值观”等隐性的更高阶的教学目标，往往缺乏必要的轻重权衡与取舍思辨。数学教育家波利亚指出：“学习任何东西，最好的途径是自己去发现。”直接告诉学生知识，可以让学生在短时间内获得更多知识，但很难让学生得到“如何思考”的智慧。拉长知识形成过程，让学生经历“操作—猜想—验证”的过程，其中，鼓励学生大胆猜想，教师及时追问，设计开放性问题等，都是发展学生思维的重要元素，而且让学生在“慢”中获得真实体验，对学生而言，这样的体验最终将会转化为学生认识世界的智慧。快餐式的学习，删减了问题探究的历程，制约了学生的深度思考，阻碍了学生思维的发展。
在我们周围不乏这样的现象：教师不点不会，一点学生马上就恍然大悟。其实这正是学生数学素养低、数学能力差的表现。要改变这种现象，就需要拉长思维过程，让学生自己先想、先做，放手让他们主动去探究;让学生围绕课堂核心问题不断自我建构，类比迁移已有的学习经验，分析问题并解决问题，进行深层次思考，不断提升自己的思维水平。在课堂教学中，教师要把发现问题的机会，分析、解决问题的机会让给学生，让他们有足够的时间去消化与积累，在看似“慢速”的课堂进程中，顿悟式地“快速”感悟数学思想，让学生在适当的节奏中去体验数学的本真，实现数学思维的自然生长。
（作者单位：江苏省无锡市蠡园中学）
一、教材与学情简析
1.教材分析：本节课是在学生了解了一次函数与一元一次方程、一元一次不等式以及二元一次方程组之后，通过探讨二次函数与一元二次方程的关系，再次展示函数与方程之间的联系。理解二次函数与x轴交点的个数和一元二次方程的根的关系，理解一元二次方程的根的个数和二次函数的图像与x轴的交点个数之间的关系。这样的安排一方面可以强化学生对一元二次方程的认识，另一方面可以运用二次函数解决一元二次方程的有关问题，为后续学习实际问题与二次函数相关知识做好铺垫，起着承上启下的作用。利用函数图像研究方程的根，是培养学生几何直观的重要途径。
2.学情分析：在八年级下学期相关课程内容的学习中，学生通过一次函数与方程、不等式的学习，已经初步建立方程模型与函数模型的联系。在九年级上学期相关内容的学习中，学生已经分别学习了一元二次方程、二次函数，知道它们都是刻画现实问题中数量关系的重要模型，但没有建立这些知识之间的有效联系。同时，二次函數与一元二次方程之间的联系看似简单，但想要用简洁的语言归纳出来并非易事。
3.制订目标：基于上述分析，本课所要学习的二次函数与一元二次方程之间的关系可以利用类比的方法，让学生在问题探究的基础上进行合作学习。这样处理可以让学生在经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程中培养探索能力和创新精神。因此，笔者制订如下学习目标：（1）会用对立统一的辩证观点，把一元二次方程ax2+bx+c=0的问题转化为相应的二次函数y=ax2+bx+c的相关问题，经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程;（2）能根据二次函数图像与x轴的位置关系判断相应的一元二次方程的根的有关问题;（3）通过探索函数与方程的关系，感受“数形结合”思想，培养从特殊到一般、从静态到动态以及类比推理的探究能力和创新精神。
学习重点：经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系。
学习难点：体会函数与方程的相互转化，数形结合的思想方法，学会用数形结合的方法解决问题。
基于上述对本节课教学内容与学情的分析，笔者对本节课进行了优化设计。
二、教学过程摘录
1.寻求生长点，让问题自然发生。
教师：对于方程x+2=0，你能求出它的解吗？你能从“形”的角度解释这个方程的根的意义吗？
学生：……
教师：“形”一般指的是图形、图像。说到图像，我们会联想到某一个函数，那么看到这个方程，大家会联想到哪个函数呢？我们又该如何从“形”的角度来解释这个方程的根的意义呢？
学生1：我联想到一次函数y=x+2，方程x+2=0的根就是一次函数y=x+2的图像与x轴的交点的横坐标。
教师：太棒了！我们已经发现了一次函数与一元一次方程之间存在着紧密的联系，这是我们在之前学习中获得的经验，它能否给我们现在的学习带来新的思维火花呢？我们已经学习了二次函数的定义、图像与性质，那么我们还可以探究二次函数哪方面的内容呢？
学生2：我们可以研究二次函数与一元二次方程的关系。
教师：是的，我们今天就一起来研究二次函数与一元二次方程。
【设计意图】通过已有的学习经验，类比启发新的思维。即通过复习一次函数与一元一次方程的关系，从而启发学生类比二次函数与一元二次方程的关系。教师给出一元一次方程，而没有直接给出一次函数，目的是激活学生已有的解决问题的经验，从学生的知识起点出发，巧妙诱发学生自觉想、主动问的思维方式，激发学生的学习潜能。
2.问题探究，让难点自然解决。
教师：二次函数与一元二次方程之间到底存在什么样的联系呢？同学们能否大胆猜想呢？
学生3：我猜想一元二次方程的根是二次函数图像与x轴的交点的横坐标。
教师：你是怎么产生这样的想法的呢？
学生3：根据一次函数与一元一次方程的关系类比猜想出来的。
……
教师：请同学们以如下三个函数为例验证一下。
1.y=-[12]x2-4x-6;2.y=x2-6x+9;3.y=x2-2x+3。
学生觉得都是成立的。然后教师引导学生对结论一般化，得出如下结论：
二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点。当二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴有交点时，交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值，即一元二次方程ax2+bx+c=0的根。
【设计意图】教师提出了一个巧妙的问题，引发学生思考、回答，再通过追问，让学生通过类比猜想、探究与验证，进行深入思考，获得了一个二次函数的图像与一元二次方程根的关系的重要结论。
3.知识迁移，让能力自然提升。
教师：对于方程x2+2x-3=-4，你能不解方程直接说出它的根吗？
学生4：从二次函数y=x2+2x-3的图像与直线y=-4的交点的横坐标，看出方程的解是x1=x2=-1。
教师：已知函数y=x2+2x-3的图像，你能设计一些问题吗？
学生5：可以设计问题为，已知方程x2+2x-3=-5，你能不解方程直接说出它的根吗？ 学生6：函数y=x2+2x-3的图像与直线y=-5没有交点，所以此方程无实数根。
教师：能否将这个问题一般化？对于方程x2+2x-3=k，如果方程有实数根，k的取值范围是什么？
学生7：因为函数图像与直线y=-4只有一个公共点，直线y=-4以下的直线与抛物线都没有公共点，所以k≥-4。
教师：如果直线与x轴不平行，那么它与抛物线的交点问题怎么解决呢？
学生8：把直线的函数表达式与抛物线的函数表达式联立方程组，解出这个方程组，就可以得出交点的橫坐标。
教师：很棒！有了这个经验，以后我们还可以解决二次函数图像与反比例函数图像的交点、二次函数图像与二次函数图像的公共点等一系列问题啦！
【设计意图】从方程x2+2x-3=-4到方程x2+2x-3=k，学生经历了从特殊到一般的过程，学会用运动的眼光看待问题。学生学会寻找变化中的不变量，即函数图像与直线的交点情况。笔者在这里设计开放性问题，预设学生能类比迁移刚刚学习的经验，自主发现和提出问题，分析并解决问题，使学生的探究能力得到发展。最后，笔者再拓展到二次函数图像与反比例函数图像的交点等一系列问题，体现整体教学观，突破单个知识点的教学边界，让思维一以贯之，体现自然延续与生长。
三、教学思考与感悟
1.对课堂引入的冷思考。
一节课的序曲首先表现在导入情境的创设上。美国心理学家布鲁纳认为，在教学过程中，教师的作用是要形成一种使学生能够独立探究的情境，而不是提供现成的知识。对于本节课的情境，教师通常是先给出一个二次函数，请学生画图像并说出图像与x轴的交点坐标，再给出一个一元二次方程，请学生求出方程的解。随后，教师请学生说出图像与x轴的交点坐标与相应的方程的解之间的关系。这样的设计删去了细枝末节，直奔主题，看似简洁高效，实则忽视了数学课堂的一个重要价值——培养学生的探究能力。教师越俎代庖，把要研究的对象直接明了地告知学生，学生的思维被一下子框定在预设范围之内，被教师牵着鼻子走。因此，把思维训练的机会还给学生，显得尤为重要。基于此，需要改变学习方式，寻找教学突破口，从学生已有的学习经验入手。章建跃博士说：“研究对象在变，‘研究套路’不变，思想方法不变，这就是数学基本思想、数学基本活动经验的力量。”基于这一思考，笔者通过聊天的方式把学生的思绪拉到了对一次函数与一元一次方程相关学习内容的认知当中，通过已有的学习经验，类比启发新的思维，也激发了学生的求知欲。这样的设计看似比传统教学“浪费”时间，但从长远角度看，以“慢”促思，发展学生的思维，花这个时间是值得的。
2.对真实自主探究的再认识。
自古以来，数学问题的提出和解决是推动数学发展的重要力量。数学学习中，学生能自发地提出一个有价值的问题是难能可贵的。“发现问题”和“提出问题”能力的培养是课堂教学的重中之重，也是提升思维的重要途径。只有教师有意识地沿着学生的思维轨迹去因势利导，学生才能于平常的课堂学习中体悟到数学思维的方法与魅力。面对“一元二次方程的根就是相应的二次函数图像与x轴交点的横坐标”这一结论，传统教学中教师大多直接引导学生观察二次函数的图像和相应的一元二次方程的根，学生迅速得知结论，赢得更多的时间进行相关练习。这样教学，短期效果是不错的，但从长远来看，学生失去了自主探究发现的机会，探究能力难以得到发展。因此，笔者认为教师应当合理地选择能激活学生已有解决问题经验的素材，从学生的知识起点出发，巧妙诱发学生自觉想、主动问的思维方式，学生的学习潜能才能得以激发。教师让学生通过自主探究、合作学习来主动发现问题，提出和解决问题，使他们能够在独立思考与合作学习交流中解决学习中的问题，从而学会学习和思考。教师营造了一个思维场，让学生的思维活跃、自然扩张。
3.对数学思维形成过程的再设计。
数学教育不仅仅是把数学知识传授给学生，更是通过数学教学让学生学会用数学的眼光看待问题，用数学的思维理性思考问题，促进深度学习，这将使学生终身受益。然而目前的课堂教学，教师在数学思想方法的渗透与传递过程中往往缺乏必要的教学侧重，对教学重点、难点的思辨大多停留在知识与技能层面，对于“数学思考”“问题解决”“情感态度价值观”等隐性的更高阶的教学目标，往往缺乏必要的轻重权衡与取舍思辨。数学教育家波利亚指出：“学习任何东西，最好的途径是自己去发现。”直接告诉学生知识，可以让学生在短时间内获得更多知识，但很难让学生得到“如何思考”的智慧。拉长知识形成过程，让学生经历“操作—猜想—验证”的过程，其中，鼓励学生大胆猜想，教师及时追问，设计开放性问题等，都是发展学生思维的重要元素，而且让学生在“慢”中获得真实体验，对学生而言，这样的体验最终将会转化为学生认识世界的智慧。快餐式的学习，删减了问题探究的历程，制约了学生的深度思考，阻碍了学生思维的发展。
在我们周围不乏这样的现象：教师不点不会，一点学生马上就恍然大悟。其实这正是学生数学素养低、数学能力差的表现。要改变这种现象，就需要拉长思维过程，让学生自己先想、先做，放手让他们主动去探究;让学生围绕课堂核心问题不断自我建构，类比迁移已有的学习经验，分析问题并解决问题，进行深层次思考，不断提升自己的思维水平。在课堂教学中，教师要把发现问题的机会，分析、解决问题的机会让给学生，让他们有足够的时间去消化与积累，在看似“慢速”的课堂进程中，顿悟式地“快速”感悟数学思想，让学生在适当的节奏中去体验数学的本真，实现数学思维的自然生长。
（作者单位：江苏省无锡市蠡园中学）