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〔关键词〕 创新能力；一题多解；一题
多变；解题思路
〔中图分类号〕 G633.63
〔文献标识码〕 C
〔文章编号〕 1004—0463（2008）
10（B）—0061—02
开发学生的智力，培养学生的创新能力是素质教育的核心，也是新课标的目的之所在.教师在授课时若能认真钻研教材，深入地挖掘例（习）题潜能，一题多解，一题多变，这对于培养学生数学兴趣、拓宽学生解题思路、提高学生分析及解决问题的能力起着不可估量的作用.现举例说明.
一题多解，培养思维的广泛性
已知：如图1，AD∥BC，点E是DC的中点，AE平分∠BAD，求证：BE平分∠ABC.
分析：如图2，延长AE交BC的延长线于点F，则△ADE≌△FCE（AAS）.不难证出△BAF是等腰三角形，又因为E是底边AF的中点，所以，BE平分∠ABC.
[变式1] 已知：如图1，AD∥BC，AE平分∠BAD，BE平分∠ABC，求证：点E是DC的中点.
证法1：如图2，延长AE交BC的延长线于点F.
则AD∥BC?圯∠DAE=∠F，
AE平分∠BAD?圯
∠DAE=∠BAE，
∴∠BAE=∠F?圯BA=BF.
又BE平分∠ABC，∴ AE=EF.
在△ADE和△FCE中，
∠DAE=∠F，
AE=FE，
∠AED=∠FEC，
∴△ADE≌△FEC（ASA），
∴ DE=CE，即E是DC的中点.
证法2：如图3，延长BE交AD的延长线于点F.
则AD∥BC?圯∠CBE=∠F，
又BE平分∠ABC?圯
∠CBE=∠ABE，
∴∠ABE=∠F?圯AB=AF.
AE平分∠BAD?圯BE=FE.
同理可证，△FED≌△BEC（ASA）?圯E是DC的中点.
证法3：如图4，在AB上截取AF=AD，连接EF.
不难证出△ADE≌△AFE（SAS）?圯FE=DE，∠D=∠AFE.
∵ AD∥BC?圯∠D+∠C=180°，
∠AFE+∠BFE=180°，
∴ ∠BFE=∠C.
∴ 可证出△EFB≌△ECB（AAS）?圯EF=EC.
∴ FE=DE=EC，即E是DC的中点.
[变式2] 已知：如图1，AD∥BC，点E是DC的中点，AE平分∠BAD，求证：AB=AD+BC.
分析：我们同样可以采用变式1中的三种方法证明.现分析一解：如图2，延长AE交BC的延长线于点F，则△ADE≌△FCE（AAS）?圯AD=CF，又AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠F?圯AB=BF=BC+CF=AD+BC.
[变式3] 已知：如图1，AD∥BC，点E是DC的中点，AE平分∠BAD，求证：AE⊥BE.
分析：我们同样可以采用变式1中的三种方法证明.现分析一解：如图2，延长AE交BC的延长线于点F，则△ADE≌△FCE（AAS）?圯∠F=∠DAE，AE=FE.又∵AE平分∠BAD，∴∠F=∠BAE?圯BA=BF，又E是AF的中点，则AE⊥BE.
[变式4]已知：如图1，AD∥BC，AE平分∠BAD，AE⊥BE，求证：AB=AD+BC.
证法1：如图5，延长AE交BC的延长线于点F.
∵ AE平分∠BAC，∴∠1=∠2.
∵∠5=90°，∴∠2+∠3=90°.
∵ AD∥BC，
∴∠1+∠2+∠3+∠4=180°，
∴∠1+∠4=90°，∴∠3=∠4.
∵ BE⊥AE，∴∠BEF=90°.
在△ABE和△FBE中
∠3=∠4，BE=BE，∠5=∠FBE.
∴△ABE≌△FBE（ASA），
∴ AE=EF，AB=BF.
∵ AD∥BC， ∴∠1=∠F.
在ADE和△FCE中
∠1=∠F，AE=FE，∠AED=∠FEC.
∴ △ADE≌△FCE（ASA），
∴ AD=CF.
∵ BF=CF+BC，AB=BF，
∴ AB=AD+BC.
证法2：如图3，延长BE交AD的延长线于点F. ∵ AE平分∠BAD，AE⊥BE，∴ AB=AF，BE=FE，又AD∥BC，∴∠F=∠CBE，可证△BCE≌△FDE（ASA）?圯AB=AF=AD+DF=BC+AD.
证法3：如图6，在AB上截取AF=AD，连接EF，则△ADE≌△AFE（SAS）?圯∠DEA=∠FEA，又AE⊥BE?圯∠AEB=∠MEB=90°，∴ AEF+∠BEF=∠CEB+∠MEC.又∠DEA=∠FEA=∠MEC，∴∠FEB=∠CEB.又AD∥BC?圯∠D+∠C=180°，由∠AFE+∠BFE=180°，∠C=∠BFE，就不难证出△BFE≌△BCE（AAS）?圯BC=BF，∴ AB=AD+BC.
一题多变，培养思维的灵活性
从以上结论的变式我们可以归纳出：六选三可证三.
（1）AD∥BC；
（2）AE平分∠BAD；
（3）BE平分∠ABC；
（4）点E是DC的中点；
（5）AB=AD+BC；
（6）AE⊥BE（或∠AEB=90°）.
[探究变式5]S四边形ABCD=2·
S△ABE，证明是显而易见的.
[拓广变式6]如图7，AD∥BC，∠A=90°，AB=12，BC=9，CD=13，点E是AB所在直线上的一动点.是否存在这样的点，使△CDE为直角三角形？若存在请确定点E的位置，若不存在请说明理由.
分析：过D作DE⊥BC，垂足为E，则四边形ABED是矩形，则AD=4.设AE=x，则在Rt△DEC中：
变法（1），如果∠DEC=90°，如图8，则有（42+x2）+[（12-x）2+92]=132.解这个方程得x=6.
变法（2），如果∠EDC=90°，如图9，则有（42+x2）+132=（12-x）2+92.解这个方程得x=.
变法（3），如果∠DCE=90°，如图10，则有[（x-12）2+92]+132=42+x2，解这个方程得x=15.
通过以上的条件变式、结合变式、逆向变式、类比变式、图形变式、拓广变式、探究变式的学习，可以使学生跳出题海，思维灵活性得到提高.
多变；解题思路
〔中图分类号〕 G633.63
〔文献标识码〕 C
〔文章编号〕 1004—0463（2008）
10（B）—0061—02
开发学生的智力，培养学生的创新能力是素质教育的核心，也是新课标的目的之所在.教师在授课时若能认真钻研教材，深入地挖掘例（习）题潜能，一题多解，一题多变，这对于培养学生数学兴趣、拓宽学生解题思路、提高学生分析及解决问题的能力起着不可估量的作用.现举例说明.
一题多解，培养思维的广泛性
已知：如图1，AD∥BC，点E是DC的中点，AE平分∠BAD，求证：BE平分∠ABC.
分析：如图2，延长AE交BC的延长线于点F，则△ADE≌△FCE（AAS）.不难证出△BAF是等腰三角形，又因为E是底边AF的中点，所以，BE平分∠ABC.
[变式1] 已知：如图1，AD∥BC，AE平分∠BAD，BE平分∠ABC，求证：点E是DC的中点.
证法1：如图2，延长AE交BC的延长线于点F.
则AD∥BC?圯∠DAE=∠F，
AE平分∠BAD?圯
∠DAE=∠BAE，
∴∠BAE=∠F?圯BA=BF.
又BE平分∠ABC，∴ AE=EF.
在△ADE和△FCE中，
∠DAE=∠F，
AE=FE，
∠AED=∠FEC，
∴△ADE≌△FEC（ASA），
∴ DE=CE，即E是DC的中点.
证法2：如图3，延长BE交AD的延长线于点F.
则AD∥BC?圯∠CBE=∠F，
又BE平分∠ABC?圯
∠CBE=∠ABE，
∴∠ABE=∠F?圯AB=AF.
AE平分∠BAD?圯BE=FE.
同理可证，△FED≌△BEC（ASA）?圯E是DC的中点.
证法3：如图4，在AB上截取AF=AD，连接EF.
不难证出△ADE≌△AFE（SAS）?圯FE=DE，∠D=∠AFE.
∵ AD∥BC?圯∠D+∠C=180°，
∠AFE+∠BFE=180°，
∴ ∠BFE=∠C.
∴ 可证出△EFB≌△ECB（AAS）?圯EF=EC.
∴ FE=DE=EC，即E是DC的中点.
[变式2] 已知：如图1，AD∥BC，点E是DC的中点，AE平分∠BAD，求证：AB=AD+BC.
分析：我们同样可以采用变式1中的三种方法证明.现分析一解：如图2，延长AE交BC的延长线于点F，则△ADE≌△FCE（AAS）?圯AD=CF，又AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠F?圯AB=BF=BC+CF=AD+BC.
[变式3] 已知：如图1，AD∥BC，点E是DC的中点，AE平分∠BAD，求证：AE⊥BE.
分析：我们同样可以采用变式1中的三种方法证明.现分析一解：如图2，延长AE交BC的延长线于点F，则△ADE≌△FCE（AAS）?圯∠F=∠DAE，AE=FE.又∵AE平分∠BAD，∴∠F=∠BAE?圯BA=BF，又E是AF的中点，则AE⊥BE.
[变式4]已知：如图1，AD∥BC，AE平分∠BAD，AE⊥BE，求证：AB=AD+BC.
证法1：如图5，延长AE交BC的延长线于点F.
∵ AE平分∠BAC，∴∠1=∠2.
∵∠5=90°，∴∠2+∠3=90°.
∵ AD∥BC，
∴∠1+∠2+∠3+∠4=180°，
∴∠1+∠4=90°，∴∠3=∠4.
∵ BE⊥AE，∴∠BEF=90°.
在△ABE和△FBE中
∠3=∠4，BE=BE，∠5=∠FBE.
∴△ABE≌△FBE（ASA），
∴ AE=EF，AB=BF.
∵ AD∥BC， ∴∠1=∠F.
在ADE和△FCE中
∠1=∠F，AE=FE，∠AED=∠FEC.
∴ △ADE≌△FCE（ASA），
∴ AD=CF.
∵ BF=CF+BC，AB=BF，
∴ AB=AD+BC.
证法2：如图3，延长BE交AD的延长线于点F. ∵ AE平分∠BAD，AE⊥BE，∴ AB=AF，BE=FE，又AD∥BC，∴∠F=∠CBE，可证△BCE≌△FDE（ASA）?圯AB=AF=AD+DF=BC+AD.
证法3：如图6，在AB上截取AF=AD，连接EF，则△ADE≌△AFE（SAS）?圯∠DEA=∠FEA，又AE⊥BE?圯∠AEB=∠MEB=90°，∴ AEF+∠BEF=∠CEB+∠MEC.又∠DEA=∠FEA=∠MEC，∴∠FEB=∠CEB.又AD∥BC?圯∠D+∠C=180°，由∠AFE+∠BFE=180°，∠C=∠BFE，就不难证出△BFE≌△BCE（AAS）?圯BC=BF，∴ AB=AD+BC.
一题多变，培养思维的灵活性
从以上结论的变式我们可以归纳出：六选三可证三.
（1）AD∥BC；
（2）AE平分∠BAD；
（3）BE平分∠ABC；
（4）点E是DC的中点；
（5）AB=AD+BC；
（6）AE⊥BE（或∠AEB=90°）.
[探究变式5]S四边形ABCD=2·
S△ABE，证明是显而易见的.
[拓广变式6]如图7，AD∥BC，∠A=90°，AB=12，BC=9，CD=13，点E是AB所在直线上的一动点.是否存在这样的点，使△CDE为直角三角形？若存在请确定点E的位置，若不存在请说明理由.
分析：过D作DE⊥BC，垂足为E，则四边形ABED是矩形，则AD=4.设AE=x，则在Rt△DEC中：
变法（1），如果∠DEC=90°，如图8，则有（42+x2）+[（12-x）2+92]=132.解这个方程得x=6.
变法（2），如果∠EDC=90°，如图9，则有（42+x2）+132=（12-x）2+92.解这个方程得x=.
变法（3），如果∠DCE=90°，如图10，则有[（x-12）2+92]+132=42+x2，解这个方程得x=15.
通过以上的条件变式、结合变式、逆向变式、类比变式、图形变式、拓广变式、探究变式的学习，可以使学生跳出题海，思维灵活性得到提高.