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摘 要：笔者通过“轴对称最短路线问题”的几个实例探讨数学教学中的“变题”与“设问”，通过对试题的变式、迁移、延伸和拓展，抓住试题涵盖的知识本质进行方法的总结，让学生以不变应万变；通过精心设计问题、注重内涵和外延、巧妙把握提问的时机和切入点，提高课堂教学效率.
关键词：变题；“题”与“问”；设问探讨
教学实践告诉我们，数学课堂教学，无论从情景设置、活动探究、还是例题讲解、巩固应用、拓展提高等，无一不是通过师生间的教学互动来实现的. 维系课堂互动的核心是师生间的言语交流，所以数学课如何“问”成了课堂教学的关键.本文所指的“题”与“问”，指的是建立在课堂例、习题的基础上，教师依据学生的认知规律，组织学生以“题”为主线、以“问”为手段深入探究，力求达到事半功倍的教学效果. 本文笔者通过“轴对称最短路线问题”的几个实例和各位读者共同探讨数学教学中的“变题”与“设问”.
切忌“就题问题”，力求“顺思而下、水到渠成”?摇?摇
平时的课堂教学受学生的认知水平、接受能力、上课时间等影响较多，教师在讲课时往往只求将具体的问题讲清、讲透，对试题的剖析环节、引导环节下的工夫较少，对有的学生而言，教师的讲解和分析没有“因为”只有“所以”，数学课堂有时仅停留在“对答案、说答案”的层面，课堂教学效果不尽如人意.所以，笔者觉得，面对各种试题、各类试题，教师的讲解如何切入，怎样铺垫设问，怎样引导，为什么这样思考，等等，应该是我们数学课堂教学的根本任务.
例题：如图1，已知点A，B在直线l的同侧，在直线l上找一点C，使AC+CB最短.
这道习题的解法每个学生都熟悉，利用轴对称的知识，作出点A的对称点A′，连结A′B交直线l于点C，点C即为所求.?摇
变题1：若题目条件不变，在直线l上能否找一点C，使CB-CA最长？
设问探讨：笔者认为，怎样将“差最长问题”引入到“三角形三边关系”是本题讲解的核心！
下面是一段课堂教学实录，我们共同讨论和研究.
教师：同学们，本题和我们刚才练习的“AC+CB最短”问题相同吗？
学生1：不同，一个是“和最短”问题，这个是“差最长”问题.
教师：我们该用什么知识解决？
学生2：还是用轴对称的知识.作出点A的对称点A′，连结A′B.
教师：按照你说的作图，如图2. 这样的点C是否满足CB-CA的差最长？
学生3：不满足，在直线l上另取点D，通过测量发现DB-DA＞CB-CA.
教师：作轴对称的方法不行，那该用什么方法解决？（学生思考，冷场）
教师：（再次启发）同学们联想一下，什么知识和“线段之差”有关？
学生4：三角形三边关系中有“两边之差”.
学生5：连结AC，BC，AB，我们可以得到一个三角形，“CB-CA”就是三角形的两边之差.
教师：三角形两边之差怎样？
学生6：三角形两边之差小于第三边.
教师：但题目中，要求CB-CA最长，怎么办？
学生7：点C运动的话，CB-CA≤AB，所以当CB-CA等于第三边AB时，CB-CA就最长了.
教师：分析得很好，怎么作图？
学生8：连结BA，并延长交直线l于点C，点C即为所求.
变题2：如图3，点A，B在直线l的两侧，在直线l上找一点C，使直线l平分∠ACB.
图3
设问探讨：（实际教学中，可能会出现启而不发的情况，教师需适时点拨）
假设找到了满足条件的点C，它具有哪些性质？
能否依据性质反推作图方法？分小组展开讨论.
上述试题属于“两点一线”最短路线问题，顺思利导、延伸拓展，可帮助学生开阔视野、积累经验：
题型归纳1 “两点一线”最短路线问题
变题3：如图4，△ABC中，点P，Q分别是AB，AC边上两点，请在BC上找一点R，使得△PQR的周长最短.
教师：△PQR的周长最短指的是哪些线段的和最短？
学生1：线段PQ，PR，QR的和最短.
教师：怎样使得PQ+PR+QR最短？
学生2：PQ为定值，只需确定点R的位置即可，只要PR+QR最短，△PQR的周长就最短了.
将问题转化为例1的情形解决.
变题4：如图5，ABCD是长方形桌球台，击打桌球M，经球台AD边反弹后撞击桌球N，请作出球M的运动路径.
设问探讨：怎样引出类似于物理中光线反射遵循的“入射角等于反射角”问题？
为什么可以用轴对称知识解决本题？怎样作图？
变题5：如图6，桌面上有A，B两球，若要将B球射向桌面任意一边，使一次反弹后击中A球，则如图所示8个点中，可以瞄准的点有（ ）个.
A. 1 B. 2 C. 4 D. 6
图6
设问探讨：可作为变题4的训练题使用.
题型归纳2 “一点两线”最短路线问题
变题6：如图7，傍晚小牛离开牛棚先去吃草，然后去洗澡，最后又回到牛棚. 问按怎样的路线走，小牛所走的路程最短？
设问探讨：怎样联想到作点A的对称点？
为什么要作点A的两次对称？
为什么连对称点A1，A2，而不是连结两个垂足？
题型归纳3 “两点两线”最短路线问题
变题7 如图8，已知直线a，b和点A，B，在直线a，b上分别找一点C和D，使四边形ACDB的周长最短.
图8
设问探讨：如何想到要分别作出点A，B的对称点？
为什么这样的点C，D能使四边形ACDB的周长最短？
变题8 如图9，傍晚小牛离开农田先去吃草，然后去洗澡，最后回到牛棚.问按怎样的路线走，小牛所走的路程最短？
图9
设问探讨：本例在变题4的基础上加以研究，也可作为变题5的巩固练习使用.
变题9 如图5，ABCD是长方形桌球台，若击打桌球M，经球台AD，AB两边反弹后撞击桌球A呢？我们该怎样作图球M的运动路径？
题型归纳4?摇 “三点两线”最短路线问题
变题10 如图10，在锐角△ABC中，AB=4，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是________．
设问探讨：
教师：点M，N都是动点，点B是定点，BM+MN的最小值和谁有关？
学生1：和点M，N的位置有关.
教师：点M，N的确定和∠CAB的平分线AD有什么联系？
学生2：角平分线上的点到角两边的距离相等.
教师：我们是否要构造垂线段？过哪点作垂直？
学生3：不要作垂直，将点N转化到AC上去，作MN′=MN.?摇?摇
教师：那BM+MN等于哪段线段？
学生4：等于BM+MN′.
教师：什么位置时，BM+MN′最小？
学生5：当点B，M，N′处于一直线时，BM+MN′最小.
教师：点B，M，N′处于一直线的情况有很多，最小值不确定.
学生6：当BN′⊥AC时，BM+MN′最小.
教师：同学们分析的非常好，动点问题转化为定点问题，利用“两点之间线段最短”来解决.
说明：本例在实际教学中注重学生间的讨论交流，教师适时的引导、点拨.
变题11 如图11，在矩形ABCD中，AB=20 cm，BC=10 cm，若在AC，AB上各取一点M，N，使BM+MN的值最小，求这个最小值.
图11
设问探讨：离开了变题10的角平分线，以矩形为背景，如何求动态变化下的最短线路问题？我们的引导还是转化点B或点N，使得点B′，M，N处于“一直线”上. 为此可以作点B关于AC的对称点B′，再过点B′作B′H⊥AB，B′H即是BM+MN的最小值.
数学课堂教学应注重“知识应用内涵的挖掘”，力求“触类旁通、举一反三”
数学来源于生活，应用于生活.联系生活中的具体问题，往往可以使得所学的数学知识升华和发展，进而让学生知新和创新. 轴对称应用于生活的实例很多，如平面镜反映数字、平面镜反映钟表时间、汽车车牌自倒影、汽车后视镜反射车牌号、太阳光光线反射、剪纸问题等等. 本文主要研究的最短路线作图题，难题不多，下面介绍比较典型的两例.
变题12 如图12，一公司、工厂和职工宿舍之间被河流阻隔，公司计划在点A和点B处修建一座桥梁，为使职工从工厂到宿舍所走的路程最短（桥应垂直岸堤），问桥造在那个位置最合适？
图12
设问探讨：本题是“造桥问题”之一，关注如下问题：
1. 要求所走的路程最短，但桥上距离不可缩短，所以必须要做到陆路最短.
2. 如何引导学生思考先将桥这段路程“走完”，再找陆路的最短距离？
3. 教学时注意区别轴对称的知识与本题的关系，着重探讨本题与上述变题的区别.
变题13?摇 如图13，已知A，B两点在直线l的同侧，试用直尺（没有刻度）和圆规，在l上找两点C和D（CD的长度为定值a），使得AC+CD+DB最短．
图13
设问探讨：本题属于“竹排载人”问题，可添加背景资料：城市A和旅游景点B两地间有大山阻隔，直线l是河流. A城市居民外出前往B处旅游，必须先步行至河流l处，然后乘坐竹排走水路，最后再上岸步行前往B处景点，为使出游人们所走的总路程最短，问竹排应在哪处载客，哪处卸客最合适？
关注如下问题：
1. 如何让所走的总路程最短？
2. 分析总路程，总路程=AC（C为载客起点）+竹排水上移动距离+BD（D为卸客起点）.
3. 竹排在水上运动已经包括了人在竹排上的运动距离（即CD）.
4. 作图时，引导学生思考先将竹排这段路程“走完”，再通过陆路确定载客卸客点.
5. 教师教学时如何利用轴对称的知识解决本题？
任何数学题都有其自身的特点和效用，不同的题关注点不同，发挥的效用也不同；同样的题，问的角度不同，产生的效果也不同；即使是一模一样的题，不同教师的理解和讲解也不同，但我们都可以通过对学生的接受、理解和运用的情况来推断讲课的实效.
因此，如何最有效的利用好每道试题，发挥每道题的作用，是每位教师课堂教学研究的重点. 教师只有针对数学题的本质特征和学生的理解水平，把握问题的角度，精心巧妙的设疑、布置合理的梯度、掌握问题的时机、寻找最佳的切入点、将问题分层次地抛给学生，以最大的效率发挥“引玉”的功效，才能真正把握数学课堂的“题”和“问”，将提问落到实处.
关键词：变题；“题”与“问”；设问探讨
教学实践告诉我们，数学课堂教学，无论从情景设置、活动探究、还是例题讲解、巩固应用、拓展提高等，无一不是通过师生间的教学互动来实现的. 维系课堂互动的核心是师生间的言语交流，所以数学课如何“问”成了课堂教学的关键.本文所指的“题”与“问”，指的是建立在课堂例、习题的基础上，教师依据学生的认知规律，组织学生以“题”为主线、以“问”为手段深入探究，力求达到事半功倍的教学效果. 本文笔者通过“轴对称最短路线问题”的几个实例和各位读者共同探讨数学教学中的“变题”与“设问”.
切忌“就题问题”，力求“顺思而下、水到渠成”?摇?摇
平时的课堂教学受学生的认知水平、接受能力、上课时间等影响较多，教师在讲课时往往只求将具体的问题讲清、讲透，对试题的剖析环节、引导环节下的工夫较少，对有的学生而言，教师的讲解和分析没有“因为”只有“所以”，数学课堂有时仅停留在“对答案、说答案”的层面，课堂教学效果不尽如人意.所以，笔者觉得，面对各种试题、各类试题，教师的讲解如何切入，怎样铺垫设问，怎样引导，为什么这样思考，等等，应该是我们数学课堂教学的根本任务.
例题：如图1，已知点A，B在直线l的同侧，在直线l上找一点C，使AC+CB最短.
这道习题的解法每个学生都熟悉，利用轴对称的知识，作出点A的对称点A′，连结A′B交直线l于点C，点C即为所求.?摇
变题1：若题目条件不变，在直线l上能否找一点C，使CB-CA最长？
设问探讨：笔者认为，怎样将“差最长问题”引入到“三角形三边关系”是本题讲解的核心！
下面是一段课堂教学实录，我们共同讨论和研究.
教师：同学们，本题和我们刚才练习的“AC+CB最短”问题相同吗？
学生1：不同，一个是“和最短”问题，这个是“差最长”问题.
教师：我们该用什么知识解决？
学生2：还是用轴对称的知识.作出点A的对称点A′，连结A′B.
教师：按照你说的作图，如图2. 这样的点C是否满足CB-CA的差最长？
学生3：不满足，在直线l上另取点D，通过测量发现DB-DA＞CB-CA.
教师：作轴对称的方法不行，那该用什么方法解决？（学生思考，冷场）
教师：（再次启发）同学们联想一下，什么知识和“线段之差”有关？
学生4：三角形三边关系中有“两边之差”.
学生5：连结AC，BC，AB，我们可以得到一个三角形，“CB-CA”就是三角形的两边之差.
教师：三角形两边之差怎样？
学生6：三角形两边之差小于第三边.
教师：但题目中，要求CB-CA最长，怎么办？
学生7：点C运动的话，CB-CA≤AB，所以当CB-CA等于第三边AB时，CB-CA就最长了.
教师：分析得很好，怎么作图？
学生8：连结BA，并延长交直线l于点C，点C即为所求.
变题2：如图3，点A，B在直线l的两侧，在直线l上找一点C，使直线l平分∠ACB.
图3
设问探讨：（实际教学中，可能会出现启而不发的情况，教师需适时点拨）
假设找到了满足条件的点C，它具有哪些性质？
能否依据性质反推作图方法？分小组展开讨论.
上述试题属于“两点一线”最短路线问题，顺思利导、延伸拓展，可帮助学生开阔视野、积累经验：
题型归纳1 “两点一线”最短路线问题
变题3：如图4，△ABC中，点P，Q分别是AB，AC边上两点，请在BC上找一点R，使得△PQR的周长最短.
教师：△PQR的周长最短指的是哪些线段的和最短？
学生1：线段PQ，PR，QR的和最短.
教师：怎样使得PQ+PR+QR最短？
学生2：PQ为定值，只需确定点R的位置即可，只要PR+QR最短，△PQR的周长就最短了.
将问题转化为例1的情形解决.
变题4：如图5，ABCD是长方形桌球台，击打桌球M，经球台AD边反弹后撞击桌球N，请作出球M的运动路径.
设问探讨：怎样引出类似于物理中光线反射遵循的“入射角等于反射角”问题？
为什么可以用轴对称知识解决本题？怎样作图？
变题5：如图6，桌面上有A，B两球，若要将B球射向桌面任意一边，使一次反弹后击中A球，则如图所示8个点中，可以瞄准的点有（ ）个.
A. 1 B. 2 C. 4 D. 6
图6
设问探讨：可作为变题4的训练题使用.
题型归纳2 “一点两线”最短路线问题
变题6：如图7，傍晚小牛离开牛棚先去吃草，然后去洗澡，最后又回到牛棚. 问按怎样的路线走，小牛所走的路程最短？
设问探讨：怎样联想到作点A的对称点？
为什么要作点A的两次对称？
为什么连对称点A1，A2，而不是连结两个垂足？
题型归纳3 “两点两线”最短路线问题
变题7 如图8，已知直线a，b和点A，B，在直线a，b上分别找一点C和D，使四边形ACDB的周长最短.
图8
设问探讨：如何想到要分别作出点A，B的对称点？
为什么这样的点C，D能使四边形ACDB的周长最短？
变题8 如图9，傍晚小牛离开农田先去吃草，然后去洗澡，最后回到牛棚.问按怎样的路线走，小牛所走的路程最短？
图9
设问探讨：本例在变题4的基础上加以研究，也可作为变题5的巩固练习使用.
变题9 如图5，ABCD是长方形桌球台，若击打桌球M，经球台AD，AB两边反弹后撞击桌球A呢？我们该怎样作图球M的运动路径？
题型归纳4?摇 “三点两线”最短路线问题
变题10 如图10，在锐角△ABC中，AB=4，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是________．
设问探讨：
教师：点M，N都是动点，点B是定点，BM+MN的最小值和谁有关？
学生1：和点M，N的位置有关.
教师：点M，N的确定和∠CAB的平分线AD有什么联系？
学生2：角平分线上的点到角两边的距离相等.
教师：我们是否要构造垂线段？过哪点作垂直？
学生3：不要作垂直，将点N转化到AC上去，作MN′=MN.?摇?摇
教师：那BM+MN等于哪段线段？
学生4：等于BM+MN′.
教师：什么位置时，BM+MN′最小？
学生5：当点B，M，N′处于一直线时，BM+MN′最小.
教师：点B，M，N′处于一直线的情况有很多，最小值不确定.
学生6：当BN′⊥AC时，BM+MN′最小.
教师：同学们分析的非常好，动点问题转化为定点问题，利用“两点之间线段最短”来解决.
说明：本例在实际教学中注重学生间的讨论交流，教师适时的引导、点拨.
变题11 如图11，在矩形ABCD中，AB=20 cm，BC=10 cm，若在AC，AB上各取一点M，N，使BM+MN的值最小，求这个最小值.
图11
设问探讨：离开了变题10的角平分线，以矩形为背景，如何求动态变化下的最短线路问题？我们的引导还是转化点B或点N，使得点B′，M，N处于“一直线”上. 为此可以作点B关于AC的对称点B′，再过点B′作B′H⊥AB，B′H即是BM+MN的最小值.
数学课堂教学应注重“知识应用内涵的挖掘”，力求“触类旁通、举一反三”
数学来源于生活，应用于生活.联系生活中的具体问题，往往可以使得所学的数学知识升华和发展，进而让学生知新和创新. 轴对称应用于生活的实例很多，如平面镜反映数字、平面镜反映钟表时间、汽车车牌自倒影、汽车后视镜反射车牌号、太阳光光线反射、剪纸问题等等. 本文主要研究的最短路线作图题，难题不多，下面介绍比较典型的两例.
变题12 如图12，一公司、工厂和职工宿舍之间被河流阻隔，公司计划在点A和点B处修建一座桥梁，为使职工从工厂到宿舍所走的路程最短（桥应垂直岸堤），问桥造在那个位置最合适？
图12
设问探讨：本题是“造桥问题”之一，关注如下问题：
1. 要求所走的路程最短，但桥上距离不可缩短，所以必须要做到陆路最短.
2. 如何引导学生思考先将桥这段路程“走完”，再找陆路的最短距离？
3. 教学时注意区别轴对称的知识与本题的关系，着重探讨本题与上述变题的区别.
变题13?摇 如图13，已知A，B两点在直线l的同侧，试用直尺（没有刻度）和圆规，在l上找两点C和D（CD的长度为定值a），使得AC+CD+DB最短．
图13
设问探讨：本题属于“竹排载人”问题，可添加背景资料：城市A和旅游景点B两地间有大山阻隔，直线l是河流. A城市居民外出前往B处旅游，必须先步行至河流l处，然后乘坐竹排走水路，最后再上岸步行前往B处景点，为使出游人们所走的总路程最短，问竹排应在哪处载客，哪处卸客最合适？
关注如下问题：
1. 如何让所走的总路程最短？
2. 分析总路程，总路程=AC（C为载客起点）+竹排水上移动距离+BD（D为卸客起点）.
3. 竹排在水上运动已经包括了人在竹排上的运动距离（即CD）.
4. 作图时，引导学生思考先将竹排这段路程“走完”，再通过陆路确定载客卸客点.
5. 教师教学时如何利用轴对称的知识解决本题？
任何数学题都有其自身的特点和效用，不同的题关注点不同，发挥的效用也不同；同样的题，问的角度不同，产生的效果也不同；即使是一模一样的题，不同教师的理解和讲解也不同，但我们都可以通过对学生的接受、理解和运用的情况来推断讲课的实效.
因此，如何最有效的利用好每道试题，发挥每道题的作用，是每位教师课堂教学研究的重点. 教师只有针对数学题的本质特征和学生的理解水平，把握问题的角度，精心巧妙的设疑、布置合理的梯度、掌握问题的时机、寻找最佳的切入点、将问题分层次地抛给学生，以最大的效率发挥“引玉”的功效，才能真正把握数学课堂的“题”和“问”，将提问落到实处.