论文部分内容阅读
数学教学的一个重要任务就是教学生学习如何解数学题，教学生学会“数学地思维”.数学解题对学生巩固知识、培养素质、发展能力和促进个性心理发展具有极其重要的作用和意义［1］.然而，在数学解题教学实践中，常发现部分学生在遇到陌生的问题时，感到无从下手，觉得无章可循.如何有效地提高学生分析问题与解决问题的能力？本文认为除了做好审题、规范表达等工作外，一个重要途径是强化学生在解题中的目标意识.
一、 目标意识在解题中的作用
目标意识是人们对目标的重要性达到理性认识后所产生的一种心理倾向.它不仅能避免思维活动的盲目性，也是思维的动力，是进行有效活动的基础［2］.目标意识促使解题者对问题的条件与结论之间的关系作出反应，在个体已有知识与解题经验的参与下，确定什么知识与经验与目前的解题任务有关，从而确定解题思路.
1.1目标意识确定解题方向
在解题活动中，目标意识首先作出反映：“目标是什么？”、“怎样才能达到目标？”.目标意识会时时提醒解题者要做什么，促使解题者的思维紧紧围绕目标进行，促使解题者尽快寻找并能制定出合理的解决方案.
案例1已知f(x)=asinx+btanx-cx5-8且f(-2)=10，则f(2)=.
分析：目标意识促使我们思考：f(2)=？f(2)与f(-2)有关系吗？有什么样的关系？在目标意识的引导下，我们观察目标f(2)=asin2+btan2-25c-8与已知条件f(-2)=asin(-2)+btan（-2）-（-2）5c-8的结构特征，发现需整体求出asin2+btan2-25c的值，而不是求出a、b、c、sin2、tan2的值（实际上无法求出），自然地想到将已知条件f（-2）=asin（-2）+btan（-2）-（-2）5c-8=10化简，即：
-asin2-btan2+25c-8=10，解得asin2+btan2-25c=-18，所以f(2)=-26.
上述解题思路的获得是在目标意识下启动与定向的.在解题活动中，解题者的目标意识的强弱直接影响到他能否迅速、准确地解决问题.目标意识强的人，总能通过观察、分析、猜想等活动找到目标；目标意识弱的人则在解题时行动盲目，该求的没求，不该求的却写了很多，事倍而功半，甚至会发生本来已到目标之门时却又离它而去的遗憾，从而导致解题的失败.这一点不难从下例得到佐证.
案例2设椭圆C1∶x2m+y2=1（m＞1），将椭圆C1绕中心按逆时针旋转90°得椭圆C2，且椭圆C2的短轴两端点分别与椭圆C1的两焦点重合，求椭圆C2的方程
生：由题设可知C1的焦点为F1（-m-1，0）、F2（m-1，0），则椭圆C2的短轴为2b=2m-1，从而椭圆C2的方程为y2m+x2m-1=1（解题到此结束）
从以上的解题过程可以看出，该学生的解题思维混乱，缺乏明确的目标意识，从而导致解决问题的失败.
1.2目标意识引导解题活动的展开与深入
数学解题是一个再发现、再创造的过程.在这个过程中，目标意识会促使我们不断地寻找中间目标，将思维引向深处，直至问题的最后解决.
案例3已知函数f(x)=x3-3x，若过点A（2，m）可作曲线y=f(x)的三条切线，求实数m的取值范围.
分析：本题条件与目标“m的取值范围”较远，可分几个阶段目标探索解题的方案：
目标1：求出函数f(x)=x3-3x的切线方程
设切点为（x0，x30-3x0），则由于f′(x)=3x2-3所以f′(x0)=3x20-3，故切线方程为y-(x30-3x0)=(3x20-3)（x-x0）
目标2：求出m与x0的关系
由于切线过点A（2，m）所以m-（x30-3x0）=（3x20-3）（2-x0）得：m=-2x30+6x20-6
目标3：关于x0的方程m=-2x30+6x20-6何时有三个解？
令g(x)=-2x3+6x2-6，则g′(x)=-6x2+12x=-6x(x-2)
由g′(x)=0得x=0或x=2，故g(x)极小值=g(0)=-6，
g(x)极大值=g(2)=2
画出函数g(x)草图如图所示，由图知，当-6＜m＜2时，m=-2x3+6x2-6有三解，所以m的取值范围是（-6，2）
上述解题的思路是在目标意识的引导下展开与深入的，目标意识引导解题者分析条件与目标的差距、紧紧围绕目标层层推进，从而找到了解题的方法，达到解题之目的.
1.3目标意识引导优化解题方法
目标意识促使解题者在解题过程中思考“我所采用的方法能达到目标吗？有没有更好的方法？”，从而促使学生重新审视自己的思维过程，促使学生的思维朝着灵活、新颖的方向发展，在对问题本质的认识不断深化中提高分析、解决问题的能力，促使学生形成一个优良的数学认知结构.
案例4如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，PA＝AB＝4，G为PD中点，E为AB的中点，平面PEC⊥平面PDC，AG∥平面PEC.求点G到平面PEC的距离.
在解题时，多数学生想到的方法是：A、G两点到平面PEC的距离相等——求出点A到平面PEC的距离——用等积法求出点A到平面PEC的距离.
上述方法是将G点到平面PEC的距离转化到A点到平面PEC的距离，再用等体积法求解，思路清晰，但运算量较大.在目标意识的作用下，解题者会思考“可以直接求出点G到平面的距离吗？”从而会产生如下较简便的解法：
解法：如图所示，作GF⊥PC，DH⊥PC，则DH∥GF
∵ 平面PDC⊥平面PEC，而面PDC∩面PEC=PC
∴ GF⊥面PEC，即点G到平面PEC的距离为GF
在△PDC中，PD=42，DC=4，PC=43而DH=PD•DCPC=463
G为PD的中点，则GF=12DH=263
即点G到平面PEC的距离为263
目标意识促使学生探索出新的解题途径，比较出几种解法的优劣，可以使学生对所学知识有了进一步的理解,对知识的内在联系脉络更清楚，运用规律了如指掌，运用起来得心应手，解决问题的能力大大提高.
数学学习与解题密切相关，学生数学能力的提高不在于解题的数量而在于质量.目标意识在解题活动的各个阶段都发挥着重要的作用，它时时提醒我们要做什么，它促使我们在解题活动中的思维紧紧围绕目标进行展开，而不偏离方向，从而能快速准确地解决问题.学生在解题时没有目标意识，就会行动盲目，从而在解题时劳神费力，事倍功半.在数学解题教学中加强培养学生的目标意识，对于提高学生的分析问题、解决问题的能力有着重要的意义.
二、 解题中目标意识的培养途径
2.1理解题目确定解题目标
实践表明，解题目标并没有引起解题者的足够重视，部分学生在解题时常常没有看完问题或没有理解题意、方向未明时就匆匆作答，从而导致解题的失败.波利亚在《数学解题》中建议：在解题时必须理解题目.理解题目是解题的第一步也是成功解题的前提条件，其任务是获取题目所提供的各种信息，以供思维加工.当解题目标确定后时，它促使解题者结合解题目标与已知条件，对所获得的信息进行分析加工，发掘问题的本质，进而找到解题的突破囗.所以在解题教学中，教师要引导学生抓住题设条件，弄清楚题目的已知条件是什么？要做什么？并思考“题中的条件对于所要求解的问题有什么作用？能否直接应用？我该怎样做，才能达到目标？”.
2.2发挥主体地位强化解题主体意识
在解题教学中，部分教师习惯于直接讲解解题的思路而忽视了学生是解题的主体、较少引导学生思考“本题的目标是什么？”、“怎样才达到目标”.这样做的一个直接后果便是当学生遇到陌生的问题时，便不知从何处入手，感到无章可循.因此，在解题教学中，教师必须强化学生解题的主体地位，多问学生几个“本题的目标是什么？”、“怎样才能达到目标？”，使学生有机会去锻炼自己能主动确定解题的目标、分析解题的任务的能力.这样学生就能在解题时自觉地确定解题目标、寻找解决问题的方法并能最终解决问题.
参考文献
［1］涂荣豹.数学解题的有意义学习［J］.数学教育学报，2001，4
［2］丁志勇.目标意识在解题教学中的作用［J］.数学通报，1998，1
［3］李玉琪.数学解题中的目标意识与思维监控［J］.高中数学教与学，2004，8
［4］徐汝成.目标意识在解题中的作用［J］.中学数学教学参考，2001，9
［5］波利亚.怎样解题［M］.上海：上海科技教育出版社，2002
［6］谈数学教学中的问题解决与元认知开发.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
一、 目标意识在解题中的作用
目标意识是人们对目标的重要性达到理性认识后所产生的一种心理倾向.它不仅能避免思维活动的盲目性，也是思维的动力，是进行有效活动的基础［2］.目标意识促使解题者对问题的条件与结论之间的关系作出反应，在个体已有知识与解题经验的参与下，确定什么知识与经验与目前的解题任务有关，从而确定解题思路.
1.1目标意识确定解题方向
在解题活动中，目标意识首先作出反映：“目标是什么？”、“怎样才能达到目标？”.目标意识会时时提醒解题者要做什么，促使解题者的思维紧紧围绕目标进行，促使解题者尽快寻找并能制定出合理的解决方案.
案例1已知f(x)=asinx+btanx-cx5-8且f(-2)=10，则f(2)=.
分析：目标意识促使我们思考：f(2)=？f(2)与f(-2)有关系吗？有什么样的关系？在目标意识的引导下，我们观察目标f(2)=asin2+btan2-25c-8与已知条件f(-2)=asin(-2)+btan（-2）-（-2）5c-8的结构特征，发现需整体求出asin2+btan2-25c的值，而不是求出a、b、c、sin2、tan2的值（实际上无法求出），自然地想到将已知条件f（-2）=asin（-2）+btan（-2）-（-2）5c-8=10化简，即：
-asin2-btan2+25c-8=10，解得asin2+btan2-25c=-18，所以f(2)=-26.
上述解题思路的获得是在目标意识下启动与定向的.在解题活动中，解题者的目标意识的强弱直接影响到他能否迅速、准确地解决问题.目标意识强的人，总能通过观察、分析、猜想等活动找到目标；目标意识弱的人则在解题时行动盲目，该求的没求，不该求的却写了很多，事倍而功半，甚至会发生本来已到目标之门时却又离它而去的遗憾，从而导致解题的失败.这一点不难从下例得到佐证.
案例2设椭圆C1∶x2m+y2=1（m＞1），将椭圆C1绕中心按逆时针旋转90°得椭圆C2，且椭圆C2的短轴两端点分别与椭圆C1的两焦点重合，求椭圆C2的方程
生：由题设可知C1的焦点为F1（-m-1，0）、F2（m-1，0），则椭圆C2的短轴为2b=2m-1，从而椭圆C2的方程为y2m+x2m-1=1（解题到此结束）
从以上的解题过程可以看出，该学生的解题思维混乱，缺乏明确的目标意识，从而导致解决问题的失败.
1.2目标意识引导解题活动的展开与深入
数学解题是一个再发现、再创造的过程.在这个过程中，目标意识会促使我们不断地寻找中间目标，将思维引向深处，直至问题的最后解决.
案例3已知函数f(x)=x3-3x，若过点A（2，m）可作曲线y=f(x)的三条切线，求实数m的取值范围.
分析：本题条件与目标“m的取值范围”较远，可分几个阶段目标探索解题的方案：
目标1：求出函数f(x)=x3-3x的切线方程
设切点为（x0，x30-3x0），则由于f′(x)=3x2-3所以f′(x0)=3x20-3，故切线方程为y-(x30-3x0)=(3x20-3)（x-x0）
目标2：求出m与x0的关系
由于切线过点A（2，m）所以m-（x30-3x0）=（3x20-3）（2-x0）得：m=-2x30+6x20-6
目标3：关于x0的方程m=-2x30+6x20-6何时有三个解？
令g(x)=-2x3+6x2-6，则g′(x)=-6x2+12x=-6x(x-2)
由g′(x)=0得x=0或x=2，故g(x)极小值=g(0)=-6，
g(x)极大值=g(2)=2
画出函数g(x)草图如图所示，由图知，当-6＜m＜2时，m=-2x3+6x2-6有三解，所以m的取值范围是（-6，2）
上述解题的思路是在目标意识的引导下展开与深入的，目标意识引导解题者分析条件与目标的差距、紧紧围绕目标层层推进，从而找到了解题的方法，达到解题之目的.
1.3目标意识引导优化解题方法
目标意识促使解题者在解题过程中思考“我所采用的方法能达到目标吗？有没有更好的方法？”，从而促使学生重新审视自己的思维过程，促使学生的思维朝着灵活、新颖的方向发展，在对问题本质的认识不断深化中提高分析、解决问题的能力，促使学生形成一个优良的数学认知结构.
案例4如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，PA＝AB＝4，G为PD中点，E为AB的中点，平面PEC⊥平面PDC，AG∥平面PEC.求点G到平面PEC的距离.
在解题时，多数学生想到的方法是：A、G两点到平面PEC的距离相等——求出点A到平面PEC的距离——用等积法求出点A到平面PEC的距离.
上述方法是将G点到平面PEC的距离转化到A点到平面PEC的距离，再用等体积法求解，思路清晰，但运算量较大.在目标意识的作用下，解题者会思考“可以直接求出点G到平面的距离吗？”从而会产生如下较简便的解法：
解法：如图所示，作GF⊥PC，DH⊥PC，则DH∥GF
∵ 平面PDC⊥平面PEC，而面PDC∩面PEC=PC
∴ GF⊥面PEC，即点G到平面PEC的距离为GF
在△PDC中，PD=42，DC=4，PC=43而DH=PD•DCPC=463
G为PD的中点，则GF=12DH=263
即点G到平面PEC的距离为263
目标意识促使学生探索出新的解题途径，比较出几种解法的优劣，可以使学生对所学知识有了进一步的理解,对知识的内在联系脉络更清楚，运用规律了如指掌，运用起来得心应手，解决问题的能力大大提高.
数学学习与解题密切相关，学生数学能力的提高不在于解题的数量而在于质量.目标意识在解题活动的各个阶段都发挥着重要的作用，它时时提醒我们要做什么，它促使我们在解题活动中的思维紧紧围绕目标进行展开，而不偏离方向，从而能快速准确地解决问题.学生在解题时没有目标意识，就会行动盲目，从而在解题时劳神费力，事倍功半.在数学解题教学中加强培养学生的目标意识，对于提高学生的分析问题、解决问题的能力有着重要的意义.
二、 解题中目标意识的培养途径
2.1理解题目确定解题目标
实践表明，解题目标并没有引起解题者的足够重视，部分学生在解题时常常没有看完问题或没有理解题意、方向未明时就匆匆作答，从而导致解题的失败.波利亚在《数学解题》中建议：在解题时必须理解题目.理解题目是解题的第一步也是成功解题的前提条件，其任务是获取题目所提供的各种信息，以供思维加工.当解题目标确定后时，它促使解题者结合解题目标与已知条件，对所获得的信息进行分析加工，发掘问题的本质，进而找到解题的突破囗.所以在解题教学中，教师要引导学生抓住题设条件，弄清楚题目的已知条件是什么？要做什么？并思考“题中的条件对于所要求解的问题有什么作用？能否直接应用？我该怎样做，才能达到目标？”.
2.2发挥主体地位强化解题主体意识
在解题教学中，部分教师习惯于直接讲解解题的思路而忽视了学生是解题的主体、较少引导学生思考“本题的目标是什么？”、“怎样才达到目标”.这样做的一个直接后果便是当学生遇到陌生的问题时，便不知从何处入手，感到无章可循.因此，在解题教学中，教师必须强化学生解题的主体地位，多问学生几个“本题的目标是什么？”、“怎样才能达到目标？”，使学生有机会去锻炼自己能主动确定解题的目标、分析解题的任务的能力.这样学生就能在解题时自觉地确定解题目标、寻找解决问题的方法并能最终解决问题.
参考文献
［1］涂荣豹.数学解题的有意义学习［J］.数学教育学报，2001，4
［2］丁志勇.目标意识在解题教学中的作用［J］.数学通报，1998，1
［3］李玉琪.数学解题中的目标意识与思维监控［J］.高中数学教与学，2004，8
［4］徐汝成.目标意识在解题中的作用［J］.中学数学教学参考，2001，9
［5］波利亚.怎样解题［M］.上海：上海科技教育出版社，2002
［6］谈数学教学中的问题解决与元认知开发.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文