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摘要:针对某矿区铁路线工程施工测量的具体情况，对该区域的投影变形精度进行了估算，论证了在该区域中采用国家统一3°带坐标的合理性。通过对建立该工程的独立坐标系的原因和几种的方法的分析，对独立坐标系控制范围做了推导，给出了通用公式。并阐述了国家统一坐标系与地方独立坐标系的转换的具体方法，最终实现了地方独立坐标系与国家坐标系的统一。
关键词:高斯投影;独立坐标系;抵偿高程面; 3°带
Abstract:In the light of the specific situation of the railway line construction survey, the regional projection deformation precision was estimated, demonstrated the rationality of using the national uniform 3 °zone coordinate in the area. Through the analysis of the establishment of the independent coordinate system and several methods of the engineering, the control range of the independent the coordinates was derived, had given the general formula. And expounded the specific conversion methods of the national unified coordinate system and the local independent coordinate system, finally achieved the unification of the local independent coordinate system and national coordinate system.
Key words: Gauss conformal projection; independent coordinate system; compensation level plane; 3°zone
中图分类号：P286文献标识码： A 文章编号：
引言
地球是个椭球体，将椭球面上的大地坐标转换到平面直角坐标就不可避免的产生长度变形，测区范围越大，形变也就越大。为了限制长度变形，国家控制网通常采用分带的方法，将投影区域限制在中央子午线两旁狭窄的范围内。我国《规范》规定：所有国家大地点均按高斯正行投影计算其在6°带内的平面直角坐标。在1：1万和更大比例尺测图地区，还应加算其在3°带内的直角坐标系。我们通常将这种控制点在6°带或3度带内的坐标称为国家统一坐标。高斯分带有效的控制了长度变形，但是该铁路线工程位于投影带的边缘地区，其长度变形仍然达到了很大的数值，超出了各行业测量规范要求：投影变形应满足1km边长不大于2.5cm变形精度要求。即投影精度应达到1：4万的精度。为了满足该工程施工精度要求，考虑沿铁路线（自西向东约17km）建立地方独立坐标系，目的是减小高程归化和投影长度变形影响，使用平面坐标计算出来的长度在工程放样时不需要做任何改正。
高斯投影长度变形分析
高斯投影由于是正行投影，故保证了投影的角度不变性，图形的相似性以及在某点各方向上长度比同一性等优点。但其长度变形较严重，只有中央子午线上的变形为零，离中央子午线越远，长度变形越大。高斯投影时，先把地面观测元素归化到参考橢球面上，再把参考椭球面上的观测值归化至高斯平面上。两次归化产生的长度变形值计算为[1]：
⑴由测距边水平距离D归算到参考椭球面上的边长S0′按下式计算：
⑴
⑵再由归算到高斯平面上的边长按下式计算：
⑵
式中：为测距边高出大地水准面的高程；
为测距边所在地区大地水准面对于参考椭球面的高程，即高程异常值；
为测距边方向参考椭球法截弧曲率半径；
测距边两端点近似横坐标平均值；
测距边两端点近似横坐标增量；
测距边中点的平均曲率半径
⑶由测距边水平距离D归算到高程面hm的边长按下式计算（如图1）所示：
图1.各投影面参量示意
⑶
为了使实地量测的水平距离与坐标反算的边长或由图上量取的边长相等，则必须使由⑵、⑶式计算的改正数绝对值相等。即：
⑷
又因为、、与、相比是一个微小量，公式中的平方项也是个微小量，同时可用测区中部的平均曲率半径R代替、则⑷式可以化简为：
⑸
得 ⑹
其中即为地方独立坐标系抵偿面高程公式。
由式⑴、⑵可知，地面上的一段距离，经过上面两次改正计算，被改变了真实长度。这种高斯投影平面长度与地面长度之差，我们称之为长度综合变形计算公式为：
⑺
为了方便计算，又不至损害精度，可以将椭球视为圆球，取圆球半径R=6371km，又取不同投影面上同一距离近似相等，即D≈将上式写成相对变形形式为
⑻
当高斯投影相对综合长度变形<2.5cm/km时，采用国家3°带高斯投影。而当>2.5cm/km时，需要建立地方独立坐标系。
地方独立坐标系的建立
2.1精度估算：
在进行高斯投影之前，必须估算长度变形值，确保其值不超过2.5cm/km。否则必须采用其它高斯投影方法。本工程3°带中央子午线为东经120°横坐标范围380500 ～392000，该区域的平均海拔高程为991～1049测区中点处横坐标为Ym=386250， 该点处平均海拔Hm为1020，测区中心距中央子午线距离ym=500000-386250=113750测区平均高程面的位置Hm=1020.
根据式⑴估算精估算变形值为=（0.00123×113.7502-15.7×1.020）×10-5=0.099cm/km＜2.5cm/km满足要求。
2.2投影方法
2.2.1采用抵偿面投影法
在2.1中的精度估算中满足要求，是因为国家统一坐标系的零高程面与该区域抵偿投影面位置非常接近，即hm很小。现就以上问题做以下推导：
欲使长度变形得以抵偿，最好是以测区中心的综合长度变形为0，即δ=0，也就是保证：
将推导⑻式引用的关系和数据带入则有
H=⑼
式中若y以百公里为单位，H以米为单位，则有
H=785ym2
利用上式可以确定抵偿面高程位置，因为该工程区域的中心距120°中央子午线距离ym=113.750km，因此H=785×1.13752=1015.716m。
即抵偿面比高程面低1015.716m，抵偿面高程hm=1020-1015.716=4.284
此时=值很小可以忽略，由此可知在该区域中国家坐标系的零高程面与抵偿面是相适的，即选择了国家参考椭球面作为了抵偿高程面，独立坐标与国家坐标相同。但当hm值较大时，就可以选择选择该区域中的一个国家控制点作为“原点”，保持它在国家3°带内的国家统一坐标（X0,Y0）不变，而将其大地控制点坐标(X，Y)换算到抵偿高程面相对应的坐标系中，换算公式为：
X抵=X+(X- X0) Y抵=Y+(Y- Y0)
式中R为该地区平均纬度处的平均曲率半径。这样，经过换算的大地控制点坐标可以作为控制测量的起算数据。
虽然通过此种方法建立的独立坐标系，其测区中心处的综合变形为零，但离测区中心越远，变形也就会越大，抵偿面与平均高程面的高差越大，控制的测区范围也就会越小，由⑼式可知，此高程是由测区中心距3°带中央子午线的距离决定的，也就是测区中心离中央子午线越远测区的范围越小。
由，因为一般的的允许值为2.5cm/km即1：4万，所以有±=
在该式中y的单位为km，Hm的单位也是km，将此式改变一下，并保持y的单位不变，Hm以米为单位，可得到：
当Hm<170m时
当Hm>170m时
对于本工程，将Hm=1020带入得y的范围为
104.5km≤y≤122.4km
式中y为区域边界距中央子午线的距离
该方法的缺点是控制范围比较小，一共不足18km的控制范围，建立此种独立坐标系将不利于以后该区域的改扩建。另外采用该方法变动了高程归化面，计算过程复杂，不仅要计算出新的椭球参数和一切常数，还要把本区域的国家控制点（作为独立坐标系的起算点）转换到新产生的椭球上，工作量比较大。
2.2.2采用只移动中央子午线的投影方法
如果采用不变动归化面的情况下，而只移动中央子午线的方法，根据下式可以计算出中央子午线离开测区中央地带的远近：
由于该区域的平均大地高为1020m取Rm=6371km则
≈114km
即中央子午线设在东离该区域中心114公里的位置，可以使中央地区的相对误差为0.
该坐标系控制的范围可按下式计算：
所以对于本区域
≈122.6km
上式说明在不改变高程投影面的情况下，只要将中央子午线设在西离测区中央114km的位置处，就可以保证在测区中央东西各距9km范围内两项改正之和小于1/4万。此方法与2.2.1中的方法的范围相同，但简化了计算过程。
2.2.3采用平均高程面做投影面的投影法
前面所述两种方法都是改变其中一种长度变形而将综合变形控制在允许范围里。而此种方法能将和值都控制在一个微小的范围内，因此可以的扩大独立坐标系的控制范围，有利于以后该测区的改扩建工程。选择平均高程做为投影面，通過测区中心的子午线为中央子午线，按高斯投影计算平面直角坐标系。
该方法是以通过测区的子午线为中央子午线，按高斯投影计算平面直角坐标。其步骤为：
利用高斯投影正反算的方法，将国家点的大地坐标换算为大地坐标（B,L），并由大地坐标计算这些点在选定中央子午线投影带内的直角坐标（X,Y）。
与2.2.1类似，选择其中一个国家点作为“原点”，保持该点在选定投影带内的坐标不变，其他国家控制点可以换算到选定的坐标系中去。公式为[2]：
Xˊ=X+(X- X0) Yˊ=Y+(Y- Y0)
经过换算后的各国家控制点可以作为新建的独立坐标系起算点。
对于本工程而言，测区的中心系位于三度带边沿地带，而且测区即测区以外的很大的范围里地面比较平坦的，平均高程面约为1020m。所以该测区的平均高程面1020作为投影面，测区中心为中央子午线，可以扩大测区的控制范围。即可以保证离该测区中心45km以内的其他区域其投影相对变形值小于1：4万。因此一般情况下该种坐标系最适合工程建设的需要。
综合上述三种方法，为了能进一步的扩大独立坐标系的控制范围通常采用降低区域投影面并移动中央子午线方法来改善。但是对与本区域而言，该区域所处地方海拔[6]较高1020m，两项改正中的，较大，且对于本工程而言高程抵偿面与54椭球的零高程面吻合的比较好，也就是再不移动中央子午线的情况下，两项改正后综合误差已经很小（0.099cm/km）。但对于海拔较低的区域采用该方法却能进一步扩大区域范围约为63km[1]。
结束语
在工程测量中，高斯投影起到了非常重要的作用，尤其进行大范围的施工测量。施工测量之前，必须进行长度变形分析。对于某区域而言，如过长度变形小于2.5cm/km，可以采用国家统一3°带投影法的坐标系统。而当其超限时，可以考虑采用移动子午线的方法以或者提高或降低补偿面等方法，如果还是超限，可以考虑分幅投影的方法。
参考文献:
[1]孔祥元，郭际明. 控制测量学. 武汉大学出版社2010
[2]张述清,李永云.地方独立坐标系统的建立及其实现[J].测绘工程, 2007(4): 23-24.
[3]张正禄等.工程测量学. 武汉大学出版社2010
[4]孔祥元，郭际明，刘宗全.大地测量学基础. 武汉大学出版社 2006
[5]施一民,李健,周拥军,等.地方独立坐标系的性质与区域性椭球面的确定[J].测绘通报,2001(9): 4-5.
[6]第11期宁黎平:高海拔地区铁路施工控制网的建立
注：文章内所有公式及图表请以PDF形式查看。
关键词:高斯投影;独立坐标系;抵偿高程面; 3°带
Abstract:In the light of the specific situation of the railway line construction survey, the regional projection deformation precision was estimated, demonstrated the rationality of using the national uniform 3 °zone coordinate in the area. Through the analysis of the establishment of the independent coordinate system and several methods of the engineering, the control range of the independent the coordinates was derived, had given the general formula. And expounded the specific conversion methods of the national unified coordinate system and the local independent coordinate system, finally achieved the unification of the local independent coordinate system and national coordinate system.
Key words: Gauss conformal projection; independent coordinate system; compensation level plane; 3°zone
中图分类号：P286文献标识码： A 文章编号：
引言
地球是个椭球体，将椭球面上的大地坐标转换到平面直角坐标就不可避免的产生长度变形，测区范围越大，形变也就越大。为了限制长度变形，国家控制网通常采用分带的方法，将投影区域限制在中央子午线两旁狭窄的范围内。我国《规范》规定：所有国家大地点均按高斯正行投影计算其在6°带内的平面直角坐标。在1：1万和更大比例尺测图地区，还应加算其在3°带内的直角坐标系。我们通常将这种控制点在6°带或3度带内的坐标称为国家统一坐标。高斯分带有效的控制了长度变形，但是该铁路线工程位于投影带的边缘地区，其长度变形仍然达到了很大的数值，超出了各行业测量规范要求：投影变形应满足1km边长不大于2.5cm变形精度要求。即投影精度应达到1：4万的精度。为了满足该工程施工精度要求，考虑沿铁路线（自西向东约17km）建立地方独立坐标系，目的是减小高程归化和投影长度变形影响，使用平面坐标计算出来的长度在工程放样时不需要做任何改正。
高斯投影长度变形分析
高斯投影由于是正行投影，故保证了投影的角度不变性，图形的相似性以及在某点各方向上长度比同一性等优点。但其长度变形较严重，只有中央子午线上的变形为零，离中央子午线越远，长度变形越大。高斯投影时，先把地面观测元素归化到参考橢球面上，再把参考椭球面上的观测值归化至高斯平面上。两次归化产生的长度变形值计算为[1]：
⑴由测距边水平距离D归算到参考椭球面上的边长S0′按下式计算：
⑴
⑵再由归算到高斯平面上的边长按下式计算：
⑵
式中：为测距边高出大地水准面的高程；
为测距边所在地区大地水准面对于参考椭球面的高程，即高程异常值；
为测距边方向参考椭球法截弧曲率半径；
测距边两端点近似横坐标平均值；
测距边两端点近似横坐标增量；
测距边中点的平均曲率半径
⑶由测距边水平距离D归算到高程面hm的边长按下式计算（如图1）所示：
图1.各投影面参量示意
⑶
为了使实地量测的水平距离与坐标反算的边长或由图上量取的边长相等，则必须使由⑵、⑶式计算的改正数绝对值相等。即：
⑷
又因为、、与、相比是一个微小量，公式中的平方项也是个微小量，同时可用测区中部的平均曲率半径R代替、则⑷式可以化简为：
⑸
得 ⑹
其中即为地方独立坐标系抵偿面高程公式。
由式⑴、⑵可知，地面上的一段距离，经过上面两次改正计算，被改变了真实长度。这种高斯投影平面长度与地面长度之差，我们称之为长度综合变形计算公式为：
⑺
为了方便计算，又不至损害精度，可以将椭球视为圆球，取圆球半径R=6371km，又取不同投影面上同一距离近似相等，即D≈将上式写成相对变形形式为
⑻
当高斯投影相对综合长度变形<2.5cm/km时，采用国家3°带高斯投影。而当>2.5cm/km时，需要建立地方独立坐标系。
地方独立坐标系的建立
2.1精度估算：
在进行高斯投影之前，必须估算长度变形值，确保其值不超过2.5cm/km。否则必须采用其它高斯投影方法。本工程3°带中央子午线为东经120°横坐标范围380500 ～392000，该区域的平均海拔高程为991～1049测区中点处横坐标为Ym=386250， 该点处平均海拔Hm为1020，测区中心距中央子午线距离ym=500000-386250=113750测区平均高程面的位置Hm=1020.
根据式⑴估算精估算变形值为=（0.00123×113.7502-15.7×1.020）×10-5=0.099cm/km＜2.5cm/km满足要求。
2.2投影方法
2.2.1采用抵偿面投影法
在2.1中的精度估算中满足要求，是因为国家统一坐标系的零高程面与该区域抵偿投影面位置非常接近，即hm很小。现就以上问题做以下推导：
欲使长度变形得以抵偿，最好是以测区中心的综合长度变形为0，即δ=0，也就是保证：
将推导⑻式引用的关系和数据带入则有
H=⑼
式中若y以百公里为单位，H以米为单位，则有
H=785ym2
利用上式可以确定抵偿面高程位置，因为该工程区域的中心距120°中央子午线距离ym=113.750km，因此H=785×1.13752=1015.716m。
即抵偿面比高程面低1015.716m，抵偿面高程hm=1020-1015.716=4.284
此时=值很小可以忽略，由此可知在该区域中国家坐标系的零高程面与抵偿面是相适的，即选择了国家参考椭球面作为了抵偿高程面，独立坐标与国家坐标相同。但当hm值较大时，就可以选择选择该区域中的一个国家控制点作为“原点”，保持它在国家3°带内的国家统一坐标（X0,Y0）不变，而将其大地控制点坐标(X，Y)换算到抵偿高程面相对应的坐标系中，换算公式为：
X抵=X+(X- X0) Y抵=Y+(Y- Y0)
式中R为该地区平均纬度处的平均曲率半径。这样，经过换算的大地控制点坐标可以作为控制测量的起算数据。
虽然通过此种方法建立的独立坐标系，其测区中心处的综合变形为零，但离测区中心越远，变形也就会越大，抵偿面与平均高程面的高差越大，控制的测区范围也就会越小，由⑼式可知，此高程是由测区中心距3°带中央子午线的距离决定的，也就是测区中心离中央子午线越远测区的范围越小。
由，因为一般的的允许值为2.5cm/km即1：4万，所以有±=
在该式中y的单位为km，Hm的单位也是km，将此式改变一下，并保持y的单位不变，Hm以米为单位，可得到：
当Hm<170m时
当Hm>170m时
对于本工程，将Hm=1020带入得y的范围为
104.5km≤y≤122.4km
式中y为区域边界距中央子午线的距离
该方法的缺点是控制范围比较小，一共不足18km的控制范围，建立此种独立坐标系将不利于以后该区域的改扩建。另外采用该方法变动了高程归化面，计算过程复杂，不仅要计算出新的椭球参数和一切常数，还要把本区域的国家控制点（作为独立坐标系的起算点）转换到新产生的椭球上，工作量比较大。
2.2.2采用只移动中央子午线的投影方法
如果采用不变动归化面的情况下，而只移动中央子午线的方法，根据下式可以计算出中央子午线离开测区中央地带的远近：
由于该区域的平均大地高为1020m取Rm=6371km则
≈114km
即中央子午线设在东离该区域中心114公里的位置，可以使中央地区的相对误差为0.
该坐标系控制的范围可按下式计算：
所以对于本区域
≈122.6km
上式说明在不改变高程投影面的情况下，只要将中央子午线设在西离测区中央114km的位置处，就可以保证在测区中央东西各距9km范围内两项改正之和小于1/4万。此方法与2.2.1中的方法的范围相同，但简化了计算过程。
2.2.3采用平均高程面做投影面的投影法
前面所述两种方法都是改变其中一种长度变形而将综合变形控制在允许范围里。而此种方法能将和值都控制在一个微小的范围内，因此可以的扩大独立坐标系的控制范围，有利于以后该测区的改扩建工程。选择平均高程做为投影面，通過测区中心的子午线为中央子午线，按高斯投影计算平面直角坐标系。
该方法是以通过测区的子午线为中央子午线，按高斯投影计算平面直角坐标。其步骤为：
利用高斯投影正反算的方法，将国家点的大地坐标换算为大地坐标（B,L），并由大地坐标计算这些点在选定中央子午线投影带内的直角坐标（X,Y）。
与2.2.1类似，选择其中一个国家点作为“原点”，保持该点在选定投影带内的坐标不变，其他国家控制点可以换算到选定的坐标系中去。公式为[2]：
Xˊ=X+(X- X0) Yˊ=Y+(Y- Y0)
经过换算后的各国家控制点可以作为新建的独立坐标系起算点。
对于本工程而言，测区的中心系位于三度带边沿地带，而且测区即测区以外的很大的范围里地面比较平坦的，平均高程面约为1020m。所以该测区的平均高程面1020作为投影面，测区中心为中央子午线，可以扩大测区的控制范围。即可以保证离该测区中心45km以内的其他区域其投影相对变形值小于1：4万。因此一般情况下该种坐标系最适合工程建设的需要。
综合上述三种方法，为了能进一步的扩大独立坐标系的控制范围通常采用降低区域投影面并移动中央子午线方法来改善。但是对与本区域而言，该区域所处地方海拔[6]较高1020m，两项改正中的，较大，且对于本工程而言高程抵偿面与54椭球的零高程面吻合的比较好，也就是再不移动中央子午线的情况下，两项改正后综合误差已经很小（0.099cm/km）。但对于海拔较低的区域采用该方法却能进一步扩大区域范围约为63km[1]。
结束语
在工程测量中，高斯投影起到了非常重要的作用，尤其进行大范围的施工测量。施工测量之前，必须进行长度变形分析。对于某区域而言，如过长度变形小于2.5cm/km，可以采用国家统一3°带投影法的坐标系统。而当其超限时，可以考虑采用移动子午线的方法以或者提高或降低补偿面等方法，如果还是超限，可以考虑分幅投影的方法。
参考文献:
[1]孔祥元，郭际明. 控制测量学. 武汉大学出版社2010
[2]张述清,李永云.地方独立坐标系统的建立及其实现[J].测绘工程, 2007(4): 23-24.
[3]张正禄等.工程测量学. 武汉大学出版社2010
[4]孔祥元，郭际明，刘宗全.大地测量学基础. 武汉大学出版社 2006
[5]施一民,李健,周拥军,等.地方独立坐标系的性质与区域性椭球面的确定[J].测绘通报,2001(9): 4-5.
[6]第11期宁黎平:高海拔地区铁路施工控制网的建立
注：文章内所有公式及图表请以PDF形式查看。