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摘要：机械原理课程中机构自由度研究的范畴大多是平面机构，本文着重研究空间机构的自由度问题，分析了三维空间中的刚体及其所组成的空间机构自由度的组成和特点，总结归纳空间机构自由度的计算方法，并对一些特殊的机构自由度分析方法进行探讨，在机械原理课程教学中作为相关内容的补充，取得了较好的教学效果。
关键词：空间机构；机构自由度分析；机械原理；教学探索
中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2013）33-0243-03
机构自由度分析是机械原理课程和机构学研究的基础与重要内容。机构是指可以完成规定动作的结构组合，是可动的，机构自由度分析是研究机构运动规律和设计机构时的重要参数。在机械原理课程研究范畴和教学中，研究对象大多是平面机构，对空间机构涉及甚少，而在实际中空间机构却占有重要地位，本文着重对空间机构的自由度分析和教学探索进行研讨。
一、自由度概念
（1）自由构件（刚体）自由度：自由构件（刚体）拥有的独立相对运动的数目。一个物体（刚体）在三维空间中有6个自由度，分别是绕3个坐标轴的转动和沿3个坐标轴的移动。（2）运动副自由度：运动副是构件间的一种活动连接，它既限制所连接的两个构件的相对运动，提供一定约束，又保留了构件间的一定相对运动，所保留的独立相对运动数目称为运动副的自由度。（3）机构自由度：指机构中各活动构件相对于机架所具有的独立运动的数目，即主动件或可控关节的数目[1]。
二、运动副分类
用f表示运动副的自由度，c表示运动副提供的约束数目，则二者具有如下关系：f=6-c（1）根据运动副的自由度可以将运动副分为5类。
1.Ⅰ类副（f=1，c=5）：转动副（R）：只保留一个旋转自由度。移动副（P）：只保留一个移动自由度。
2.Ⅱ类副（f=2，c=4）：圆柱副（C）：具有一个转动自由度和一个移动自由度。球销副（S′）：具有两个转动自由度。
3.Ⅲ类副（f=3，c=4）：球面副（S）：具有三个转动自由度。平面副（E）：具有两个移动自由度和一个转动自由度。
4.Ⅳ类副（f=4，c=2）：圆柱平面副（CE）：具有两个转动自由度和两个移动自由度。球槽副（SG）：具有三个转动自由度和一个移动自由度。
5.Ⅴ类副（f=5，c=1）：球平面副（SE）：具有三个转动自由度和两个移动自由度。
三、机构自由度分析
1.空间（一般）机构自由度。在空间机构中，每个可动构件在三维空间有6个自由度，若该机构有n个可动构件，则构件自由度总数为6n。其中：每个Ⅰ类副提供5个约束，若机构中有p1个Ⅰ类副，将提供5p1个约束。每个Ⅱ类副提供4个约束，若机构中有p2个Ⅱ类副，将提供4p2个约束。每个Ⅲ类副提供3个约束，若机构中有p3个Ⅲ类副，将提供3p3个约束。每个Ⅳ类副提供2个约束，若机构中有p4个Ⅳ类副，将提供2p4个约束。每个Ⅴ类副提供1个约束，若机构中有p5个Ⅴ类副，将提供1p5个约束。
即：F=6n-（5p1+4p2+3p3+2p4+p5）
=?摇6n-［（6p1-p1）+（6p2-2p2）+（6p3-3p3）+（6p4-4p4）+（6p5-5p5）］=6n-6■pi+■ipi （2），式中：■pi——机构中各类运动副的数目之和；■ipi——机构中各类运动副的自由度数目之和。令p=■p，■fi=■ipi。则机构的一般自由度计算公式为：F=6（n-p）+■fi （3），式中：n——可动构件数目；p——各类运动副数目总和；■fi——各类运动副自由度数目总和[2，3]。
2.机构自由度分析应注意的问题。之所以有时运用前面介绍的自由度计算方法不能得到正确的结果，是由于某些特殊的机构存在过约束问题。在这些机构中，由于运动副位置的特殊布置或者机构中的特殊几何约束条件的存在，使得机构自由度发生了变化，在计算此类过约束机构的自由度时应加以额外考虑。①公告约束m。当机构中所有构件都受到相同的约束时，它们将失去相同的基本运动。把各构件共同失去的相同基本运动数目，称为公共约束，用m表示。由机构的一般自由度计算公式（2）可以看出，当计算闭链机构自由度时，若机构的公共约束为m，则相当于多减去了m个约束，故在计算时应该将多减去的公共约束m加上。②虚约束（消极约束）λ0：机构中的约束有些往往是重复的，这些重复的约束对构件间的相对运动不起独立的限制作用，称之为虚约束或消极约束，机构自由度计算时应先将其除去后再进行。应当指出的是，从机构运动的观点分析，虚约束是多余的，但从提高构件的刚度和改善机构的受力条件来说却是有益的。如图3所示的平行四杆机构中，中间的连杆EF与AB和CD杆平行，对机构运动不起独立的限制作用，是虚约束，计算时应该除去，但是从提高机构的受力条件出发却是有意义的。③局部自由度ft：机构中，某些运动副或运动链的运动自由度只在局部起作用，对整个机构的运动没有影响，称为局部自由度，不应参与整个机构计算。④消极自由度fp：由于机构结构的特殊几何条件，使机构中原有自由度中的一些不起运动学作用或作用重复，称之为消极自由度。如图3中D处的球面副，所拥有的三个转动自由度只有绕Z轴的转动具有意义，其余的两个转动在机构中不起作用，故在计算机构自由度时应减去。需要指出，消极自由度与局部自由度在计算机构自由度时没有本质区别，可以按照局部自由度来处理。
四、几种特殊机构自由度
1.空间开链机构自由度。空间开链机构中，可动构件数目与运动副数目相等，即有n=p，将其代入式（3）可得：F=■fi （4），由此可见，开链机构的自由度等于机构中各类运动副自由度数目之和[4]。计算图1中所示机械手的自由度。该机械手为一个空间开链机构，有4个转动副、一个移动副和一个圆柱副。其中，转动副与移动副自由度数为1，圆柱副自由度数为2。
因此，F=■fi=4+1+2=7，该机械手自由度数为7，需要有7个主动件。在机械人相关学科领域中，习惯上不将末端执行器部分参与机构的相关计算。
2.单环闭链机构自由度。单环闭链机构的特点有p-n=1，代入式（3）得：F=■fi-6 （5）
计算图2所示机构的自由度。
按空间机构进行计算，则构件5两端的球面副E和F均为虚约束，应除去不参与计算；■fi=6；m=3；fp=2；ft=0。
F=6（n-p）+■fi+m-fp-ft=6（3-4）+6+3-2-0=1
若按平面机构进行计算，则构件5为两端的球面副E和F均为虚约束，不参与计算，D处的球面副在平面机构中等同于转动副。F=3n-2pl-ph=9-2×4-0=1
3.多环闭链机构自由度。使用“拆开末杆法”，空间单环闭链机构自由度可由下式计算：F=■fi-λ （6）若为多环闭链机构，则为：F=■fi-■λ1 （7），式中：■fi——相当于把闭链机构末杆拆开后的开链机构自由度；■λ1——多环闭链机构中各闭环末杆拆开后的自由度之和；λ——拆开后的闭链机构末杆自由度；L——多环闭链机构闭环数。
在实际的机构学研究和机械原理课程教学中，空间机构较为常见，在进行自由度研究时依据平面机构的自由度理论已经不能满足要求，本文对空间机构的自由度进行了有益探索，分析了刚体、运动副以及空间机构的自由度问题，对空间机构的特点与自由度分析方法进行了归纳研究，总结了自由度分析时应注意的几点问题，并对一些结构特殊的机构进行了自由度分析探讨。
参考文献：
[1]张春林.高等机构学[M].第2版.北京：北京理工大学出版社，2006.
[2]吴昊.林木自行升降式采种机的研制[D].哈尔滨：东北林业大学硕士学位论文，2011.
[3]黄真，赵永生，赵铁石.高等空间机构学[M].北京：高等教育出版社，2006.
[4]赵景山，冯之敬，褚福磊.机器人机构自由度分析理论[M].北京：科学出版社，2009.
作者简介：吴昊（1985-），男，云南蒙自人，硕士研究生，讲师，主要从事机械产品设计与CAD/CAE/CAM方面的教学与科研工作。
关键词：空间机构；机构自由度分析；机械原理；教学探索
中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2013）33-0243-03
机构自由度分析是机械原理课程和机构学研究的基础与重要内容。机构是指可以完成规定动作的结构组合，是可动的，机构自由度分析是研究机构运动规律和设计机构时的重要参数。在机械原理课程研究范畴和教学中，研究对象大多是平面机构，对空间机构涉及甚少，而在实际中空间机构却占有重要地位，本文着重对空间机构的自由度分析和教学探索进行研讨。
一、自由度概念
（1）自由构件（刚体）自由度：自由构件（刚体）拥有的独立相对运动的数目。一个物体（刚体）在三维空间中有6个自由度，分别是绕3个坐标轴的转动和沿3个坐标轴的移动。（2）运动副自由度：运动副是构件间的一种活动连接，它既限制所连接的两个构件的相对运动，提供一定约束，又保留了构件间的一定相对运动，所保留的独立相对运动数目称为运动副的自由度。（3）机构自由度：指机构中各活动构件相对于机架所具有的独立运动的数目，即主动件或可控关节的数目[1]。
二、运动副分类
用f表示运动副的自由度，c表示运动副提供的约束数目，则二者具有如下关系：f=6-c（1）根据运动副的自由度可以将运动副分为5类。
1.Ⅰ类副（f=1，c=5）：转动副（R）：只保留一个旋转自由度。移动副（P）：只保留一个移动自由度。
2.Ⅱ类副（f=2，c=4）：圆柱副（C）：具有一个转动自由度和一个移动自由度。球销副（S′）：具有两个转动自由度。
3.Ⅲ类副（f=3，c=4）：球面副（S）：具有三个转动自由度。平面副（E）：具有两个移动自由度和一个转动自由度。
4.Ⅳ类副（f=4，c=2）：圆柱平面副（CE）：具有两个转动自由度和两个移动自由度。球槽副（SG）：具有三个转动自由度和一个移动自由度。
5.Ⅴ类副（f=5，c=1）：球平面副（SE）：具有三个转动自由度和两个移动自由度。
三、机构自由度分析
1.空间（一般）机构自由度。在空间机构中，每个可动构件在三维空间有6个自由度，若该机构有n个可动构件，则构件自由度总数为6n。其中：每个Ⅰ类副提供5个约束，若机构中有p1个Ⅰ类副，将提供5p1个约束。每个Ⅱ类副提供4个约束，若机构中有p2个Ⅱ类副，将提供4p2个约束。每个Ⅲ类副提供3个约束，若机构中有p3个Ⅲ类副，将提供3p3个约束。每个Ⅳ类副提供2个约束，若机构中有p4个Ⅳ类副，将提供2p4个约束。每个Ⅴ类副提供1个约束，若机构中有p5个Ⅴ类副，将提供1p5个约束。
即：F=6n-（5p1+4p2+3p3+2p4+p5）
=?摇6n-［（6p1-p1）+（6p2-2p2）+（6p3-3p3）+（6p4-4p4）+（6p5-5p5）］=6n-6■pi+■ipi （2），式中：■pi——机构中各类运动副的数目之和；■ipi——机构中各类运动副的自由度数目之和。令p=■p，■fi=■ipi。则机构的一般自由度计算公式为：F=6（n-p）+■fi （3），式中：n——可动构件数目；p——各类运动副数目总和；■fi——各类运动副自由度数目总和[2，3]。
2.机构自由度分析应注意的问题。之所以有时运用前面介绍的自由度计算方法不能得到正确的结果，是由于某些特殊的机构存在过约束问题。在这些机构中，由于运动副位置的特殊布置或者机构中的特殊几何约束条件的存在，使得机构自由度发生了变化，在计算此类过约束机构的自由度时应加以额外考虑。①公告约束m。当机构中所有构件都受到相同的约束时，它们将失去相同的基本运动。把各构件共同失去的相同基本运动数目，称为公共约束，用m表示。由机构的一般自由度计算公式（2）可以看出，当计算闭链机构自由度时，若机构的公共约束为m，则相当于多减去了m个约束，故在计算时应该将多减去的公共约束m加上。②虚约束（消极约束）λ0：机构中的约束有些往往是重复的，这些重复的约束对构件间的相对运动不起独立的限制作用，称之为虚约束或消极约束，机构自由度计算时应先将其除去后再进行。应当指出的是，从机构运动的观点分析，虚约束是多余的，但从提高构件的刚度和改善机构的受力条件来说却是有益的。如图3所示的平行四杆机构中，中间的连杆EF与AB和CD杆平行，对机构运动不起独立的限制作用，是虚约束，计算时应该除去，但是从提高机构的受力条件出发却是有意义的。③局部自由度ft：机构中，某些运动副或运动链的运动自由度只在局部起作用，对整个机构的运动没有影响，称为局部自由度，不应参与整个机构计算。④消极自由度fp：由于机构结构的特殊几何条件，使机构中原有自由度中的一些不起运动学作用或作用重复，称之为消极自由度。如图3中D处的球面副，所拥有的三个转动自由度只有绕Z轴的转动具有意义，其余的两个转动在机构中不起作用，故在计算机构自由度时应减去。需要指出，消极自由度与局部自由度在计算机构自由度时没有本质区别，可以按照局部自由度来处理。
四、几种特殊机构自由度
1.空间开链机构自由度。空间开链机构中，可动构件数目与运动副数目相等，即有n=p，将其代入式（3）可得：F=■fi （4），由此可见，开链机构的自由度等于机构中各类运动副自由度数目之和[4]。计算图1中所示机械手的自由度。该机械手为一个空间开链机构，有4个转动副、一个移动副和一个圆柱副。其中，转动副与移动副自由度数为1，圆柱副自由度数为2。
因此，F=■fi=4+1+2=7，该机械手自由度数为7，需要有7个主动件。在机械人相关学科领域中，习惯上不将末端执行器部分参与机构的相关计算。
2.单环闭链机构自由度。单环闭链机构的特点有p-n=1，代入式（3）得：F=■fi-6 （5）
计算图2所示机构的自由度。
按空间机构进行计算，则构件5两端的球面副E和F均为虚约束，应除去不参与计算；■fi=6；m=3；fp=2；ft=0。
F=6（n-p）+■fi+m-fp-ft=6（3-4）+6+3-2-0=1
若按平面机构进行计算，则构件5为两端的球面副E和F均为虚约束，不参与计算，D处的球面副在平面机构中等同于转动副。F=3n-2pl-ph=9-2×4-0=1
3.多环闭链机构自由度。使用“拆开末杆法”，空间单环闭链机构自由度可由下式计算：F=■fi-λ （6）若为多环闭链机构，则为：F=■fi-■λ1 （7），式中：■fi——相当于把闭链机构末杆拆开后的开链机构自由度；■λ1——多环闭链机构中各闭环末杆拆开后的自由度之和；λ——拆开后的闭链机构末杆自由度；L——多环闭链机构闭环数。
在实际的机构学研究和机械原理课程教学中，空间机构较为常见，在进行自由度研究时依据平面机构的自由度理论已经不能满足要求，本文对空间机构的自由度进行了有益探索，分析了刚体、运动副以及空间机构的自由度问题，对空间机构的特点与自由度分析方法进行了归纳研究，总结了自由度分析时应注意的几点问题，并对一些结构特殊的机构进行了自由度分析探讨。
参考文献：
[1]张春林.高等机构学[M].第2版.北京：北京理工大学出版社，2006.
[2]吴昊.林木自行升降式采种机的研制[D].哈尔滨：东北林业大学硕士学位论文，2011.
[3]黄真，赵永生，赵铁石.高等空间机构学[M].北京：高等教育出版社，2006.
[4]赵景山，冯之敬，褚福磊.机器人机构自由度分析理论[M].北京：科学出版社，2009.
作者简介：吴昊（1985-），男，云南蒙自人，硕士研究生，讲师，主要从事机械产品设计与CAD/CAE/CAM方面的教学与科研工作。