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《数学课程标准》指出,数学教学活动不仅要考虑自身的特点,更要遵循学生学习数学的心理规律,强调从学生已有的生活经验出发,让学生亲身经历 “问题情境—建立模型—求解、应用与拓展”的数学过程.本文以阅读材料“供应站的最佳位置在哪里”(华师大版初一数学实验教材第三章第117页)为例,从模型的引入、建立、熟练、拓展、迁移和应用,谈谈新课程下数学建模的教学.
一、引入——孕育数学模型
数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上,因此,学生已有的认知经验基础是教师教学活动的起点.
问题情境:如果一条流水线上有依次排列的10台机床在工作,我们要设置一个零件供应站P,使这10台机床到供应站P的距离总和最小,这个零件供应站应设在何处呢?
我们先把问题退化到比较简单的情形.
如图1,如果流水线上有2台机床时,很明显设在A1和A2之间的任何地方都行.
如图2,如果流水线上有3台机床时,我们不难判断,供应站P设在中间一台机床A2处最合适,因为如果P放在A2处,甲和丙所走的距离之和恰好为A1到A3的距离.而如果把P放在别处,例如D处,那么甲和丙所有距离之和仍是A1到A3的距离,而乙还得走从A2到D的这一段,这是多出来的.因此,P放在A2处是最佳位置.
如果流水线上有4台机床P应放在何处?有5台机床呢?更一般地,有n台机床时P应放在何处?
二、提炼——建立数学模型
现在我们来回答第一个问题,当n=10时,零件供应站在第5台和第6台之间,以这条直线画数轴,n个供应站在数轴上的n个点(如图3),设供应站的坐标依次为a1,a2,a3,…,an,且a1≤a2≤a3≤…≤an,问题转化为:在该数轴上找一点P,其坐标为x,当x取何值时,y=|x-a1|+|x-a2|+…+|x-an|取得最小值.
图3
根据绝对值的几何意义可知,|x-a|表示数轴上任意一点x与点a的距离,结合图形可知,n=2时,当a1≤x≤a2时,y取得最小值为a2-a1;
n=3时,当x=a2时,y取得最小值为a3-a1;
若n=2k时,当ak≤x≤ak+1时,y取得最小值为(an-a1)+(an-1-a2)+…+(ak+1-ak);
若n=2k+1时,当x=ak时,y取得最小值为(an-a1)+(an-1-a2)+…+(ak+1-ak).
这就是供应站最佳位置的数学模型.
三、模仿——熟悉数学模型
“模仿”是数学建模教学过程中的一个重要环节,对于一个新的数学模型,只有通过多次的模仿才能逐渐熟悉、理解其特征及解,才能为模型的应用打下坚实的基础.
分析此题若用代数方法解,需用到零点分段法,分成x≥2,-5≤x<2,x<-5三段考虑.若用几何法解,原式表示点x到点(-5)和点2的距离和为7.而点(-5)和点2恰好相距7个单位长度,就是找一个点到(-5)和2的距离和最小.
解:因为点(-5)到点2的距离为7个单位长度,故x在点(-5)与点2之间(包括两个端点),所以-5≤x≤2.
四、拓展——揭示模型本质
多次重复和简单模仿并未能真正掌握一个数学模型,只有掌握了模型的特征和本质,才能熟练、灵活地应用数学模型.因此,模仿之后的延伸和拓展(意在揭示模型的本质)在数学建模教学过程中是不可或缺的,是模型应用创新的前提.
例4如图5所示,在一条笔直的马路上有7个村庄,其中村庄A,B,C,D,E,F离城市的距离分别为4,10,15,17,19,20km,而村庄G正好是AF的中点.现需要在某个村庄建一个活动中心,使各村到活动中心的距离之和最短,则活动中心应建在()
分析用几何法解,就是在数轴上找一点,到这7个点的距离之和最小,因为n=7,所以该点应选在依次排列的第4点处.
解由已知得AF=20-4=16,则AG=8,所以点G距城市12km,所以G在B,C之间.这样,活动中心应建在点C处,答案为B.
五、迁移——模型的形式化
形式化是数学的基本特征之一.数学的魅力不仅仅表现在实际生活中的广泛应用上,还表现在数学在培养学生的思维能力上有着其他学科不可替代的作用.注重数学模型在数学命题中的演绎和推理,可以升华学生对模型的本质认识,提高解题能力,又能有效地培养学生的逻辑推理能力和良好的思维品质.
例5某环行道路上顺时针排列有4所中学:A1,A2,A3,A4,它们顺次有彩电15台、8台、5台、12台.为使各校的彩电数相同,允许一些中学向临近中学调出彩电,问怎样调配才能使调出的彩电台数最少,并求出调出彩电的最少台数.
分析可以通过建模,将问题转化为y=|x-a1|+|x-a2|+…+|x-an|取得最小值,从而求出解.
解设A1中学调给A2中学x1台(若x1是负数,则认为是A2中学给A1中学调出x1台,下同),A2中学调给A3中学x2台,A3中学调给A4中学x3台,A4中学调给A1中学x4台.因为共有40台彩电,平均每校10台,因此,
15-x1+x4=10,8-x2+x1=10,5-x3+x2=10,12-x4+x3=10.
解得x2=x1-2,x3=x1-7,x4=x1-5.
本题要求调出总台数:
y=|x1|+|x2|+|x3|+|x4|=|x1|+|x1-2|+|x1-7|+|x1-5|的值最小.所以当2≤x1≤5时,y的最小值为10.
即当x1=2时,x2=0,x3=-5,x4=-3;
当x1=3时,x2=1,x3=-4,x4=-2;
当x1=4时,x2=2,x3=-3,x4=-1;
当x1=5时,x2=3,x3=-2,x4=0.
六、应用——模型的生活化
《数学课程标准》在“应用意识”的学习内容中指出:“应用意识主要表现在:认识现实生活中蕴涵着大量的数学信息,数学在现实生活中有着广泛的应用;面对实际问题时,能主动尝试着从数学的角度运用所学知识和方法寻找解决问题的策略……”也就是说,在数学建模教学中,既要突出模型来源于现实生活,还应让模型回归到现实生活中去.在模型的建立与回归中,培养学生的应用意识和建模能力.
例6某送奶公司计划在三栋楼之间建一奶站,三栋楼在同一条直线上,顺次为A楼,B楼,C楼,其中A楼与B楼之间的距离为40m,B楼与C楼之间的距离为60m,已知A楼每天有20人取奶,B楼每天有70人取奶,C楼每天有60人取奶,送奶公司提出两种建站方案:
方案一:让每天所有取奶的人到奶站的距离和最小.
方案二:让每天A楼与C楼所有的人到奶站的距离和等于B楼所有的人到奶站的距离和.
(1)若按照方案一建站,取奶站应建在什么位置?
(2)若按照方案二建站,取奶站应建在什么位置?
(3)在(2)情况下,若A楼每天取奶的人数增加(增加的人数不超过22人),那么取奶站将离B楼越来越远,还是越来越近?请说明理由.
(2)若按照方案二建站,取奶站应建在距B楼40m处.
(3)按照方案二建站,取奶站应建在B,C两楼之间,且随着人数的增加,离B楼越来越远.
本文以上所述的六个过程是《数学课程标准》倡导的“问题情境—建立模型—解释、应用与拓展”教学模式在课堂教学中的细化.其目的是让学生亲身经历知识的发生、发展、形成与应用的过程,更好地理解数学知识的来龙去脉.这样的过程,对学生掌握“双基”,培养他们的思维品质、应用能力和创新意识等方面,都会起到促进作用.
“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”
一、引入——孕育数学模型
数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上,因此,学生已有的认知经验基础是教师教学活动的起点.
问题情境:如果一条流水线上有依次排列的10台机床在工作,我们要设置一个零件供应站P,使这10台机床到供应站P的距离总和最小,这个零件供应站应设在何处呢?
我们先把问题退化到比较简单的情形.
如图1,如果流水线上有2台机床时,很明显设在A1和A2之间的任何地方都行.
如图2,如果流水线上有3台机床时,我们不难判断,供应站P设在中间一台机床A2处最合适,因为如果P放在A2处,甲和丙所走的距离之和恰好为A1到A3的距离.而如果把P放在别处,例如D处,那么甲和丙所有距离之和仍是A1到A3的距离,而乙还得走从A2到D的这一段,这是多出来的.因此,P放在A2处是最佳位置.
如果流水线上有4台机床P应放在何处?有5台机床呢?更一般地,有n台机床时P应放在何处?
二、提炼——建立数学模型
现在我们来回答第一个问题,当n=10时,零件供应站在第5台和第6台之间,以这条直线画数轴,n个供应站在数轴上的n个点(如图3),设供应站的坐标依次为a1,a2,a3,…,an,且a1≤a2≤a3≤…≤an,问题转化为:在该数轴上找一点P,其坐标为x,当x取何值时,y=|x-a1|+|x-a2|+…+|x-an|取得最小值.
图3
根据绝对值的几何意义可知,|x-a|表示数轴上任意一点x与点a的距离,结合图形可知,n=2时,当a1≤x≤a2时,y取得最小值为a2-a1;
n=3时,当x=a2时,y取得最小值为a3-a1;
若n=2k时,当ak≤x≤ak+1时,y取得最小值为(an-a1)+(an-1-a2)+…+(ak+1-ak);
若n=2k+1时,当x=ak时,y取得最小值为(an-a1)+(an-1-a2)+…+(ak+1-ak).
这就是供应站最佳位置的数学模型.
三、模仿——熟悉数学模型
“模仿”是数学建模教学过程中的一个重要环节,对于一个新的数学模型,只有通过多次的模仿才能逐渐熟悉、理解其特征及解,才能为模型的应用打下坚实的基础.
分析此题若用代数方法解,需用到零点分段法,分成x≥2,-5≤x<2,x<-5三段考虑.若用几何法解,原式表示点x到点(-5)和点2的距离和为7.而点(-5)和点2恰好相距7个单位长度,就是找一个点到(-5)和2的距离和最小.
解:因为点(-5)到点2的距离为7个单位长度,故x在点(-5)与点2之间(包括两个端点),所以-5≤x≤2.
四、拓展——揭示模型本质
多次重复和简单模仿并未能真正掌握一个数学模型,只有掌握了模型的特征和本质,才能熟练、灵活地应用数学模型.因此,模仿之后的延伸和拓展(意在揭示模型的本质)在数学建模教学过程中是不可或缺的,是模型应用创新的前提.
例4如图5所示,在一条笔直的马路上有7个村庄,其中村庄A,B,C,D,E,F离城市的距离分别为4,10,15,17,19,20km,而村庄G正好是AF的中点.现需要在某个村庄建一个活动中心,使各村到活动中心的距离之和最短,则活动中心应建在()
分析用几何法解,就是在数轴上找一点,到这7个点的距离之和最小,因为n=7,所以该点应选在依次排列的第4点处.
解由已知得AF=20-4=16,则AG=8,所以点G距城市12km,所以G在B,C之间.这样,活动中心应建在点C处,答案为B.
五、迁移——模型的形式化
形式化是数学的基本特征之一.数学的魅力不仅仅表现在实际生活中的广泛应用上,还表现在数学在培养学生的思维能力上有着其他学科不可替代的作用.注重数学模型在数学命题中的演绎和推理,可以升华学生对模型的本质认识,提高解题能力,又能有效地培养学生的逻辑推理能力和良好的思维品质.
例5某环行道路上顺时针排列有4所中学:A1,A2,A3,A4,它们顺次有彩电15台、8台、5台、12台.为使各校的彩电数相同,允许一些中学向临近中学调出彩电,问怎样调配才能使调出的彩电台数最少,并求出调出彩电的最少台数.
分析可以通过建模,将问题转化为y=|x-a1|+|x-a2|+…+|x-an|取得最小值,从而求出解.
解设A1中学调给A2中学x1台(若x1是负数,则认为是A2中学给A1中学调出x1台,下同),A2中学调给A3中学x2台,A3中学调给A4中学x3台,A4中学调给A1中学x4台.因为共有40台彩电,平均每校10台,因此,
15-x1+x4=10,8-x2+x1=10,5-x3+x2=10,12-x4+x3=10.
解得x2=x1-2,x3=x1-7,x4=x1-5.
本题要求调出总台数:
y=|x1|+|x2|+|x3|+|x4|=|x1|+|x1-2|+|x1-7|+|x1-5|的值最小.所以当2≤x1≤5时,y的最小值为10.
即当x1=2时,x2=0,x3=-5,x4=-3;
当x1=3时,x2=1,x3=-4,x4=-2;
当x1=4时,x2=2,x3=-3,x4=-1;
当x1=5时,x2=3,x3=-2,x4=0.
六、应用——模型的生活化
《数学课程标准》在“应用意识”的学习内容中指出:“应用意识主要表现在:认识现实生活中蕴涵着大量的数学信息,数学在现实生活中有着广泛的应用;面对实际问题时,能主动尝试着从数学的角度运用所学知识和方法寻找解决问题的策略……”也就是说,在数学建模教学中,既要突出模型来源于现实生活,还应让模型回归到现实生活中去.在模型的建立与回归中,培养学生的应用意识和建模能力.
例6某送奶公司计划在三栋楼之间建一奶站,三栋楼在同一条直线上,顺次为A楼,B楼,C楼,其中A楼与B楼之间的距离为40m,B楼与C楼之间的距离为60m,已知A楼每天有20人取奶,B楼每天有70人取奶,C楼每天有60人取奶,送奶公司提出两种建站方案:
方案一:让每天所有取奶的人到奶站的距离和最小.
方案二:让每天A楼与C楼所有的人到奶站的距离和等于B楼所有的人到奶站的距离和.
(1)若按照方案一建站,取奶站应建在什么位置?
(2)若按照方案二建站,取奶站应建在什么位置?
(3)在(2)情况下,若A楼每天取奶的人数增加(增加的人数不超过22人),那么取奶站将离B楼越来越远,还是越来越近?请说明理由.
(2)若按照方案二建站,取奶站应建在距B楼40m处.
(3)按照方案二建站,取奶站应建在B,C两楼之间,且随着人数的增加,离B楼越来越远.
本文以上所述的六个过程是《数学课程标准》倡导的“问题情境—建立模型—解释、应用与拓展”教学模式在课堂教学中的细化.其目的是让学生亲身经历知识的发生、发展、形成与应用的过程,更好地理解数学知识的来龙去脉.这样的过程,对学生掌握“双基”,培养他们的思维品质、应用能力和创新意识等方面,都会起到促进作用.
“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”