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马尔可夫链在许多学科如生物学、物理学、工程学、化学，以及商业等领域中，被用来做离散数据的数学模型.它用来描述用同一种方法进行多次实验或测量，实验中每次测试的结果属于n个指定的可能结果之一，每次测试结果仅依赖于最接近的前一次测试.
对任意给定的一天，我们假设将泰州地区的空气质量划分为好、中等与差三类.我们对泰州地区2014年度空气质量监测数据整理统计，得出一组数据：若今天空气好，则明天空气好的可能性是60%，空气中等的可能性是30%，空气差的可能性是10%；若今天的空气状况是中等，则明天的空气好的可能性是40%，空气中等的可能性是30%，空气差的可能性是30%；若今天的空气差，则明天空气好的可能性是40%，空气中等的可能性是50%，空气差的可能性是10%.这形成一个马尔可夫链.
具有非负分量且各分量的数值和等于1的向量称为概率向量.假设泰州地区今天空气好的可能性是50%，空气中等的可能性也是50%，那么空气差的可能性是0.令X0=0.50.50，X0中各分量之和为1，即为一个概率向量.这表明今天空气的质量初始状况.
各列向量均为概率向量组成的方阵称为随机矩阵.马尔可夫链是一个概率向量序列X0，X1，X2，…和一个随机矩阵P，使
X1=PX0，X2=PX1，X3=PX2，…
于是，马尔可夫链可用一阶差分方程来刻画：
Xk+1=PXk，k=0，1，2，…
当实数域上n维向量空间Rn中的一个马尔可夫链描述一个系统或实验的序列时，Xk中的数值分别列出系统在n个可能状态中的概率或实验结果是n个可能结果之一的概率.因此，Xk通常称为状态向量.在我们所刻划的泰州地区今天空气质量状况对明天空气状况影响的马尔可夫链模型中，矩阵P
今天好中等差明天
=0.60.40.40.30.30.50.10.30.1好中等差
P的每一列是概率向量，P称为一个随机矩阵.
假设泰州地区今天的空气状况分布形成的初始概率向量为X0=0.50.50，则明天的空气状况分布形成的概率向量为
X1=PX0=0.60.40.40.30.30.50.10.30.10.50.50=0.50.30.2.
这表明明天空气好的可能性是50%，空气中等的可能性是30%，空气差的可能性是20%.类似地，后天的空气状况分布由概率向量X2给出，则：
X2=PX1=0.60.40.40.30.30.50.10.30.10.50.30.2=0.50.340.16.
继续使用这种方法，有：
X3=PX2=0.50.3320.168，X4=PX3=0.50.33360.1664，
X5=PX4=0.50.33290.1671，X6=PX5=0.50.33340.1666，……
这些概率向量似乎逼近q=121316，这些概率由k的一个值到下一个值几乎不改变，且
Pq=0.60.40.40.30.30.50.10.30.1121316=121316=q.
由向量的知识，我们来解线性方程组PX=X，
即P-EX=O，其中E为三阶单位矩阵.
P-E=0.60.40.40.30.30.50.10.30.1-100010001=-0.40.40.40.3-0.70.50.10.3-0.9
对它进行一系列初等行变换，可得：
P-E→-1110-12000→10-301-2000.
由秩P-E=2，得解空间的维数为1.选取一组简单的基321，最后在
P-EX=O的解空间中求出一个概率向量q=121316.
从长远看，若这个系统处于状态q，则从一次测量到下一次测量时，系统没有发生变化，称概率向量q是满足Pq=q的相对于随机矩阵P的稳态向量.
由上面的计算可得：对任给一天，泰州地区空气质量好的可能性是12，空气中等的可能性是13，空气差的可能性是16.这表明泰州地区空气质量的总体状况是不错的.对长期行为的研究也是马尔可夫链最有趣最有价值的方面，对工农业生产等诸多方面有很现实的指导意义.
作者单位：江苏泰州学院数理学院
对任意给定的一天，我们假设将泰州地区的空气质量划分为好、中等与差三类.我们对泰州地区2014年度空气质量监测数据整理统计，得出一组数据：若今天空气好，则明天空气好的可能性是60%，空气中等的可能性是30%，空气差的可能性是10%；若今天的空气状况是中等，则明天的空气好的可能性是40%，空气中等的可能性是30%，空气差的可能性是30%；若今天的空气差，则明天空气好的可能性是40%，空气中等的可能性是50%，空气差的可能性是10%.这形成一个马尔可夫链.
具有非负分量且各分量的数值和等于1的向量称为概率向量.假设泰州地区今天空气好的可能性是50%，空气中等的可能性也是50%，那么空气差的可能性是0.令X0=0.50.50，X0中各分量之和为1，即为一个概率向量.这表明今天空气的质量初始状况.
各列向量均为概率向量组成的方阵称为随机矩阵.马尔可夫链是一个概率向量序列X0，X1，X2，…和一个随机矩阵P，使
X1=PX0，X2=PX1，X3=PX2，…
于是，马尔可夫链可用一阶差分方程来刻画：
Xk+1=PXk，k=0，1，2，…
当实数域上n维向量空间Rn中的一个马尔可夫链描述一个系统或实验的序列时，Xk中的数值分别列出系统在n个可能状态中的概率或实验结果是n个可能结果之一的概率.因此，Xk通常称为状态向量.在我们所刻划的泰州地区今天空气质量状况对明天空气状况影响的马尔可夫链模型中，矩阵P
今天好中等差明天
=0.60.40.40.30.30.50.10.30.1好中等差
P的每一列是概率向量，P称为一个随机矩阵.
假设泰州地区今天的空气状况分布形成的初始概率向量为X0=0.50.50，则明天的空气状况分布形成的概率向量为
X1=PX0=0.60.40.40.30.30.50.10.30.10.50.50=0.50.30.2.
这表明明天空气好的可能性是50%，空气中等的可能性是30%，空气差的可能性是20%.类似地，后天的空气状况分布由概率向量X2给出，则：
X2=PX1=0.60.40.40.30.30.50.10.30.10.50.30.2=0.50.340.16.
继续使用这种方法，有：
X3=PX2=0.50.3320.168，X4=PX3=0.50.33360.1664，
X5=PX4=0.50.33290.1671，X6=PX5=0.50.33340.1666，……
这些概率向量似乎逼近q=121316，这些概率由k的一个值到下一个值几乎不改变，且
Pq=0.60.40.40.30.30.50.10.30.1121316=121316=q.
由向量的知识，我们来解线性方程组PX=X，
即P-EX=O，其中E为三阶单位矩阵.
P-E=0.60.40.40.30.30.50.10.30.1-100010001=-0.40.40.40.3-0.70.50.10.3-0.9
对它进行一系列初等行变换，可得：
P-E→-1110-12000→10-301-2000.
由秩P-E=2，得解空间的维数为1.选取一组简单的基321，最后在
P-EX=O的解空间中求出一个概率向量q=121316.
从长远看，若这个系统处于状态q，则从一次测量到下一次测量时，系统没有发生变化，称概率向量q是满足Pq=q的相对于随机矩阵P的稳态向量.
由上面的计算可得：对任给一天，泰州地区空气质量好的可能性是12，空气中等的可能性是13，空气差的可能性是16.这表明泰州地区空气质量的总体状况是不错的.对长期行为的研究也是马尔可夫链最有趣最有价值的方面，对工农业生产等诸多方面有很现实的指导意义.
作者单位：江苏泰州学院数理学院