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摘 要：为了缩短变电站内蓄电池组核容试验时间，保障直流电源系统的可靠性，提出了一种基于改进Newton插值的蓄电池组核容方法。该方法以单只蓄电池持续放电过程中端电压观测值为输入，以各次Newton插值下蓄电池端电压估算值为输出，构建了蓄电池放电曲线的数学模型。针对传统Newton插值法下误差估算步骤烦琐，不同健康状态蓄电池在各次Newton插值下误差离散性大的问题，采用统一的数据处理方法对数学模型进行优化。案例分析结果表明，所提方法使用的数学模型简单可靠，对不同健康状态蓄电池放电曲线拟合度高。
关键词：蓄电池;核容试验;放电曲线;Newton插值
0 引言
蓄電池组是变电站电源系统的重要组成部分，一般作为后备直流电源使用[1]。在站用交流系统无法提供电能或直流电源系统整流装置发生故障时，蓄电池组会作为独立电源使用，为继电保护及自动装置、断路器分闸与合闸、拖动机械设备的整流设备、通信、事故照明提供电源[2]。蓄电池组的持续供电时间决定了变电站供电故障时抢修人员能够获得的抢修时间，如果维修工作能够在蓄电池持续供电时间内完成，则可避免由供电故障带来的经济损失和其他事故[3]。
为保证在运蓄电池运行质量，按照《电力系统用蓄电池直流电源装置运行与维护技术规程》（DL/T 724—2000）中的要求，需定期对变电站内蓄电池组进行核对性充放电试验。
蓄电池组核容过程中，以规定的放电电流进行恒流放电，当其中一个单体电池达到了规定的放电终止电压，即停止放电，然后根据放电电流和放电时间，计算出蓄电池组的实际容量。当蓄电池组容量不满足要求时，每一次核容试验只能发现一只故障蓄电池。蓄电池组核容试验时，需退出整套直流电源系统，该套直流电源系统上的负荷由另一套互为备用的直流电源系统供能[4]。因此，利用有限的试验数据在尽可能短的时间内对整组蓄电池的所有单只蓄电池进行状态评估，对于保障直流电源系统的安全可靠运行具有重要的工程意义。
本文提出了一种基于改进Newton插值的蓄电池组核容方法，该方法利用改进后的Newton插值法拟合10 h率放电电流下各单只蓄电池试验后期放电曲线，使用有限数据预估蓄电池健康状态，可根据需要减少核容试验时间。最后，利用不同健康状态蓄电池核容试验的数据样本对该方法进行校核，验证了该方法的正确性。
1 Newton插值法基本原理
要预估蓄电池的容量，需要绘制并存储蓄电池的放电曲线，但不同厂家、不同型号、不同放电率下蓄电池放电特性离散性较大，而且随着时间的推移电池必然会老化，蓄电池组的放电特性也将发生变化。虽然难以找到单只蓄电池放电曲线的解析表达式，但是可以确定蓄电池端电压函数U在放电时间轴t上是连续的，可以通过试验得到U（t）在有限个节点上的函数值，在区间[a，b]上，用P（t）近似代替U（t），且满足：
P（ti）=ui=U（ti） （1）
n+1个互异插值节点（ti，U（ti））在满足插值条件Pn（ti）=
U（ti）下可以确定的n次插值多项式：
Pn（t）=a0+a1t+a2t2+…+antn （2）
可以证明式（2）是唯一的[5]。
将式（2）改写成如下形式：
P（t）=a0+a1（t-t0）+a2（t-t0）（t-t1）+…an（t-t0）（t-t1）…（t-tn-1） （3）
多项式系数a0，a1，…，an可由式（4）迭代求得：
ak=f[t0，t1，…，tk-1，tk]=
式（4）中：
利用n+1个互异插值节点（ti，U（ti））确定插值多项式P（t）后就可以估算任意时刻tx的函数值U（tx）了。Newton插值法的优点在于对已经确定的插值多项式，如果要用新得到的插值节点来修正，不用改变多项式已经确定的参数，只需在插值多项式后面附加一项。
2 适用于电池核容试验的改进Newton插值法
Newton插值法构建的多项式对实际曲线的函数表达式是有误差的，通常来说高次插值优于低次插值，但不是次数越高就越好，也就是说，在蓄电池核容试验中，并不是用越多的已知数据去拟合蓄电池的端电压曲线就越精确。Newton插值法的估算误差为：
Rn（t）=（t-t0）（t-t1）…（t-tn） f[t0，t1，…，tn] （6）
若给定n+1个互异插值节点（ti，U（ti）），将得到n个不同阶次的Newton插值，可以用式（6）估算任意节点（tx，U（tx））在每一次Newton插值下的误差，从而得到误差最小的那个函数值U（tx）。
不同健康状态的蓄电池在核容试验后期放电曲线的形状是不同的，传统Newton插值法需要利用已知数据计算每只蓄电池的各次插值多项式，然后用式（6）逐个估算每只蓄电池在各次Newton插值下的误差，最后选择估算误差最小的那一阶次Newton插值来拟合放电曲线，这种算法过于烦琐且失去了工程意义。
此外，蓄电池放电过程中，每只蓄电池的端电压都有一个逐步降低的过程，当放电时间t1≤t2时，蓄电池端电压U（t1）≥U（t2），利用蓄电池端电压的两个已知数据构造的一次Newton插值多项式天然满足该条件。
考虑到工程应用中的算法应尽可能简单和统一，并且放电过程中蓄电池前一时刻的端电压必然大于后一时刻的端电压，本文在处理蓄电池核容数据时对传统Newton插值法进行了如下改进：
（1）对所有的蓄电池都使用相同个数的实际数据构建相同阶次Newton插值多项式;
（2）在使用Newton插值法估算蓄电池端电压时，若后一时刻蓄电池端电压估算值大于前一时刻蓄电池实际值，则使用1次Newton插值对估算结果进行修正。 在蓄电池核容试验中，为防止蓄电池过放电对其寿命造成损伤，单只蓄电池端电压达到放电终止电压时应提前终止核容试验，对容量不满足要求的这只蓄电池进行活化或更换后重新开展蓄电池核容试验，以核算其他蓄电池的容量是否满足要求，这进一步延长了蓄电池核容试验时间，加剧了单套直流电源运行所带来的风险。
为缩短蓄电池核容试验时间，对于因单只蓄电池端电压低于放电终止电压而提前结束的核容试验，可利用改进Newton插值法评估其他蓄电池状态，对于估算容量不满足要求的蓄电池提前采取活化或更换措施，减少额外开展的核容试验次数。
具体操作方法：蓄电池核容试验过程中每小时记录一次每只蓄电池的端电压，当达到规定的试验时间或因蓄电池容量不满足要求提前结束试验时停止数据记录;若蓄电池整组容量不满足要求且试验总时长不小于4 h，利用最后记录的4次数据构建每只蓄电池端电压的3次Newton插值多项式;若蓄电池整组容量不满足要求且试验总时长小于4 h，利用所有的数据构建每只蓄电池端电压相应阶次的Newton插值多项式;用构建好的Newton插值多项式估算每只蓄电池在规定试验总时长下的端电压，若端电压估算值大于最后一次试验记录值，则使用最后两次试验记录值构建1次Newton插值对估算结果进行修正;最后，根据每只蓄电池在规定试验总时长下的估算值，评估所有蓄电池容量是否满足要求。
3 应用案例分析
从两个换流站实际运行的蓄电池核容数据中提取了两组数据，其中一组蓄电池投运年限为6年，该组蓄电池中有52只蓄电池，作为第一组样本;另外一组蓄电池投运年限为3年，该组蓄电池中有104只蓄电池，作为第二组样本。从两组样本中各抽取30只蓄电池，每只蓄电池在核容试验中记录了8次数据。利用前7次数据分别构造每只蓄电池的1～6阶Newton插值多项式，计算各阶Newton插值多项式下每只蓄电池在核容试验第8小时时端电压的估算值，并用式（7）所提误差率作为改进Newton插值法的考评指标。
式中：u8′为蓄电池第8小时端电压的估算值;u8为蓄电池第8小时端电压的观测值。
表1展示了第一组样本中30只蓄电池第8小时端电压在各次Newton插值下估算值的误差率。
表2展示了第二组样本中30只蓄电池第8小时端电压在各次Newton插值下估算值的误差率。
通过对两组样本的数据核算，可以得到以下结论：
（1）对于运行时间较短的蓄电池组，低次Newton插值能很好地估算每只蓄电池在核容试验中的端电压，改进后的3次Newton插值最大误差率不超过1%。
（2）对于运行时间较长的蓄电池组，3次和4次Newton插值均能很好地估算每只蓄电池在核容试验中的端电压，改进后的3次Newton插值最大误差率不超过2%。
（3）在工程应用中，利用改进后的3次Newton插值法估算投运时间不同的蓄电池在核容试验中的端电压均有较低的误差率。
4 結语
本文提出的基于改进Newton插值的蓄电池组核容方法，可以利用蓄电池组核容试验中实际产生的数据估算规定核容试验总时长下每只蓄电池的端电压，该方法通过较少的试验次数和较短的试验时长就能对整组蓄电池中所有的蓄电池健康状态进行评估。案例分析结果表明，所提方法使用的数学模型简单可靠，对投运年限不同的蓄电池在核容试验中的端电压估算结果与观测结果的误差率可保持在2%以内。
[参考文献]
[1] 李学斌，解放，张燚.基于容量分解的电力直流电源系统蓄电池容量计算方法[J].电网技术，2018，42（3）：966-972.
[2] 王辉.发电厂及变电站二次设备分布式直流电源系统探讨[J].电力自动化设备，2004（7）：89-91.
[3] 包蕊.蓄电池容量预估技术理论研究和试验[J].蓄电池，2017，54（6）：271-273.
[4] 赵军，石光，黄小川，等.一起变电站直流母线失电原因分析及解决方案[J].电力系统保护与控制，2009，37（23）：122-124.
[5] 曾金平.数值计算方法[M].长沙：湖南大学出版社，2004.
收稿日期：2021-05-11
作者简介：张彦良（1993—），男，湖北黄冈人，助理工程师，研究方向：电力系统。
关键词：蓄电池;核容试验;放电曲线;Newton插值
0 引言
蓄電池组是变电站电源系统的重要组成部分，一般作为后备直流电源使用[1]。在站用交流系统无法提供电能或直流电源系统整流装置发生故障时，蓄电池组会作为独立电源使用，为继电保护及自动装置、断路器分闸与合闸、拖动机械设备的整流设备、通信、事故照明提供电源[2]。蓄电池组的持续供电时间决定了变电站供电故障时抢修人员能够获得的抢修时间，如果维修工作能够在蓄电池持续供电时间内完成，则可避免由供电故障带来的经济损失和其他事故[3]。
为保证在运蓄电池运行质量，按照《电力系统用蓄电池直流电源装置运行与维护技术规程》（DL/T 724—2000）中的要求，需定期对变电站内蓄电池组进行核对性充放电试验。
蓄电池组核容过程中，以规定的放电电流进行恒流放电，当其中一个单体电池达到了规定的放电终止电压，即停止放电，然后根据放电电流和放电时间，计算出蓄电池组的实际容量。当蓄电池组容量不满足要求时，每一次核容试验只能发现一只故障蓄电池。蓄电池组核容试验时，需退出整套直流电源系统，该套直流电源系统上的负荷由另一套互为备用的直流电源系统供能[4]。因此，利用有限的试验数据在尽可能短的时间内对整组蓄电池的所有单只蓄电池进行状态评估，对于保障直流电源系统的安全可靠运行具有重要的工程意义。
本文提出了一种基于改进Newton插值的蓄电池组核容方法，该方法利用改进后的Newton插值法拟合10 h率放电电流下各单只蓄电池试验后期放电曲线，使用有限数据预估蓄电池健康状态，可根据需要减少核容试验时间。最后，利用不同健康状态蓄电池核容试验的数据样本对该方法进行校核，验证了该方法的正确性。
1 Newton插值法基本原理
要预估蓄电池的容量，需要绘制并存储蓄电池的放电曲线，但不同厂家、不同型号、不同放电率下蓄电池放电特性离散性较大，而且随着时间的推移电池必然会老化，蓄电池组的放电特性也将发生变化。虽然难以找到单只蓄电池放电曲线的解析表达式，但是可以确定蓄电池端电压函数U在放电时间轴t上是连续的，可以通过试验得到U（t）在有限个节点上的函数值，在区间[a，b]上，用P（t）近似代替U（t），且满足：
P（ti）=ui=U（ti） （1）
n+1个互异插值节点（ti，U（ti））在满足插值条件Pn（ti）=
U（ti）下可以确定的n次插值多项式：
Pn（t）=a0+a1t+a2t2+…+antn （2）
可以证明式（2）是唯一的[5]。
将式（2）改写成如下形式：
P（t）=a0+a1（t-t0）+a2（t-t0）（t-t1）+…an（t-t0）（t-t1）…（t-tn-1） （3）
多项式系数a0，a1，…，an可由式（4）迭代求得：
ak=f[t0，t1，…，tk-1，tk]=
式（4）中：
利用n+1个互异插值节点（ti，U（ti））确定插值多项式P（t）后就可以估算任意时刻tx的函数值U（tx）了。Newton插值法的优点在于对已经确定的插值多项式，如果要用新得到的插值节点来修正，不用改变多项式已经确定的参数，只需在插值多项式后面附加一项。
2 适用于电池核容试验的改进Newton插值法
Newton插值法构建的多项式对实际曲线的函数表达式是有误差的，通常来说高次插值优于低次插值，但不是次数越高就越好，也就是说，在蓄电池核容试验中，并不是用越多的已知数据去拟合蓄电池的端电压曲线就越精确。Newton插值法的估算误差为：
Rn（t）=（t-t0）（t-t1）…（t-tn） f[t0，t1，…，tn] （6）
若给定n+1个互异插值节点（ti，U（ti）），将得到n个不同阶次的Newton插值，可以用式（6）估算任意节点（tx，U（tx））在每一次Newton插值下的误差，从而得到误差最小的那个函数值U（tx）。
不同健康状态的蓄电池在核容试验后期放电曲线的形状是不同的，传统Newton插值法需要利用已知数据计算每只蓄电池的各次插值多项式，然后用式（6）逐个估算每只蓄电池在各次Newton插值下的误差，最后选择估算误差最小的那一阶次Newton插值来拟合放电曲线，这种算法过于烦琐且失去了工程意义。
此外，蓄电池放电过程中，每只蓄电池的端电压都有一个逐步降低的过程，当放电时间t1≤t2时，蓄电池端电压U（t1）≥U（t2），利用蓄电池端电压的两个已知数据构造的一次Newton插值多项式天然满足该条件。
考虑到工程应用中的算法应尽可能简单和统一，并且放电过程中蓄电池前一时刻的端电压必然大于后一时刻的端电压，本文在处理蓄电池核容数据时对传统Newton插值法进行了如下改进：
（1）对所有的蓄电池都使用相同个数的实际数据构建相同阶次Newton插值多项式;
（2）在使用Newton插值法估算蓄电池端电压时，若后一时刻蓄电池端电压估算值大于前一时刻蓄电池实际值，则使用1次Newton插值对估算结果进行修正。 在蓄电池核容试验中，为防止蓄电池过放电对其寿命造成损伤，单只蓄电池端电压达到放电终止电压时应提前终止核容试验，对容量不满足要求的这只蓄电池进行活化或更换后重新开展蓄电池核容试验，以核算其他蓄电池的容量是否满足要求，这进一步延长了蓄电池核容试验时间，加剧了单套直流电源运行所带来的风险。
为缩短蓄电池核容试验时间，对于因单只蓄电池端电压低于放电终止电压而提前结束的核容试验，可利用改进Newton插值法评估其他蓄电池状态，对于估算容量不满足要求的蓄电池提前采取活化或更换措施，减少额外开展的核容试验次数。
具体操作方法：蓄电池核容试验过程中每小时记录一次每只蓄电池的端电压，当达到规定的试验时间或因蓄电池容量不满足要求提前结束试验时停止数据记录;若蓄电池整组容量不满足要求且试验总时长不小于4 h，利用最后记录的4次数据构建每只蓄电池端电压的3次Newton插值多项式;若蓄电池整组容量不满足要求且试验总时长小于4 h，利用所有的数据构建每只蓄电池端电压相应阶次的Newton插值多项式;用构建好的Newton插值多项式估算每只蓄电池在规定试验总时长下的端电压，若端电压估算值大于最后一次试验记录值，则使用最后两次试验记录值构建1次Newton插值对估算结果进行修正;最后，根据每只蓄电池在规定试验总时长下的估算值，评估所有蓄电池容量是否满足要求。
3 应用案例分析
从两个换流站实际运行的蓄电池核容数据中提取了两组数据，其中一组蓄电池投运年限为6年，该组蓄电池中有52只蓄电池，作为第一组样本;另外一组蓄电池投运年限为3年，该组蓄电池中有104只蓄电池，作为第二组样本。从两组样本中各抽取30只蓄电池，每只蓄电池在核容试验中记录了8次数据。利用前7次数据分别构造每只蓄电池的1～6阶Newton插值多项式，计算各阶Newton插值多项式下每只蓄电池在核容试验第8小时时端电压的估算值，并用式（7）所提误差率作为改进Newton插值法的考评指标。
式中：u8′为蓄电池第8小时端电压的估算值;u8为蓄电池第8小时端电压的观测值。
表1展示了第一组样本中30只蓄电池第8小时端电压在各次Newton插值下估算值的误差率。
表2展示了第二组样本中30只蓄电池第8小时端电压在各次Newton插值下估算值的误差率。
通过对两组样本的数据核算，可以得到以下结论：
（1）对于运行时间较短的蓄电池组，低次Newton插值能很好地估算每只蓄电池在核容试验中的端电压，改进后的3次Newton插值最大误差率不超过1%。
（2）对于运行时间较长的蓄电池组，3次和4次Newton插值均能很好地估算每只蓄电池在核容试验中的端电压，改进后的3次Newton插值最大误差率不超过2%。
（3）在工程应用中，利用改进后的3次Newton插值法估算投运时间不同的蓄电池在核容试验中的端电压均有较低的误差率。
4 結语
本文提出的基于改进Newton插值的蓄电池组核容方法，可以利用蓄电池组核容试验中实际产生的数据估算规定核容试验总时长下每只蓄电池的端电压，该方法通过较少的试验次数和较短的试验时长就能对整组蓄电池中所有的蓄电池健康状态进行评估。案例分析结果表明，所提方法使用的数学模型简单可靠，对投运年限不同的蓄电池在核容试验中的端电压估算结果与观测结果的误差率可保持在2%以内。
[参考文献]
[1] 李学斌，解放，张燚.基于容量分解的电力直流电源系统蓄电池容量计算方法[J].电网技术，2018，42（3）：966-972.
[2] 王辉.发电厂及变电站二次设备分布式直流电源系统探讨[J].电力自动化设备，2004（7）：89-91.
[3] 包蕊.蓄电池容量预估技术理论研究和试验[J].蓄电池，2017，54（6）：271-273.
[4] 赵军，石光，黄小川，等.一起变电站直流母线失电原因分析及解决方案[J].电力系统保护与控制，2009，37（23）：122-124.
[5] 曾金平.数值计算方法[M].长沙：湖南大学出版社，2004.
收稿日期：2021-05-11
作者简介：张彦良（1993—），男，湖北黄冈人，助理工程师，研究方向：电力系统。