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【摘要】人们现在认识到数学已经成为金融学研究领域中常见的关键技术，它给金融学的发展带来了巨大的活力。数学在金融领域中的应用是可能的、必要的，但是也是有其局限的。金融数学自诞生以来经过半个世纪不断的扩充和修正，现在已经发展成为独立的、具有理论研究价值和实践研究价值的交叉学科。
【关键词】金融数学 适用性 局限性
数学是一门古老的科学，具有悠久的历史。同时数学还是一门应用性的工具学科，具有很强的适用性，许多的学科领域都引进了数学的方法来研究解决本学科的问题。数学的方法概括来说是利用理论模型引导人们的认识由未知走向已知，而金融学是一门从经济学中分化出来的应用性学科，实用性很强。它是利用理论模型把融通货币和货币资金从一种期望变成另一种期望，例如股票定价、期权定价模型，这些参数分别是期望红利和期望收益变动率，具有不确定性。正是这种理论模型的设计和对未来预期的不确定性，使数学和金融学存在着密不可分的内在联系。
一、数学方法在金融领域中应用的可能性和必要性
金融学是以融通货币和货币资金的活动为研究对象的，在金融活动中存在着一定的数量关系，具有确定性、可计量性。金融活动同经济活动一样既有外在现象的量的规定性，同时又有内在的质的规定性，这就决定了把数学方法应用于金融活动过程中是完全有可能的和必要的。金融活动中存在着大量的数据应用，比如证券、期货交易等等存在着大量的数据，这就使定量分析、实证分析成为可能和必要。在金融领域研究中搜集和整理这些数据，并运用数学模型对融通货币和货币金融活动中的利率、汇率、货币供给与需求、收益率、价格指数、利率等数据进行统计、分析，才能得出可靠的精确的结论。
数学具有逻辑和直观、分析和推理、共性和个性的特征，表现出高度的抽象性、精确性和严密的逻辑性。由于数学具有抽象性的特点，所以在金融研究中可以很好地借助数学的方法，深入地透过金融的现象发现金融问题背后的经济变量函数关系，使复杂的关系变得清晰可辨。由于数学的精确性，可以准确地描述金融活动过程中的数量关系，使人们可以轻易做出多少的判断。严密的逻辑性使数学分析成为科学推理的主要手段，它可以对复杂难辨的逻辑关系进行简洁明了的说明。如马尔柯维茨运用了适宜的数学方法证明了“不要把鸡蛋放在一个篮子里”的道理，从而使金融投资理念由传统的经验型转变成严谨的科学。阿罗与德布鲁同样运用数学的方法证明了一般均衡的存在，从而验证了斯密著名的“看不见的手”原理不再是一个假说，而是一个经过严格论证的定理。
一般金融学理论研究中应用数学方法主要有理论模型和实证分析两种形式。理论模型是用数学语言来表述金融學中某一理论的基本内容，实证分析是运用实际的定量化的统计数据来验证金融学中某一理论判断的正确与否和适用性。这两种方法是互相补充、相辅相成的。数量分析是前提，质的规定性是结果。只有定量分析，没有定性综合判断；只有定性综合判断，没有定量分析都是不可能得出正确科学的判断和可靠的结论的。
二、数学方法在金融领域中应用的可行性
20世纪80年代末期和90年代初期，由于金融学和数学的交叉产生了一门边缘性学科金融数学。金融数学就是现代数学和计算技术在金融领域中的应用，运用的主要现代数学理论和方法有随机分析、最优控制、组合分析、非线性分析、多元统计、数学规划等，金融研究对象主要是针对投资、债券、基金、股票、期货、期权等金融工具和市场的理论和实践进行数量的分析研究。其核心理论是不确定条件下的最优投资策略的选择理论和资产的定价理论。其中套利、最优和均衡是三个主要概念。金融数学学科的建立和发展，促进了金融工具的创新和对金融市场的有效运作，并且在公司的投资决策、开发项目评估和金融机构风险管理中也得到了广泛应用。
（一）金融数学发展历史
金融数学发展的历史最早可以追溯到1900年法国数学家巴谢利耶（Bachelier L）的博士论文“投机的理论”，文中首次运用了布朗（Brown）运动来描述股票的价格变化，标志着金融数学的诞生。1952年，马尔柯维茨（H.Markowits）在他的博士论文中提出了资产组合选择的均值方差理论。其意义是将人们原来期望寻找“最好”股票的想法引导到风险和收益的量化和平衡的理解上来。后来，夏普（William F Sharpe）和林特纳（Lintner J）进一步拓展了马尔维茨的研究工作，提出了资本资产定价模型（简称CAPM），紧接着米勒提出公司财务理论（MM理论），引发了第一次“华尔街金融革命”。马尔柯维茨、夏普和米勒因为他们三人在金融数学中开创性的贡献获得了1990年诺贝尔经济学奖。1973年，布莱克（Fisher Black）和斯克尔斯（M.Scholes）用数学方法给出了期权定价公式，后来，默顿（Merton R）对该公式进行了发展和深化。这使得金融交易者和银行家在衍生金融资产的交易中带来了便利，推动了期权交易的发展，成为第二次“华尔街金融革命”。斯克尔斯-默顿因此获得了1997年诺贝尔经济学奖。马尔维茨、夏普理论和布莱克、修斯公式一起构成了金融数学的主要内容，同时也奠定了研究新型衍生证券设计的新学科金融工程的理论基础。
（二）金融数学主要理论
1.投资组合理论。就是选择哪些资产进行投资以及每项投资所占的比例，使得在一定的风险下预期收益率最高，或者是在一定预期收益率的前提下风险最小。或者是由风险与收益率相匹配而形成的效用最大。马尔柯维茨用正态分布理论解决了投资组合问题，他用均值表示收益率，方差表示风险，将投资组合问题变为均值——方差关系的优化问题。
2.CAMP理论。在马尔柯维茨的均值方差投资组合理论的基础上，夏普、林特纳和默顿研究了均衡竞争市场中金融资产的价格形成，提出了资本资产的定价理论，简称CAMP。该模型意义为，证券投资的回报率与风险之间存在一定的定量关系，即因承担风险而得到风险报酬的定量关系；所有投资者都在证券市场线上选择证券，所选中的投资组合是投资者的有效函数与证券市场线的切点。夏普评价的关键就是求切点。这个理论在证券股价、投资组合的绩效测定、资本预算和投资风险分析中得到了广泛应用。 3.Black-Scholcs期权定价公式。1973年，布莱克和斯克尔斯在论文“期权定价与公司负债”中提出Black-Scholcs公式（简称B—S公式）。他们证明了期权的合理价格不依赖于投资者的偏好，即风险中性原则。由于B—S公式具有较强的实用性和可操作性，所以被广泛用来制作各种金融衍生品的价格，是开发新金融产品的工具。同时也为套期保值与风险管理开辟了新的研究空间。
4.鞅理论。当金融市場是有效假定的情况下，证券的价格可以等价于一个鞅随机过程。由于鞅理论和方法在现代金融理论中的应用，使得利用等价鞅测度的概念研究衍生证券定价的理论问题，得到的结果不仅深刻地揭示了金融市场的运行规律，而且还提供了一套有效求解复杂金融衍生品的定价与风险管理的算法。
5.最优停时理论。最优停时理论是概率论中一个具有很强实用性的领域。运用该理论研究具有固定交易费用的证券投资决策问题，能够给出具有两个风险证券投资决策问题的简化算法和精确的数值解。这种在金融领域中的研究已经取得了可喜的研究成果。
6.微分对策理论。微分对策理论主要是用来研究期权定价和投资决策问题。当金融市场不满足稳定假定或出现异常波动时，证券价格往往不符合几何布朗运动，这时用随机动态模型研究证券投资决策问题在理论上和实践上都存在较大偏差，用微分对策方法可以放松这一假设，针对最差情况进行优化，可以得到很强的投资策略。运用微分对策理论研究金融领域中投资决策的重复对策、随机对策、多人对策等前景广阔。
7.智能优化。智能优化方法有遗传算法、模拟退火算法、人工神经网络、小波分析等，把这些方法同传统方法结合起来，应用于风险控制和投资决策领域中具有广阔的研究前景。国际上在这方面已经取得了初步成果，我国也开始注重这方面的研究。
（三）金融数学的发展趋势
数学在金融领域研究中建立模型是需要许多假设条件的，可是在金融活动实际发展过程中，这些提前设定的假设条件有些与客观事实会出现差距甚至抵触，因此对实际问题的解决效果就不理想，范围也十分狭窄，这就需要在数学方法上进行改进和发展。世界各国社会发展、金融背景和管理模式都不相同，要达到研究的目的，需要建立符合自己国情的金融模型和分析方法。例如CAPM只适合欧式期权而不适合美式期权。即使研究中假设条件比较合理，由于金融环境和社会需求不断发生变化以及创新运动的发展，也为金融数学提出了越来越多的实际问题，因此我们不断的进行探索和创新是金融活动客观实际发展的需要。实证研究是金融数学的一个主要方向。实证研究的基本程序是从金融市场现实中取得数据、分析数据并建立数学模型，然后揭示数据背后隐含的规律，最后返回数据和现实中检验结论的正确与否。如果在实证研究中离开了实际数据的支持和检验，单纯从概念到概念进行定性分析，或者单纯从模型到模型进行逻辑推理，那就很难深入客观地揭示金融市场的发展规律。
金融系统由于存在着多因素、非线性、不确定性而成为复杂的系统，尤其是金融市场具有波动性、突发性、不完全性和不对称性等特征，一般不可归结为随机问题，这就为金融数学的发展提出了较高的要求，因此这也成为金融数学发展面临的重要课题。
三、数学方法在金融领域中应用的局限性
金融学所研究的对象一般具有复杂性、流动性、多变性、不确定性和不易计量的特点，同时还有许多非经济因素对其产生影响，其中包括政治的、军事的、文化的、民族的、宗教的、道德的、制度的、心理的、历史的等多种因素。而数学模型的表述意义和对现实的把握是相对的、有条件的，不是绝对的，一成不变的。建立数学模型的理论前提是需要一系列假设条件的，这些假设与现实金融活动过程在某些时候有可能是完全不吻合的、抵触的。如果出现了这种情况，数学模型就失去了它的表述意义和分析能力，对未来结果的预测也就很难找到最佳值和最佳方案。例如新古典学派在对一般均衡理论进行数理分析时提出的十二个假设条件，在现实中很难完全满足。再如次贷危机的产生、五大投资银行的衰落，也都说明了这一点。
数学的方法不同与其他的研究方法，有其自身的独特性。数学的方法能简练准确地说明和表示一些金融活动过程中的现象，但是数学的方法也是有其局限性的，不是万能的，并不是所有的金融问题都可以用数学方法来进行研究和解决，要根据具体的情况选择好实用的范畴和研究对象。运用数学方法研究金融领域中的问题首先要以质的分析为前提，数学方法的分析是居于次要地位的。所以无论数学方法的应用多么严谨科学、数量关系多么完备，数学终究只能作为一种辅助工具，任何夸大数学方法应用的做法都不是明智之举。例如，20世纪90年代，一些经济学家试图用随机微分和非参数统计方法研究金融问题，时至今日研究效果也不理想，偏差太大，不能用于实际应用。还有金融的高阶逻辑问题目前还不能在数理公理化体系中得到解决。
参考文献
[1]袁军.金融数学研究综述与展望.《商业时代》，2008.13.
[2]贾根良，徐尚.经济学怎样成了一门“数学科学”——经济思想史的一种简要考察.《南开学报》，2005.05.
[3]韩兆洲，邓勇.从诺贝尔经济学奖看经济学研究的数学化趋势，《南方经济》，2004.02.
[4]林云彤.浅析数学方法在金融领域的应用，《财经界》，2010.05.
[5]孙宗歧，刘宣会.金融数学概述及其展望.《重庆文理学院学报》，2010.12.
[6]张明军.浅谈数学在金融领域的发展及应用.《甘肃科技》，2009.2.
[7]韦敏.对经济学数学化的思考.《财经科学》，2003.03.
[8]杨民.反思经济学的数学化.《经济学家》，2005.05.
[9]张瑞兰.经济学数学化的理性思考.《生产力研究》，2006.04.
[10]晓欣，王朝科.经济学运用数学的条件.《经济经纬》，2008.02.
[11]薛佳佳，乔路芳.金融数学的现状与发展.《大庆师范学院学报》，2011.5.
[12]张金清，李徐.经济学中的“数学困惑”及其解析.《经济学家》，2007.03.
[13]王海民，任九泉.20世纪金融数学的若干进展及前瞻.《数量经济技术经济研究》，2001.07.
[14]吴开微，陈娟.数理金融理论及其应用.《集美大学学报》，2000.12.
[15]熊波.论经济学研究中数学方法的运用.《当代经济》，2007.10.
作者简介：杨晓玄，男，北京大学光华管理学院学生。
【关键词】金融数学 适用性 局限性
数学是一门古老的科学，具有悠久的历史。同时数学还是一门应用性的工具学科，具有很强的适用性，许多的学科领域都引进了数学的方法来研究解决本学科的问题。数学的方法概括来说是利用理论模型引导人们的认识由未知走向已知，而金融学是一门从经济学中分化出来的应用性学科，实用性很强。它是利用理论模型把融通货币和货币资金从一种期望变成另一种期望，例如股票定价、期权定价模型，这些参数分别是期望红利和期望收益变动率，具有不确定性。正是这种理论模型的设计和对未来预期的不确定性，使数学和金融学存在着密不可分的内在联系。
一、数学方法在金融领域中应用的可能性和必要性
金融学是以融通货币和货币资金的活动为研究对象的，在金融活动中存在着一定的数量关系，具有确定性、可计量性。金融活动同经济活动一样既有外在现象的量的规定性，同时又有内在的质的规定性，这就决定了把数学方法应用于金融活动过程中是完全有可能的和必要的。金融活动中存在着大量的数据应用，比如证券、期货交易等等存在着大量的数据，这就使定量分析、实证分析成为可能和必要。在金融领域研究中搜集和整理这些数据，并运用数学模型对融通货币和货币金融活动中的利率、汇率、货币供给与需求、收益率、价格指数、利率等数据进行统计、分析，才能得出可靠的精确的结论。
数学具有逻辑和直观、分析和推理、共性和个性的特征，表现出高度的抽象性、精确性和严密的逻辑性。由于数学具有抽象性的特点，所以在金融研究中可以很好地借助数学的方法，深入地透过金融的现象发现金融问题背后的经济变量函数关系，使复杂的关系变得清晰可辨。由于数学的精确性，可以准确地描述金融活动过程中的数量关系，使人们可以轻易做出多少的判断。严密的逻辑性使数学分析成为科学推理的主要手段，它可以对复杂难辨的逻辑关系进行简洁明了的说明。如马尔柯维茨运用了适宜的数学方法证明了“不要把鸡蛋放在一个篮子里”的道理，从而使金融投资理念由传统的经验型转变成严谨的科学。阿罗与德布鲁同样运用数学的方法证明了一般均衡的存在，从而验证了斯密著名的“看不见的手”原理不再是一个假说，而是一个经过严格论证的定理。
一般金融学理论研究中应用数学方法主要有理论模型和实证分析两种形式。理论模型是用数学语言来表述金融學中某一理论的基本内容，实证分析是运用实际的定量化的统计数据来验证金融学中某一理论判断的正确与否和适用性。这两种方法是互相补充、相辅相成的。数量分析是前提，质的规定性是结果。只有定量分析，没有定性综合判断；只有定性综合判断，没有定量分析都是不可能得出正确科学的判断和可靠的结论的。
二、数学方法在金融领域中应用的可行性
20世纪80年代末期和90年代初期，由于金融学和数学的交叉产生了一门边缘性学科金融数学。金融数学就是现代数学和计算技术在金融领域中的应用，运用的主要现代数学理论和方法有随机分析、最优控制、组合分析、非线性分析、多元统计、数学规划等，金融研究对象主要是针对投资、债券、基金、股票、期货、期权等金融工具和市场的理论和实践进行数量的分析研究。其核心理论是不确定条件下的最优投资策略的选择理论和资产的定价理论。其中套利、最优和均衡是三个主要概念。金融数学学科的建立和发展，促进了金融工具的创新和对金融市场的有效运作，并且在公司的投资决策、开发项目评估和金融机构风险管理中也得到了广泛应用。
（一）金融数学发展历史
金融数学发展的历史最早可以追溯到1900年法国数学家巴谢利耶（Bachelier L）的博士论文“投机的理论”，文中首次运用了布朗（Brown）运动来描述股票的价格变化，标志着金融数学的诞生。1952年，马尔柯维茨（H.Markowits）在他的博士论文中提出了资产组合选择的均值方差理论。其意义是将人们原来期望寻找“最好”股票的想法引导到风险和收益的量化和平衡的理解上来。后来，夏普（William F Sharpe）和林特纳（Lintner J）进一步拓展了马尔维茨的研究工作，提出了资本资产定价模型（简称CAPM），紧接着米勒提出公司财务理论（MM理论），引发了第一次“华尔街金融革命”。马尔柯维茨、夏普和米勒因为他们三人在金融数学中开创性的贡献获得了1990年诺贝尔经济学奖。1973年，布莱克（Fisher Black）和斯克尔斯（M.Scholes）用数学方法给出了期权定价公式，后来，默顿（Merton R）对该公式进行了发展和深化。这使得金融交易者和银行家在衍生金融资产的交易中带来了便利，推动了期权交易的发展，成为第二次“华尔街金融革命”。斯克尔斯-默顿因此获得了1997年诺贝尔经济学奖。马尔维茨、夏普理论和布莱克、修斯公式一起构成了金融数学的主要内容，同时也奠定了研究新型衍生证券设计的新学科金融工程的理论基础。
（二）金融数学主要理论
1.投资组合理论。就是选择哪些资产进行投资以及每项投资所占的比例，使得在一定的风险下预期收益率最高，或者是在一定预期收益率的前提下风险最小。或者是由风险与收益率相匹配而形成的效用最大。马尔柯维茨用正态分布理论解决了投资组合问题，他用均值表示收益率，方差表示风险，将投资组合问题变为均值——方差关系的优化问题。
2.CAMP理论。在马尔柯维茨的均值方差投资组合理论的基础上，夏普、林特纳和默顿研究了均衡竞争市场中金融资产的价格形成，提出了资本资产的定价理论，简称CAMP。该模型意义为，证券投资的回报率与风险之间存在一定的定量关系，即因承担风险而得到风险报酬的定量关系；所有投资者都在证券市场线上选择证券，所选中的投资组合是投资者的有效函数与证券市场线的切点。夏普评价的关键就是求切点。这个理论在证券股价、投资组合的绩效测定、资本预算和投资风险分析中得到了广泛应用。 3.Black-Scholcs期权定价公式。1973年，布莱克和斯克尔斯在论文“期权定价与公司负债”中提出Black-Scholcs公式（简称B—S公式）。他们证明了期权的合理价格不依赖于投资者的偏好，即风险中性原则。由于B—S公式具有较强的实用性和可操作性，所以被广泛用来制作各种金融衍生品的价格，是开发新金融产品的工具。同时也为套期保值与风险管理开辟了新的研究空间。
4.鞅理论。当金融市場是有效假定的情况下，证券的价格可以等价于一个鞅随机过程。由于鞅理论和方法在现代金融理论中的应用，使得利用等价鞅测度的概念研究衍生证券定价的理论问题，得到的结果不仅深刻地揭示了金融市场的运行规律，而且还提供了一套有效求解复杂金融衍生品的定价与风险管理的算法。
5.最优停时理论。最优停时理论是概率论中一个具有很强实用性的领域。运用该理论研究具有固定交易费用的证券投资决策问题，能够给出具有两个风险证券投资决策问题的简化算法和精确的数值解。这种在金融领域中的研究已经取得了可喜的研究成果。
6.微分对策理论。微分对策理论主要是用来研究期权定价和投资决策问题。当金融市场不满足稳定假定或出现异常波动时，证券价格往往不符合几何布朗运动，这时用随机动态模型研究证券投资决策问题在理论上和实践上都存在较大偏差，用微分对策方法可以放松这一假设，针对最差情况进行优化，可以得到很强的投资策略。运用微分对策理论研究金融领域中投资决策的重复对策、随机对策、多人对策等前景广阔。
7.智能优化。智能优化方法有遗传算法、模拟退火算法、人工神经网络、小波分析等，把这些方法同传统方法结合起来，应用于风险控制和投资决策领域中具有广阔的研究前景。国际上在这方面已经取得了初步成果，我国也开始注重这方面的研究。
（三）金融数学的发展趋势
数学在金融领域研究中建立模型是需要许多假设条件的，可是在金融活动实际发展过程中，这些提前设定的假设条件有些与客观事实会出现差距甚至抵触，因此对实际问题的解决效果就不理想，范围也十分狭窄，这就需要在数学方法上进行改进和发展。世界各国社会发展、金融背景和管理模式都不相同，要达到研究的目的，需要建立符合自己国情的金融模型和分析方法。例如CAPM只适合欧式期权而不适合美式期权。即使研究中假设条件比较合理，由于金融环境和社会需求不断发生变化以及创新运动的发展，也为金融数学提出了越来越多的实际问题，因此我们不断的进行探索和创新是金融活动客观实际发展的需要。实证研究是金融数学的一个主要方向。实证研究的基本程序是从金融市场现实中取得数据、分析数据并建立数学模型，然后揭示数据背后隐含的规律，最后返回数据和现实中检验结论的正确与否。如果在实证研究中离开了实际数据的支持和检验，单纯从概念到概念进行定性分析，或者单纯从模型到模型进行逻辑推理，那就很难深入客观地揭示金融市场的发展规律。
金融系统由于存在着多因素、非线性、不确定性而成为复杂的系统，尤其是金融市场具有波动性、突发性、不完全性和不对称性等特征，一般不可归结为随机问题，这就为金融数学的发展提出了较高的要求，因此这也成为金融数学发展面临的重要课题。
三、数学方法在金融领域中应用的局限性
金融学所研究的对象一般具有复杂性、流动性、多变性、不确定性和不易计量的特点，同时还有许多非经济因素对其产生影响，其中包括政治的、军事的、文化的、民族的、宗教的、道德的、制度的、心理的、历史的等多种因素。而数学模型的表述意义和对现实的把握是相对的、有条件的，不是绝对的，一成不变的。建立数学模型的理论前提是需要一系列假设条件的，这些假设与现实金融活动过程在某些时候有可能是完全不吻合的、抵触的。如果出现了这种情况，数学模型就失去了它的表述意义和分析能力，对未来结果的预测也就很难找到最佳值和最佳方案。例如新古典学派在对一般均衡理论进行数理分析时提出的十二个假设条件，在现实中很难完全满足。再如次贷危机的产生、五大投资银行的衰落，也都说明了这一点。
数学的方法不同与其他的研究方法，有其自身的独特性。数学的方法能简练准确地说明和表示一些金融活动过程中的现象，但是数学的方法也是有其局限性的，不是万能的，并不是所有的金融问题都可以用数学方法来进行研究和解决，要根据具体的情况选择好实用的范畴和研究对象。运用数学方法研究金融领域中的问题首先要以质的分析为前提，数学方法的分析是居于次要地位的。所以无论数学方法的应用多么严谨科学、数量关系多么完备，数学终究只能作为一种辅助工具，任何夸大数学方法应用的做法都不是明智之举。例如，20世纪90年代，一些经济学家试图用随机微分和非参数统计方法研究金融问题，时至今日研究效果也不理想，偏差太大，不能用于实际应用。还有金融的高阶逻辑问题目前还不能在数理公理化体系中得到解决。
参考文献
[1]袁军.金融数学研究综述与展望.《商业时代》，2008.13.
[2]贾根良，徐尚.经济学怎样成了一门“数学科学”——经济思想史的一种简要考察.《南开学报》，2005.05.
[3]韩兆洲，邓勇.从诺贝尔经济学奖看经济学研究的数学化趋势，《南方经济》，2004.02.
[4]林云彤.浅析数学方法在金融领域的应用，《财经界》，2010.05.
[5]孙宗歧，刘宣会.金融数学概述及其展望.《重庆文理学院学报》，2010.12.
[6]张明军.浅谈数学在金融领域的发展及应用.《甘肃科技》，2009.2.
[7]韦敏.对经济学数学化的思考.《财经科学》，2003.03.
[8]杨民.反思经济学的数学化.《经济学家》，2005.05.
[9]张瑞兰.经济学数学化的理性思考.《生产力研究》，2006.04.
[10]晓欣，王朝科.经济学运用数学的条件.《经济经纬》，2008.02.
[11]薛佳佳，乔路芳.金融数学的现状与发展.《大庆师范学院学报》，2011.5.
[12]张金清，李徐.经济学中的“数学困惑”及其解析.《经济学家》，2007.03.
[13]王海民，任九泉.20世纪金融数学的若干进展及前瞻.《数量经济技术经济研究》，2001.07.
[14]吴开微，陈娟.数理金融理论及其应用.《集美大学学报》，2000.12.
[15]熊波.论经济学研究中数学方法的运用.《当代经济》，2007.10.
作者简介：杨晓玄，男，北京大学光华管理学院学生。