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摘要： 针对一类悬臂式柔性机械臂系统旋转运动过程中的振动抑制问题，首先利用拉格朗日法进行系统动力学建模;然后从频谱分析的角度出发，提出了基于刚度控制区主频定位和阻尼控制区较小幅值两个原则的路径规划设计思路;再通过分析系统的刚柔耦合特性，提出了基于上述原则的路径参数选择方法;最后，基于Quanser Rotary Flexible Link实验系统，以经典Bang-Coast-Bang型路径为例，进行了优化参数的选择。理论分析及实验结果表明，所提路径规划设计思路是有效的，且使用所提方法选择路径参数，可有效减小旋转运动激发的柔性振动，所提思路对柔性结构旋转机动路径规划具有指导意义。
关键词： 振动抑制; 柔性机械臂; 频谱分析; 旋转运动; 路径规划
中图分类号： TB535; O313.7; TP241 文献标志码： A 文章编号： 1004-4523（2020）04-0717-007
DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2020.04.009
引 言
在现代机器人及航天工程等领域，柔性机械臂以其质量轻、灵活性好以及效率高等优势得到了广泛应用。常见的柔性机械臂系统通常由柔性悬臂梁以及末端驱动电机组成，可进行水平旋转运动。根据特定任务要求，在操作过程中常需要进行大角度Rest-to-Rest旋转快速运动快速稳定，即初始和期望角速度均为零。由于柔性机械臂模态阻尼较小，快速旋转运动易激发不期望的柔性振动，从而对系统性能产生不利的影响，持续的振动甚至会导致结构的疲劳损坏，因此，针对柔性机械臂结构的振动抑制研究具有重要的理论与应用意义。
在柔性机械臂Rest-to-Rest旋转运动控制中，参考输入若为阶跃信号，则初始阶段较大的误差会引起驱动电机的强烈动作，从而导致超调以及激发柔性臂的强烈振动。因此，使用路径规划技术以柔化旋转运动过程是一种行之有效的振动抑制方法。然而，由于驱动电机提供的最大力矩和测量机构量程的限制，使得运动过程中电机的最大角加速度和最大角速度受限，同时考虑减少激发柔性振动，这就需要设计优化期望运动路径。快速运动要求路径加速度尽量大，而快速穩定要求运动过程尽量少激发柔性臂振动，路径加速度须尽量小。显然，快速运动与快速稳定对路径参数的要求是矛盾的，因此在进行路径规划时需要同时兼顾这两个方面的要求，折衷选择合适的路径参数。目前，不同形式的期望运动路径已被提出，包括但不限于：Bang-Coast-Bang （BCB）型[1]、Smoothed Bang-Bang型[2]、S函数型[3]、抛物线型[4]、正弦函数型[5]、余弦函数型[6]、五次多项式型[7]、非对称梯形[8]等，其中BCB型最经典也最简单，应用最为广泛。然而，在已有文献中这些路径类型对系统快速运动快速稳定性能的影响大多通过仿真得到，缺乏理论研究，无法揭示路径规划减少系统柔性振动的机理. 文献[9]首次对BCB型和抛物线型路径进行了频谱分析，初步开展了柔化运动路径减振机理的理论研究。
柔性机械臂旋转运动的控制效果不仅与路径类型相关，还与路径参数密切相关。现有文献中对路径参数确定的理论研究成果不多，大多采用离线优化的方法选择优化参数，再通过仿真加以验证，但是难以得到对其他系统路径参数设计具有一般性指导意义的方法。文献[10]首次推导得到了BCB型路径的频谱表达式，初步分析了路径频谱、运动时间与路径参数之间的关系。
本文以Quanser Rotary Flexible Link （RFL）实验系统为研究对象，在分析二阶系统幅频特性和系统刚柔耦合特性的基础上，提出了基于刚度控制区主频定位和阻尼控制区较小幅值原则的减振运动路径设计思路以及基于上述原则的路径参数选择方法。以BCB型路径为例，基于RFL系统进行了实验研究。本文后续内容安排如下：第1节对RFL系统进行了动力学建模与分析;第2节阐述了减振路径设计思路与参数选择方法;第3节给出了实验结果与分析;第4节为本文结论。
1 RFL系统动力学建模
本文研究的RFL实验系统实物如图1所示，其中FLEXGAGE臂由一个不锈钢材质的薄柔性臂①和一个安装于其固定端的应变计②组成。由于安装在Quanser SRV02平台③上，从而形成了一个可水平转动的柔性臂平台，可用于实施各种柔性结构控制实验。通过使用直流电机驱动柔性臂在水平面内绕固定端旋转，柔性臂的电机固定端安装了可测量末端挠度的应变计，其输出为一个正比于柔性臂挠度的模拟信号。
虽然只有电机与柔性臂的角位置可测，但其角速度可由数字控制器计算得出，即对角位置进行微分再使用高通滤波器对结果进行滤波处理。
为了在旋转运动过程中尽可能减小对柔性臂振动的激发，可以通过预先规划电机角加速度d，使得其不易激起振动。再使用控制器对其进行跟踪，使实际角加速度≈d，将调节控制问题转化为路径跟踪控制问题，这样就可以得到一种不易激起振动的路径。
2 减振运动路径的设计思路与参数选择 由于柔性臂激励-JL为非周期信号，而任何周期激励或非周期激励总可以通过傅里叶变换（FT）展开成一系列谐波激励的叠加，因此，首先考虑二阶线性系统在谐波激励下的响应，再通过线性系统叠加原理就可以分析和得到柔性臂在非周期激励下的响应。
2.1 二阶系统在谐波激励下的响应
考虑二阶线性系统受到谐波信号f（t）=sin（ωet）的激励，则微分方程可写为（t）+2ζωn（t）+ω2nx（t）=ω2nsin（ωet）
（12）式中 ζ为系统阻尼比，ωn为系统无阻尼固有频率，ωe为激励频率。系统的幅频特性为H（ωe）=1（1-ω2eω2n）2+（2ζωeωn）2
（13） 以激励频率ωe与系统无阻尼固有频率ωn之比为横坐标，H（ωe）为纵坐标，根据式（13）给出不同阻尼比ζ时的幅频特性曲线，如图3所示。
由图3可知：
当激励频率远低于系统無阻尼固有频率，即ωeωn1时，H（ωe）→1。且当ωe=0时，H（ωe）=1。系统在ωeωn1区域内的特性主要由系统刚度决定，因此这一区域称为“刚度控制区”。
当激励频率远高于系统无阻尼固有频率，即ωeωn1时，H（ωe）<1，且当ωe→∞时，H（ωe）→0。系统在ωeωn1区域内的特性主要由系统惯性决定，因此这一区域称为“质量控制区”。
当激励频率约等于系统无阻尼固有频率，即ωeωn≈1时，H（ωe）出现峰值。比较不同阻尼比ζ的特性曲线可知，ζ越小，峰值越大。系统在ωeωn≈1区域内的特性主要由系统阻尼决定，因此这一区域称为“阻尼控制区”。进一步，当激励频率等于共振频率ωr时，即ωr=1-2ζ2ωn（14） H（ωe）出现峰值H（ωr），此时系统发生共振[11]。
2.2 柔化运动路径的减振机理
柔性臂的激励为非周期信号，因此含有连续的频谱分布，即其频谱在每个频率点处都有幅值。显然，对期望路径角加速度d进行FT得到其频谱，再通过分析其频谱特性与柔性臂固有频率之间的关系，可总结出柔化运动路径的减振机理。
由于柔性臂阻尼比很小，则由式（14）可知ωr≈ωn，即当激励频率接近其固有频率时，系统发生共振，同时因极小的阻尼比，共振峰值H（ωr）≈H（ωn）≈12ζ非常大，因此，d的频谱在各阶模态固有频率处的幅值大小决定了柔性振动被激发的程度。从减振角度出发，应使d的频谱在各阶固有频率处的幅值尽量小。
考虑到柔性臂主导模态集中在低频区域，主要为第1阶模态，因此，应使d的主频远离柔性臂第1阶模态固有频率，即远离其“阻尼控制区”，然而，还需进一步分析其主频应位于“刚度控制区”还是“质量控制区”。由图3可知，在“质量控制区”中，当激励频率大于固有频率的1.5倍以上时，H（ωe）<1，且倍数越大，幅值衰减越明显;而在“刚度控制区”中，当激励频率小于固有频率的0.5倍以下时，H（ωe）→1，且倍数越小，幅值衰减并不明显。
表面上看，“质量控制区”的幅值衰减比“刚度控制区”明显，并且也能保证旋转运动的快速性，但由于柔性臂本质上为分布参数系统，具有无穷多个模态，且模态密集。若d的主频位于第1阶模态固有频率的“质量控制区”，则易激发高频模态振动，因此，其主频应位于“刚度控制区”，即不应高于第1阶模态固有频率，然而，若d的主频远小于第1阶模态频率，则运动快速性不能满足。
综合以上分析，可以得到柔化路径的减振机理：
（1） 刚度控制区主频定位原则
定义定位指标为δ=ωzω1（15）式中 ωz为路径d的主频，即其频谱最大幅值所对应的频率，ω1为柔性臂第1阶模态固有频率。为保证主频位于ω1的“刚度控制区”，且运动速度不至于过慢，须在满足任务中运动时间要求下尽量使得ωz远离ω1。通常情况下，应使0.05≤δ≤0.1。
（2）阻尼控制区较小幅值原则
令Ai为路径d的频谱在柔性臂各模态固有频率处的幅值，其所对应的频率落在各模态固有频率的“阻尼控制区”，由于阻尼比极小，应使得Ai越小越好，以减少激发柔性振动。
根据上述两个原则，可以分析不同路径类型及参数对柔性臂系统的影响，从而指导如何规划减振路径。
2.3 基于减振路径设计思路的参数选择方法
通过对期望路径的角加速度信号进行离散傅里叶变换（DFT），可得到其频谱分布Φ（k），进而可得到路径参数与期望角加速度信号频谱Φ（k）之间的定量关系。令路径频谱Φ（k）满足2.2节所提刚度控制区主频定位和阻尼控制区较小幅值原则，可得到不易激发柔性臂振动的路径参数;再综合考虑路径参数与运动总时间Tz之间的关系，则可兼顾运动快速性和稳定性。
因此，柔化路径参数的选择方法可归纳为以下步骤：
1）针对路径类型、系统限制以及任务要求，得到路径参数约束式;
2）使用DFT推导得到路径角加速度的频谱表达式;
3）根据路径频谱表达式和参数约束式分别得出路径参数与δ，A1以及Tz的关系;
4）基于刚度控制区主频定位和阻尼控制区较小幅值原则确定参数取值区域;
5）找出此区域中满足A1=0的一组参数即为优化参数。
3 实验结果与分析
3.1 RFL系统实验参数 为验证所提路径规划减振机理以及参数选择方法的有效性，以BCB型路径为例，使用LQR跟踪控制算法，基于RFL实验平台进行水平旋转运动实验研究，其主要物理参数和控制参数如表1所示。
利用式（19）所描述的路径参数a和T与频谱Φ（k）之间的定量关系，根据柔性臂实测固有圆频率ωn=20.268 rad/s，针对系统限制以及任务要求，使用2.3节所提方法可得到一组兼顾运动快速性与稳定性的参数为aT=8800.52，具体参数选择步骤的实现可参考文献[10]。因此，考虑以下两种实验方案：
1）使用阶跃信号作为参考输入进行运动;
2）使用基于所选优化参数的BCB型路径进行运动。
优化参数下规划的BCB型路径频谱如图5所示，可以看出，柔性臂固有频率落在路径频谱的零点处，因此可有效减少对柔性振动的激发。
为比较不同方案下RFL系统旋转运动控制的效果，考虑以下三个性能指标：1）瞬态振动强度αm，即运动过程中柔性臂偏转角的最大绝对值;2）平均振动强度pL，即计算从0到5 s的柔性臂偏转角均方根值;3）平均控制量pV，即计算从0到5 s的电机控制电压均方根值。系统性能指标如表2所示。
由表2可知，使用阶跃参考信号进行运动时，RFL系统峰值偏转角较大，易激发柔性振动，且所需控制输入也较大;而使用基于优化参数的BCB型路径进行运动时，系统在瞬态振动强度、平均振动强度以及控制输入方面均优于阶跃路径，可在完成快速运动的同时，减少对柔性振动的激发。 4 结 论
基于RFL实验平台，利用所提方法设计BCB型路径用于柔性臂系统Rest-to-Rest旋转运动实验，与传统的阶跃指令相比，可在提高运动快速性的同时，大幅降低柔性臂的振动强度，并可避免过度的控制输入。实验结果表明所提路径设计思路及参数选择方法可有效减少旋转运动过程对柔性振动的激发，对机器人柔性机械臂运动控制、挠性航天器姿态机动控制等领域的路径规划设计具有一定的理论指导意义。
参考文献：
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ZHU Shijian， LOU Jingjun， HE Qiwei， et al. Vibration Theory and Vibration Isolation[M]. Beijing： National Defense Industry Press， 2006： 7-12.
Abstract： This paper tackles the issues of path planning for rotational motions of a flexible manipulator system with vibration suppression. Dynamic modeling of the system is presented via the Lagrange method. Based on the spectral analysis approach， a novel idea composed of two principles， i.e. dominant-frequency placement in stiffness region and less amplitude in damping region， is proposed for path planning. By analyzing the rigid-flex coupling characteristics of the system， a selection method of path parameters based on the two principles is proposed. A case study of Bang-Coast-Bang path parameter selection on Quanser Rotary Flexible Link system is given. Theoretical analysis and experimental results demonstrate the effectiveness of the proposed idea. The resulting maneuver path using the proposed parameter selection method can reduce stimulation of flexible vibrations effectively. This idea can instruct path planning design for slew maneuvers of flexible structures.
Key words： vibration suppression; flexible manipulator; spectral analysis; rotational motion; path planning
关键词： 振动抑制; 柔性机械臂; 频谱分析; 旋转运动; 路径规划
中图分类号： TB535; O313.7; TP241 文献标志码： A 文章编号： 1004-4523（2020）04-0717-007
DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2020.04.009
引 言
在现代机器人及航天工程等领域，柔性机械臂以其质量轻、灵活性好以及效率高等优势得到了广泛应用。常见的柔性机械臂系统通常由柔性悬臂梁以及末端驱动电机组成，可进行水平旋转运动。根据特定任务要求，在操作过程中常需要进行大角度Rest-to-Rest旋转快速运动快速稳定，即初始和期望角速度均为零。由于柔性机械臂模态阻尼较小，快速旋转运动易激发不期望的柔性振动，从而对系统性能产生不利的影响，持续的振动甚至会导致结构的疲劳损坏，因此，针对柔性机械臂结构的振动抑制研究具有重要的理论与应用意义。
在柔性机械臂Rest-to-Rest旋转运动控制中，参考输入若为阶跃信号，则初始阶段较大的误差会引起驱动电机的强烈动作，从而导致超调以及激发柔性臂的强烈振动。因此，使用路径规划技术以柔化旋转运动过程是一种行之有效的振动抑制方法。然而，由于驱动电机提供的最大力矩和测量机构量程的限制，使得运动过程中电机的最大角加速度和最大角速度受限，同时考虑减少激发柔性振动，这就需要设计优化期望运动路径。快速运动要求路径加速度尽量大，而快速穩定要求运动过程尽量少激发柔性臂振动，路径加速度须尽量小。显然，快速运动与快速稳定对路径参数的要求是矛盾的，因此在进行路径规划时需要同时兼顾这两个方面的要求，折衷选择合适的路径参数。目前，不同形式的期望运动路径已被提出，包括但不限于：Bang-Coast-Bang （BCB）型[1]、Smoothed Bang-Bang型[2]、S函数型[3]、抛物线型[4]、正弦函数型[5]、余弦函数型[6]、五次多项式型[7]、非对称梯形[8]等，其中BCB型最经典也最简单，应用最为广泛。然而，在已有文献中这些路径类型对系统快速运动快速稳定性能的影响大多通过仿真得到，缺乏理论研究，无法揭示路径规划减少系统柔性振动的机理. 文献[9]首次对BCB型和抛物线型路径进行了频谱分析，初步开展了柔化运动路径减振机理的理论研究。
柔性机械臂旋转运动的控制效果不仅与路径类型相关，还与路径参数密切相关。现有文献中对路径参数确定的理论研究成果不多，大多采用离线优化的方法选择优化参数，再通过仿真加以验证，但是难以得到对其他系统路径参数设计具有一般性指导意义的方法。文献[10]首次推导得到了BCB型路径的频谱表达式，初步分析了路径频谱、运动时间与路径参数之间的关系。
本文以Quanser Rotary Flexible Link （RFL）实验系统为研究对象，在分析二阶系统幅频特性和系统刚柔耦合特性的基础上，提出了基于刚度控制区主频定位和阻尼控制区较小幅值原则的减振运动路径设计思路以及基于上述原则的路径参数选择方法。以BCB型路径为例，基于RFL系统进行了实验研究。本文后续内容安排如下：第1节对RFL系统进行了动力学建模与分析;第2节阐述了减振路径设计思路与参数选择方法;第3节给出了实验结果与分析;第4节为本文结论。
1 RFL系统动力学建模
本文研究的RFL实验系统实物如图1所示，其中FLEXGAGE臂由一个不锈钢材质的薄柔性臂①和一个安装于其固定端的应变计②组成。由于安装在Quanser SRV02平台③上，从而形成了一个可水平转动的柔性臂平台，可用于实施各种柔性结构控制实验。通过使用直流电机驱动柔性臂在水平面内绕固定端旋转，柔性臂的电机固定端安装了可测量末端挠度的应变计，其输出为一个正比于柔性臂挠度的模拟信号。
虽然只有电机与柔性臂的角位置可测，但其角速度可由数字控制器计算得出，即对角位置进行微分再使用高通滤波器对结果进行滤波处理。
为了在旋转运动过程中尽可能减小对柔性臂振动的激发，可以通过预先规划电机角加速度d，使得其不易激起振动。再使用控制器对其进行跟踪，使实际角加速度≈d，将调节控制问题转化为路径跟踪控制问题，这样就可以得到一种不易激起振动的路径。
2 减振运动路径的设计思路与参数选择 由于柔性臂激励-JL为非周期信号，而任何周期激励或非周期激励总可以通过傅里叶变换（FT）展开成一系列谐波激励的叠加，因此，首先考虑二阶线性系统在谐波激励下的响应，再通过线性系统叠加原理就可以分析和得到柔性臂在非周期激励下的响应。
2.1 二阶系统在谐波激励下的响应
考虑二阶线性系统受到谐波信号f（t）=sin（ωet）的激励，则微分方程可写为（t）+2ζωn（t）+ω2nx（t）=ω2nsin（ωet）
（12）式中 ζ为系统阻尼比，ωn为系统无阻尼固有频率，ωe为激励频率。系统的幅频特性为H（ωe）=1（1-ω2eω2n）2+（2ζωeωn）2
（13） 以激励频率ωe与系统无阻尼固有频率ωn之比为横坐标，H（ωe）为纵坐标，根据式（13）给出不同阻尼比ζ时的幅频特性曲线，如图3所示。
由图3可知：
当激励频率远低于系统無阻尼固有频率，即ωeωn1时，H（ωe）→1。且当ωe=0时，H（ωe）=1。系统在ωeωn1区域内的特性主要由系统刚度决定，因此这一区域称为“刚度控制区”。
当激励频率远高于系统无阻尼固有频率，即ωeωn1时，H（ωe）<1，且当ωe→∞时，H（ωe）→0。系统在ωeωn1区域内的特性主要由系统惯性决定，因此这一区域称为“质量控制区”。
当激励频率约等于系统无阻尼固有频率，即ωeωn≈1时，H（ωe）出现峰值。比较不同阻尼比ζ的特性曲线可知，ζ越小，峰值越大。系统在ωeωn≈1区域内的特性主要由系统阻尼决定，因此这一区域称为“阻尼控制区”。进一步，当激励频率等于共振频率ωr时，即ωr=1-2ζ2ωn（14） H（ωe）出现峰值H（ωr），此时系统发生共振[11]。
2.2 柔化运动路径的减振机理
柔性臂的激励为非周期信号，因此含有连续的频谱分布，即其频谱在每个频率点处都有幅值。显然，对期望路径角加速度d进行FT得到其频谱，再通过分析其频谱特性与柔性臂固有频率之间的关系，可总结出柔化运动路径的减振机理。
由于柔性臂阻尼比很小，则由式（14）可知ωr≈ωn，即当激励频率接近其固有频率时，系统发生共振，同时因极小的阻尼比，共振峰值H（ωr）≈H（ωn）≈12ζ非常大，因此，d的频谱在各阶模态固有频率处的幅值大小决定了柔性振动被激发的程度。从减振角度出发，应使d的频谱在各阶固有频率处的幅值尽量小。
考虑到柔性臂主导模态集中在低频区域，主要为第1阶模态，因此，应使d的主频远离柔性臂第1阶模态固有频率，即远离其“阻尼控制区”，然而，还需进一步分析其主频应位于“刚度控制区”还是“质量控制区”。由图3可知，在“质量控制区”中，当激励频率大于固有频率的1.5倍以上时，H（ωe）<1，且倍数越大，幅值衰减越明显;而在“刚度控制区”中，当激励频率小于固有频率的0.5倍以下时，H（ωe）→1，且倍数越小，幅值衰减并不明显。
表面上看，“质量控制区”的幅值衰减比“刚度控制区”明显，并且也能保证旋转运动的快速性，但由于柔性臂本质上为分布参数系统，具有无穷多个模态，且模态密集。若d的主频位于第1阶模态固有频率的“质量控制区”，则易激发高频模态振动，因此，其主频应位于“刚度控制区”，即不应高于第1阶模态固有频率，然而，若d的主频远小于第1阶模态频率，则运动快速性不能满足。
综合以上分析，可以得到柔化路径的减振机理：
（1） 刚度控制区主频定位原则
定义定位指标为δ=ωzω1（15）式中 ωz为路径d的主频，即其频谱最大幅值所对应的频率，ω1为柔性臂第1阶模态固有频率。为保证主频位于ω1的“刚度控制区”，且运动速度不至于过慢，须在满足任务中运动时间要求下尽量使得ωz远离ω1。通常情况下，应使0.05≤δ≤0.1。
（2）阻尼控制区较小幅值原则
令Ai为路径d的频谱在柔性臂各模态固有频率处的幅值，其所对应的频率落在各模态固有频率的“阻尼控制区”，由于阻尼比极小，应使得Ai越小越好，以减少激发柔性振动。
根据上述两个原则，可以分析不同路径类型及参数对柔性臂系统的影响，从而指导如何规划减振路径。
2.3 基于减振路径设计思路的参数选择方法
通过对期望路径的角加速度信号进行离散傅里叶变换（DFT），可得到其频谱分布Φ（k），进而可得到路径参数与期望角加速度信号频谱Φ（k）之间的定量关系。令路径频谱Φ（k）满足2.2节所提刚度控制区主频定位和阻尼控制区较小幅值原则，可得到不易激发柔性臂振动的路径参数;再综合考虑路径参数与运动总时间Tz之间的关系，则可兼顾运动快速性和稳定性。
因此，柔化路径参数的选择方法可归纳为以下步骤：
1）针对路径类型、系统限制以及任务要求，得到路径参数约束式;
2）使用DFT推导得到路径角加速度的频谱表达式;
3）根据路径频谱表达式和参数约束式分别得出路径参数与δ，A1以及Tz的关系;
4）基于刚度控制区主频定位和阻尼控制区较小幅值原则确定参数取值区域;
5）找出此区域中满足A1=0的一组参数即为优化参数。
3 实验结果与分析
3.1 RFL系统实验参数 为验证所提路径规划减振机理以及参数选择方法的有效性，以BCB型路径为例，使用LQR跟踪控制算法，基于RFL实验平台进行水平旋转运动实验研究，其主要物理参数和控制参数如表1所示。
利用式（19）所描述的路径参数a和T与频谱Φ（k）之间的定量关系，根据柔性臂实测固有圆频率ωn=20.268 rad/s，针对系统限制以及任务要求，使用2.3节所提方法可得到一组兼顾运动快速性与稳定性的参数为aT=8800.52，具体参数选择步骤的实现可参考文献[10]。因此，考虑以下两种实验方案：
1）使用阶跃信号作为参考输入进行运动;
2）使用基于所选优化参数的BCB型路径进行运动。
优化参数下规划的BCB型路径频谱如图5所示，可以看出，柔性臂固有频率落在路径频谱的零点处，因此可有效减少对柔性振动的激发。
为比较不同方案下RFL系统旋转运动控制的效果，考虑以下三个性能指标：1）瞬态振动强度αm，即运动过程中柔性臂偏转角的最大绝对值;2）平均振动强度pL，即计算从0到5 s的柔性臂偏转角均方根值;3）平均控制量pV，即计算从0到5 s的电机控制电压均方根值。系统性能指标如表2所示。
由表2可知，使用阶跃参考信号进行运动时，RFL系统峰值偏转角较大，易激发柔性振动，且所需控制输入也较大;而使用基于优化参数的BCB型路径进行运动时，系统在瞬态振动强度、平均振动强度以及控制输入方面均优于阶跃路径，可在完成快速运动的同时，减少对柔性振动的激发。 4 结 论
基于RFL实验平台，利用所提方法设计BCB型路径用于柔性臂系统Rest-to-Rest旋转运动实验，与传统的阶跃指令相比，可在提高运动快速性的同时，大幅降低柔性臂的振动强度，并可避免过度的控制输入。实验结果表明所提路径设计思路及参数选择方法可有效减少旋转运动过程对柔性振动的激发，对机器人柔性机械臂运动控制、挠性航天器姿态机动控制等领域的路径规划设计具有一定的理论指导意义。
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Abstract： This paper tackles the issues of path planning for rotational motions of a flexible manipulator system with vibration suppression. Dynamic modeling of the system is presented via the Lagrange method. Based on the spectral analysis approach， a novel idea composed of two principles， i.e. dominant-frequency placement in stiffness region and less amplitude in damping region， is proposed for path planning. By analyzing the rigid-flex coupling characteristics of the system， a selection method of path parameters based on the two principles is proposed. A case study of Bang-Coast-Bang path parameter selection on Quanser Rotary Flexible Link system is given. Theoretical analysis and experimental results demonstrate the effectiveness of the proposed idea. The resulting maneuver path using the proposed parameter selection method can reduce stimulation of flexible vibrations effectively. This idea can instruct path planning design for slew maneuvers of flexible structures.
Key words： vibration suppression; flexible manipulator; spectral analysis; rotational motion; path planning