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集合是每年高考必考的知识点，若以选择题或者填空题的形式出现，主要有两种考查倾向，一是考查集合的基本概念，二是一些基本运算问题；当然也不排除出解答题的可能，集合常与其他知识（如函数、方程、不等式等）进行交汇命题，考查中学数学的一些数学思想方法.在解答集合这部分内容中的数学问题时，倘能积极挖掘问题中隐含的数学思想方法，能使复杂的问题变得条理清楚，脉络分明，起到化难为易、化繁为简、事半功倍的作用. 为帮助2012届的考生更好地把握如何利用数学思想方法解题，本文总结了集合中比较常考的思想方法，并对每一种思想方法先作一个总体的阐述，然后配以典型的例题辅以说明，旨在引导考生尽快领会如何应用所介绍的方法解题，相信新一届高三的同学们阅读后会有不少的收获.
一、利用直接法解题
直接法就是从题设条件出发，通过正确的运算、推理或判断，直接得出结论再与选择支对照，从而解题的一种方法.
例1（2011年高考天津卷）已知集合A={x∈R|x+3+x-4≤9}，B={x∈R|x=4t+-6，t∈（0，+∞）}，则集合A∩B=.
分析 要解答本题，首先就要理解两个集合所表达的意义，集合里的一些符号及集合的运算法则.
解析 因为t>0，所以4t+≥4，所以B={x∈R|x≥-2}；由绝对值的几何意义可得：A={x∈R|-4≤x≤5}，所以A∩B={x|-2≤x≤5}.
点拨 运用直接法在解答客观题时需要扎实的数学基础，即必须熟练掌握课本上的基本概念、基本定理、公式、法则等，利用直接法来解答的题目是相当多的，希望同学们在复习备考时应注意把基础部分的把握落到实处.
二、利用数形结合法解题
数形结合是指根据问题的数量和相关图形间的关系，认识问题的数学特征，求得问题解决的一种数学思想，应用数形结合思想解答集合部分问题的关键是由问题的数量关系作出或构造其几何图形，或由已知图形分析其数量特征,使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而快速找到解题的途径. 在每年的高考中，利用数形结合法解答客观题（包括填空与选择题）的频率是相当高的，希望同学们应注意和重视数形结合法解题.
例2 （2011年高考江苏卷）设集合A={（x，y）|≤（x-2）2+y2≤m2，x，y∈R}，B={（x，y）|2m≤x+y≤2m+1，x，y∈R}，若A∩B=，则实数m的取值范围是.
分析 本题综合考察集合及其运算、直线与圆的位置关系、含参分类讨论、点到直线距离公式、两条直线位置关系、解不等式，这道集合问题比较抽象，是一道难题，根据题目的意思，我们不妨借助利用数形结合法解答
解析 当m≤0时，集合A是以（2，0）为圆心，以m为半径的圆，集合B是在两条平行线之间，∵+m=（１－）m+>0，因为A∩B≠，此时无解；当m>0时，集合A是以（2，0）为圆心，以和m为半径的圆环区域，集合B是在两条平行线之间的带状区域，必有≥m，≤m，∴≤m≤+1. 又因为≤m2，∴≤m≤+1.
点评 有的集合问题比较抽象，解题时若借助韦恩图进行数形分析或利用数轴、图像，采用数形结合方法，往往可使问题直观化、形象化，进而能使问题简捷、准确地获解
例3已知集合A={（x，y）|x2+（y-1）2=1}，B={（x，y）|x+y+a≥0}，若A∩B=A，求实数a的取值范围.
分析 A，B均为点集，A是一个圆上的点组成的集合，B是一个平面区域组成的集合，A∩B=A说明圆在平面区域内，据此我们考虑数形结合思想方法来解题.
解析 A∩B=A?圳AB，所以圆x2+（y-1）2=1总在平面区域x+y+a≥0内，如右图所示，当x=y=0时，x+y+a≥0中的a≥0，所以直线y=-x-a的截距小于零，在坐标系中作出平面区域和圆，当直线y=-x-a在图中的位置且向左下方平移时，均满足条件，故只需求出临界状态下的截距.由直线y=-x-a与圆x2+（y-1）2=1相切，得=1，解得a=-1或a=--1（舍去）. 所以实数a的取值范围是a≥-1.
点评 本题可以用代数法求解，但是过程复杂，运算量大，根据题目的特征，我们利用数形结合思想，快速解答了本题. 通过本例题可以看出，通过挖掘问题的几何意义，构造出问题的几何模型，以形助数，用数形结合法既可借助直观获得简捷解法，又可避免因对限制条件考虑不周造成的失误，还有利于沟通数学各个分支.
三、利用特殊与一般的思想方法解题
对于某个一般性的问题，如果一时难于解决，那么可以先解决它的特殊情况，即将研究对象的全体变为研究属于这个全体中的一个对象或部分对象，然后再把解决特殊情况的方法或结论应用或推广到一般问题上，从而获得一般性问题的解决，这就是特殊化思想.从特殊情况出发，推出一般情况的结论的思想方法在数学解题中是随处可见的，特殊情况比较容易猜想出结论.
例4 （2011年高考广东卷）设S是整数集Z的非空子集，如果a，b∈S，有ab∈S，则称S关于数的乘法是封闭的． 若T，V是Z的两个不相交的非空子集，T∪V=Z，且a，b，c∈T，有abc∈T；x，y，z∈V，有xyz∈V，则下列结论恒成立的是（）
A． T，V中至少有一个关于乘法是封闭的
B． T，V中至多有一个关于乘法是封闭的
C． T，V中有且只有一个关于乘法是封闭的
D. T，V中每一个关于乘法都是封闭的
分析 这是一道以集合知识为背景的开放性定义型问题，近两年来广东的高考都考了类似的题，从评卷的情况来看，此题失分大，失分的主要原因是题目字母多，比较抽象，考生不适应这类新定义（运算）问题的解答，解此类问题的关键是理解并且掌握题目给出的新定义与（新运算），思路是利用特殊与一般化地思想方法构造出满足题目条件的特殊的集合，这样就降低了题目的难度，有助于同学们正确理解题意.
解析 取T={x|x∈（-∞，1]，且x∈Z}，V={x|x∈[2，+∞），且x∈Z}，可得T关于乘法不封闭，V关于乘法封闭；又取T={奇数}，V={偶数}，可得T与V关于乘法均封闭，故排除B，C，D，选A.
例5 （2011年高考浙江卷）设a，b，c为实数，f（x）=（x+a）（x2+bx+c），g（x）=（ax+1）（cx2+bx+1），记集合S={x| f（x）=0，x∈R}，T={x|g（x）=0，x∈R）}，若S，T分别为集合S，T的个数，则下列结论不能成立的是（）
A. S＝１且 T＝0B. S＝１且 T＝1
C. S＝２且 T＝２D. S＝２且 T＝３
分析 这道高考题同样是字母符号多，要理解的概念多，初看难于下手，倘若我们给字母赋予特殊值，则题目就变成简单容易理解了，使题目快速获得解答.
解析 若a=b=c=0，则f（x）=x3=0，得到S=1，g（x）=1，g（x）=0无解，因此 T＝0，即选项A有可能成立；若a=1，f（x）=x（x2+bx+c），又满足b2-4c<0，则得到S=1且T=1成立，即f （x）=0与g （x）=0都仅有一个解x=-1，即选项B也是有可能成立的；若a=1，f（x）=x（x2+bx+c），又满足b2-4c=0（如b=2，c=），则得到S=2且T=2成立，即f （x）=0与g （x）=0有两个解x=-1和x=-，即选项C也是有可能成立的；若T=3，则b2-4c＞0，从而导致f（x）=（x+a）（x2+bx+c）也有3个解，因此S＝２且 T＝３不可能成立，选D.
点评 从上述两道高考题的解答来看，凡是遇到抽象晦涩难懂的集合题目时我们都可尝试利用特殊与一遍的思想方法解题，命题对一般情况成立，对特殊情况也成立；对特殊情况不成立，对一般情况肯定不成立，选取特殊时也要注意选取恰当的集合,否则容易出错.
四、利用分类讨论思想方法解题
当面临的数学问题有多种情形加以说明，不能一概而论或不能用一种方法或同一的形式加以解决时，我们必须把面临的对象划分为几类，分别加以解决，这就是分类讨论思想方法.
例6 设集合S={A0，A1，A2，A3}，在S上定义运算为：AiAj=Ak，其中k为i+j被4除的余数，i、j=0，1，2，3则满足关系式（xx）A2=A0的x的个数为（）
A. 1B. 2C.3D. 4
解析 Aj表示由被4除的余数i（i=0，1，2，3）组成的集合，若x=A0，则xx=A0A0=A0，A0A2=A2≠A0；若x=A1，则xx=A1A1=A2，A2A2=A0，继续验证x=A3，A2分别与x=A1，A0情况相同，选B.
点评 应用分类讨论思想方法解答问题时要做到能根据解题需要确定讨论对象及讨论的范围，把讨论对象进行合理的分类，做到不重复、不遗漏，对每一类分别进行讨论，最后将各类的结论归纳、化简，得出结论.
五、利用转化与化归思想解题
在解集合问题时，当一种集合的表达式不好入手时，可将其先转化为另一种形式. 如将A∩B=B或A∪B=A转化为BA，将（UA）∪（UB）转化为U（A∩B），将（UA）∩（UB）转化为U（A∪B）等，转化与化归思想在解答集合部分的题目的作用是相当大的，在解题中有意识地利用转化与化归思想解题有助于提高解题的能力和速度.
例7 已知集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|mx-1=0}，若A∪B=A，求实数m的值.
分析 由A∪B=A转化为BA，我们就容易理解题意了.
解析 A={x|x2-3x+2=0}={1，２}.
因为A∪B=A，所以BA.
当B＝时，m=0，满足题意.
当B≠时，若x=1，则有m=1，满足题意.
若x=2，则有m=，满足题意.
综上所述实数m的值为0，1，.
点评 本题的这种解法充分体现了将问题进行等价转化的重要性. 很多同学在解题时由于不会等价转化，从而忽视对空集的讨论，导致漏解.
六、利用补集思想方法解题
补集思想是解答数学问题中的一种重要的思想方法，补集思想是“正难则反”的发散性思维的运用，是逆向思维的一种表现方式，从正面尝试解答某个问题遇到障碍时，补集思想往往会成为解题的有效手段，其基本步骤是：从其反面来考虑，先求其补集，再次求补集即为所求集合.
例8 已知集合P={x|4≤x≤5，x∈R}，Q={x|k+1≤x≤2k-1，x∈R}，求当P∩Q≠Q时，实数k的取值范围.
分析 P∩Q≠Q的情况比较复杂，若正面求解，需要一一列举出来分别讨论，然后再求并集，运算量相当大，并且不容易考虑周全,注意到“≠”比较特殊单纯，从问题的反面去思考探究，就容易得到正面结论，这就是补集思想在解题的灵活运用.
解析 若P∩Q=Q时，即QP，
当Q=时，k+1>2k-1，解得k<2.
当Q≠时，k+1≥4,2k-1≤5,k+1≤2k-1,解得k=3.
所以当k<2或k=3时P∩Q=Q，
故当k≥2且k≠3时P∩Q≠Q.
例9 设全集U={2，４，２m2-3m-3}，集合A={2，m2-m+2}，UA={-1}，求m的值.
分析 初看这道题不容易下手，通过挖掘题目中的条件，可得UA∪A=U，所以m2-m+2只能等于4，或者-1一定在集合U中但不在集合A中，则问题迎刃而解了.但是要注意检验.
解析 因为UA={-1}，所以-1∈U，得2m2-3m-3=-1，得2m2-3m-２=０，解得m＝２或m＝-.
把m＝-代入集合Ａ，得到Ａ={２，}，m＝-不合题意，舍去；
把m＝２代入集合Ａ，得到Ａ={２，４}，合题意. 所以m＝２.
点评 解答上述两道题的关键是充分利用了集合中的补集思想和基本性质，在解答与补集有关的命题时，要注意的是（1）补集中的元素一定是全集中的元素，但是全集中的元素不一定是补集中的元素，也就是说补集是全集的子集.（2）根据条件确定集合中的参数的值时，列方程是关键，解出参数后要验证，否则易出错.
（作者单位：广东省五华县五华中学）
责任编校徐国坚
“本文中所涉及到的图表、公式、注解等请以PDF格式阅读”
一、利用直接法解题
直接法就是从题设条件出发，通过正确的运算、推理或判断，直接得出结论再与选择支对照，从而解题的一种方法.
例1（2011年高考天津卷）已知集合A={x∈R|x+3+x-4≤9}，B={x∈R|x=4t+-6，t∈（0，+∞）}，则集合A∩B=.
分析 要解答本题，首先就要理解两个集合所表达的意义，集合里的一些符号及集合的运算法则.
解析 因为t>0，所以4t+≥4，所以B={x∈R|x≥-2}；由绝对值的几何意义可得：A={x∈R|-4≤x≤5}，所以A∩B={x|-2≤x≤5}.
点拨 运用直接法在解答客观题时需要扎实的数学基础，即必须熟练掌握课本上的基本概念、基本定理、公式、法则等，利用直接法来解答的题目是相当多的，希望同学们在复习备考时应注意把基础部分的把握落到实处.
二、利用数形结合法解题
数形结合是指根据问题的数量和相关图形间的关系，认识问题的数学特征，求得问题解决的一种数学思想，应用数形结合思想解答集合部分问题的关键是由问题的数量关系作出或构造其几何图形，或由已知图形分析其数量特征,使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而快速找到解题的途径. 在每年的高考中，利用数形结合法解答客观题（包括填空与选择题）的频率是相当高的，希望同学们应注意和重视数形结合法解题.
例2 （2011年高考江苏卷）设集合A={（x，y）|≤（x-2）2+y2≤m2，x，y∈R}，B={（x，y）|2m≤x+y≤2m+1，x，y∈R}，若A∩B=，则实数m的取值范围是.
分析 本题综合考察集合及其运算、直线与圆的位置关系、含参分类讨论、点到直线距离公式、两条直线位置关系、解不等式，这道集合问题比较抽象，是一道难题，根据题目的意思，我们不妨借助利用数形结合法解答
解析 当m≤0时，集合A是以（2，0）为圆心，以m为半径的圆，集合B是在两条平行线之间，∵+m=（１－）m+>0，因为A∩B≠，此时无解；当m>0时，集合A是以（2，0）为圆心，以和m为半径的圆环区域，集合B是在两条平行线之间的带状区域，必有≥m，≤m，∴≤m≤+1. 又因为≤m2，∴≤m≤+1.
点评 有的集合问题比较抽象，解题时若借助韦恩图进行数形分析或利用数轴、图像，采用数形结合方法，往往可使问题直观化、形象化，进而能使问题简捷、准确地获解
例3已知集合A={（x，y）|x2+（y-1）2=1}，B={（x，y）|x+y+a≥0}，若A∩B=A，求实数a的取值范围.
分析 A，B均为点集，A是一个圆上的点组成的集合，B是一个平面区域组成的集合，A∩B=A说明圆在平面区域内，据此我们考虑数形结合思想方法来解题.
解析 A∩B=A?圳AB，所以圆x2+（y-1）2=1总在平面区域x+y+a≥0内，如右图所示，当x=y=0时，x+y+a≥0中的a≥0，所以直线y=-x-a的截距小于零，在坐标系中作出平面区域和圆，当直线y=-x-a在图中的位置且向左下方平移时，均满足条件，故只需求出临界状态下的截距.由直线y=-x-a与圆x2+（y-1）2=1相切，得=1，解得a=-1或a=--1（舍去）. 所以实数a的取值范围是a≥-1.
点评 本题可以用代数法求解，但是过程复杂，运算量大，根据题目的特征，我们利用数形结合思想，快速解答了本题. 通过本例题可以看出，通过挖掘问题的几何意义，构造出问题的几何模型，以形助数，用数形结合法既可借助直观获得简捷解法，又可避免因对限制条件考虑不周造成的失误，还有利于沟通数学各个分支.
三、利用特殊与一般的思想方法解题
对于某个一般性的问题，如果一时难于解决，那么可以先解决它的特殊情况，即将研究对象的全体变为研究属于这个全体中的一个对象或部分对象，然后再把解决特殊情况的方法或结论应用或推广到一般问题上，从而获得一般性问题的解决，这就是特殊化思想.从特殊情况出发，推出一般情况的结论的思想方法在数学解题中是随处可见的，特殊情况比较容易猜想出结论.
例4 （2011年高考广东卷）设S是整数集Z的非空子集，如果a，b∈S，有ab∈S，则称S关于数的乘法是封闭的． 若T，V是Z的两个不相交的非空子集，T∪V=Z，且a，b，c∈T，有abc∈T；x，y，z∈V，有xyz∈V，则下列结论恒成立的是（）
A． T，V中至少有一个关于乘法是封闭的
B． T，V中至多有一个关于乘法是封闭的
C． T，V中有且只有一个关于乘法是封闭的
D. T，V中每一个关于乘法都是封闭的
分析 这是一道以集合知识为背景的开放性定义型问题，近两年来广东的高考都考了类似的题，从评卷的情况来看，此题失分大，失分的主要原因是题目字母多，比较抽象，考生不适应这类新定义（运算）问题的解答，解此类问题的关键是理解并且掌握题目给出的新定义与（新运算），思路是利用特殊与一般化地思想方法构造出满足题目条件的特殊的集合，这样就降低了题目的难度，有助于同学们正确理解题意.
解析 取T={x|x∈（-∞，1]，且x∈Z}，V={x|x∈[2，+∞），且x∈Z}，可得T关于乘法不封闭，V关于乘法封闭；又取T={奇数}，V={偶数}，可得T与V关于乘法均封闭，故排除B，C，D，选A.
例5 （2011年高考浙江卷）设a，b，c为实数，f（x）=（x+a）（x2+bx+c），g（x）=（ax+1）（cx2+bx+1），记集合S={x| f（x）=0，x∈R}，T={x|g（x）=0，x∈R）}，若S，T分别为集合S，T的个数，则下列结论不能成立的是（）
A. S＝１且 T＝0B. S＝１且 T＝1
C. S＝２且 T＝２D. S＝２且 T＝３
分析 这道高考题同样是字母符号多，要理解的概念多，初看难于下手，倘若我们给字母赋予特殊值，则题目就变成简单容易理解了，使题目快速获得解答.
解析 若a=b=c=0，则f（x）=x3=0，得到S=1，g（x）=1，g（x）=0无解，因此 T＝0，即选项A有可能成立；若a=1，f（x）=x（x2+bx+c），又满足b2-4c<0，则得到S=1且T=1成立，即f （x）=0与g （x）=0都仅有一个解x=-1，即选项B也是有可能成立的；若a=1，f（x）=x（x2+bx+c），又满足b2-4c=0（如b=2，c=），则得到S=2且T=2成立，即f （x）=0与g （x）=0有两个解x=-1和x=-，即选项C也是有可能成立的；若T=3，则b2-4c＞0，从而导致f（x）=（x+a）（x2+bx+c）也有3个解，因此S＝２且 T＝３不可能成立，选D.
点评 从上述两道高考题的解答来看，凡是遇到抽象晦涩难懂的集合题目时我们都可尝试利用特殊与一遍的思想方法解题，命题对一般情况成立，对特殊情况也成立；对特殊情况不成立，对一般情况肯定不成立，选取特殊时也要注意选取恰当的集合,否则容易出错.
四、利用分类讨论思想方法解题
当面临的数学问题有多种情形加以说明，不能一概而论或不能用一种方法或同一的形式加以解决时，我们必须把面临的对象划分为几类，分别加以解决，这就是分类讨论思想方法.
例6 设集合S={A0，A1，A2，A3}，在S上定义运算为：AiAj=Ak，其中k为i+j被4除的余数，i、j=0，1，2，3则满足关系式（xx）A2=A0的x的个数为（）
A. 1B. 2C.3D. 4
解析 Aj表示由被4除的余数i（i=0，1，2，3）组成的集合，若x=A0，则xx=A0A0=A0，A0A2=A2≠A0；若x=A1，则xx=A1A1=A2，A2A2=A0，继续验证x=A3，A2分别与x=A1，A0情况相同，选B.
点评 应用分类讨论思想方法解答问题时要做到能根据解题需要确定讨论对象及讨论的范围，把讨论对象进行合理的分类，做到不重复、不遗漏，对每一类分别进行讨论，最后将各类的结论归纳、化简，得出结论.
五、利用转化与化归思想解题
在解集合问题时，当一种集合的表达式不好入手时，可将其先转化为另一种形式. 如将A∩B=B或A∪B=A转化为BA，将（UA）∪（UB）转化为U（A∩B），将（UA）∩（UB）转化为U（A∪B）等，转化与化归思想在解答集合部分的题目的作用是相当大的，在解题中有意识地利用转化与化归思想解题有助于提高解题的能力和速度.
例7 已知集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|mx-1=0}，若A∪B=A，求实数m的值.
分析 由A∪B=A转化为BA，我们就容易理解题意了.
解析 A={x|x2-3x+2=0}={1，２}.
因为A∪B=A，所以BA.
当B＝时，m=0，满足题意.
当B≠时，若x=1，则有m=1，满足题意.
若x=2，则有m=，满足题意.
综上所述实数m的值为0，1，.
点评 本题的这种解法充分体现了将问题进行等价转化的重要性. 很多同学在解题时由于不会等价转化，从而忽视对空集的讨论，导致漏解.
六、利用补集思想方法解题
补集思想是解答数学问题中的一种重要的思想方法，补集思想是“正难则反”的发散性思维的运用，是逆向思维的一种表现方式，从正面尝试解答某个问题遇到障碍时，补集思想往往会成为解题的有效手段，其基本步骤是：从其反面来考虑，先求其补集，再次求补集即为所求集合.
例8 已知集合P={x|4≤x≤5，x∈R}，Q={x|k+1≤x≤2k-1，x∈R}，求当P∩Q≠Q时，实数k的取值范围.
分析 P∩Q≠Q的情况比较复杂，若正面求解，需要一一列举出来分别讨论，然后再求并集，运算量相当大，并且不容易考虑周全,注意到“≠”比较特殊单纯，从问题的反面去思考探究，就容易得到正面结论，这就是补集思想在解题的灵活运用.
解析 若P∩Q=Q时，即QP，
当Q=时，k+1>2k-1，解得k<2.
当Q≠时，k+1≥4,2k-1≤5,k+1≤2k-1,解得k=3.
所以当k<2或k=3时P∩Q=Q，
故当k≥2且k≠3时P∩Q≠Q.
例9 设全集U={2，４，２m2-3m-3}，集合A={2，m2-m+2}，UA={-1}，求m的值.
分析 初看这道题不容易下手，通过挖掘题目中的条件，可得UA∪A=U，所以m2-m+2只能等于4，或者-1一定在集合U中但不在集合A中，则问题迎刃而解了.但是要注意检验.
解析 因为UA={-1}，所以-1∈U，得2m2-3m-3=-1，得2m2-3m-２=０，解得m＝２或m＝-.
把m＝-代入集合Ａ，得到Ａ={２，}，m＝-不合题意，舍去；
把m＝２代入集合Ａ，得到Ａ={２，４}，合题意. 所以m＝２.
点评 解答上述两道题的关键是充分利用了集合中的补集思想和基本性质，在解答与补集有关的命题时，要注意的是（1）补集中的元素一定是全集中的元素，但是全集中的元素不一定是补集中的元素，也就是说补集是全集的子集.（2）根据条件确定集合中的参数的值时，列方程是关键，解出参数后要验证，否则易出错.
（作者单位：广东省五华县五华中学）
责任编校徐国坚
“本文中所涉及到的图表、公式、注解等请以PDF格式阅读”