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数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈.动态问题不仅能体现“世界是运动变化的，又是相对静止的，并且在一定条件下可以相互转化”的哲学观点.解决动态问题可以“以静制动，动中窥静”，一方面可以将运动过程中的各个时刻的图形分类画图，由“动”变“静”；另一方面可以抓住在运动过程中某一特殊位置的等量关系和变量关系，并特别关注一些不变量和不变关系或特殊关系以及特定的限制条件，特殊位置看作是瞬间“静止”的位置．动态型试题灵活多变，动中有静、动静结合，能够在运动变化中发展学生空间想象能力，综合分析能力，近年来备受各地中考命题者的青睐，成为中考试题中的一大亮点.
一、 静态分类画图巧解重叠型动态问题
重叠型动态问题是指图形通过平移、旋转、翻折或缩放等运动，其中一个图形与另一个图形重叠，并求其重叠部分的面积与运动变量之间的函数关系.
例1如图1，直角梯形ABCD和正方形EFGC的边BC、CG在同一条直线上，AD∥BC，AB⊥BC于点B，AD＝4，AB＝6，BC＝8，直角梯形ABCD的面积与正方形EFGC的面积相等．将直角梯形ABCD沿BG向右平移，当点C与点G重合时停止移动．設梯形与正方形重叠部分的面积为S．
（1） 求正方形的边长；
（2） 设直角梯形ABCD的顶点C向右移动的距离为x，求S与x的函数关系式；
（3） 当直角梯形ABCD向右移动时，它与正方形EFGC重叠部分的面积S能否等于直角梯形ABCD面积的一半？若能，求出此时运动的距离x的值；若不能，请说明理由．
分析第（1）问由S＝S求出正方形的边长；第（2）问可以通过动手实验操作，按要求剪出图中的梯形进行模拟实验，以静制动很容易找出分类的临界点，从而顺利的画出各个时段的代表图形，此题的临界点 x=4，所以当0＜x≤4时，重叠部分的形状都是如图2所示的直角三角形，在这一变化过程中其它位置的面积计算方法与图2中的△MCN的面积计算方法完全一样.当画出图2时，重叠面积S=×CN ×CM ，即一个静态的三角形的面积计算.同样当4＜x≤6时，重叠部分的形状都是图3所示的直角梯形，重叠部分的面积计算就是一个静态的直角梯形的面积计算.通过分类画图就可以达到“化动为静”的目的；第（3）问根据问题（2）中两种情况可别令重叠部分的面积等于梯形面积的一半，求x的值，若解出的x值符合题意则存在，否则不存在．
解析（1）S＝S＝（4＋８）×６=36
∴正方形的边长6．
（2） ①0＜x≤4时，重叠部分为三角形．
如图2，设重叠三角形为△MCN，过D作DH⊥BC于H，可得△MCN∽△DHN．
∴ ＝. 又HN＝BN－AD＝8－4=4，
∴ ＝. ∴MC=x.
∴ S=CN.CM=•x•x=x2
② 当4＜x≤6时，重叠部分为直角梯形．如图3，设重叠的直角梯形为ECND，
则CN＝x，ED＝4－（8－x），
S=[4-（8-x）+x]×6=6x-12
∴ S=x2（0＜x≤4），６x-12（4＜x≤6）.
（3） 存在．
∵ S＝36，当0＜x≤4时，
Ｓ＝x2即×36=x2．
解得x＝2（取正值）＞4，
∴此时x的值不存在；
当4＜x≤6时，S＝6x－12，
有×36=6x-12
解得x＝5，在4＜x≤6范围内．
综上所述，当x＝5时，重叠部分的面积S等于直角梯形ABCD面积的一半．
说明当图形的运动形式变成旋转、翻折或放缩时，解题方法的探寻与例1中的方法几乎相同，都可以按“适当模拟操作，分类画图分析，以静制动，列出关系.”
二、 瞬间“静止”巧解确定型动态问题
此类问题旨在探究图形动态变化过程中是否出现一些期待或“遐想”的瞬间，例如特殊关系、特殊图形、特殊位置等.
例2如图4，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC = 3，AB =5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．
（1） 当t = 2时，AP =，点Q到AC的距离是；
（2） 在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S与t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）
（3）在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成为直角梯形？若能，求t的值．若不能，请说明理由；
（4） 当DE经过点C时，请直接写出t的值．
分析第（1）问当t＝2时，AP＝3－2＝1，AQ＝2；
第（2）问作QF⊥AP于F点，利用三角形相似，得=，可用含t的代数式表示QF，从而表示出S；
第（3）问是求特殊图形（直角梯形）所对应的运动时间，DE可以瞬间确定为梯形的底也可以为梯形的腰．
第（4）问是求特殊位置（DE经过点C）所对应的运动时间，是一个典型的瞬间“静止”确定型动态问题.
为了更好的确定瞬间静止位置，可以动手模拟操作实验，可以用笔等现有的工具代替DQ和DE，找出所有可能出现的大致位置，并画出特殊图形、特殊位置的示意图，实现“以静制动”，最后将图形数量化.
解析（1）１（2）作QF⊥AC于点F，如图5所示，AQ＝CP＝t， ∴ AP＝3－t．
由△AQF∽△ABC，BC＝4，得QF=t.
∴ S=AP•QF=（3-t）×t
∴ S=t2+t
（3）能．
① 当DE∥QB时，如图6所示．
∵ DE⊥PQ，
∴ PQ⊥QB，四边形QBED是直角梯形．
此时∠AQP＝90°．
由△APQ∽△ABC，得=，即=.解得t=．
② 如图7所示，当PQ∥BC时，DE⊥BC，则四边形QBED是直角梯形，此时∠APQ＝90°．
由△AQP∽△ABC，得=，
即=，解得t=.
（4）t=或t=．
注： ①点P由C向A运动，DE经过点C．
连接QC，作QG⊥BC于点G，如图8所示．
PC=t，QC2＝QG2+CG2=[（5-t）]２＋[4-（5-t）]2
由PC2＝QC2，得t2=[（5-t）]２＋[4-（5-t）]2，
解得t=.
② 点P由A向C运动，DE经过点C，如图9所示．
（6-t）2=[（5-t）]２＋[4-（5-t）]2，
t=.
说明本题是在图形运动过程中求函数解析式问题，解决这类问题的方法：①让图形运动起来，分类讨论运动中的各种瞬间情况，写出自变量的取值范围；②把每种瞬间情况分别画图，使图形由“动”变“静”，寻找两个变量之间的等量关系．
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
一、 静态分类画图巧解重叠型动态问题
重叠型动态问题是指图形通过平移、旋转、翻折或缩放等运动，其中一个图形与另一个图形重叠，并求其重叠部分的面积与运动变量之间的函数关系.
例1如图1，直角梯形ABCD和正方形EFGC的边BC、CG在同一条直线上，AD∥BC，AB⊥BC于点B，AD＝4，AB＝6，BC＝8，直角梯形ABCD的面积与正方形EFGC的面积相等．将直角梯形ABCD沿BG向右平移，当点C与点G重合时停止移动．設梯形与正方形重叠部分的面积为S．
（1） 求正方形的边长；
（2） 设直角梯形ABCD的顶点C向右移动的距离为x，求S与x的函数关系式；
（3） 当直角梯形ABCD向右移动时，它与正方形EFGC重叠部分的面积S能否等于直角梯形ABCD面积的一半？若能，求出此时运动的距离x的值；若不能，请说明理由．
分析第（1）问由S＝S求出正方形的边长；第（2）问可以通过动手实验操作，按要求剪出图中的梯形进行模拟实验，以静制动很容易找出分类的临界点，从而顺利的画出各个时段的代表图形，此题的临界点 x=4，所以当0＜x≤4时，重叠部分的形状都是如图2所示的直角三角形，在这一变化过程中其它位置的面积计算方法与图2中的△MCN的面积计算方法完全一样.当画出图2时，重叠面积S=×CN ×CM ，即一个静态的三角形的面积计算.同样当4＜x≤6时，重叠部分的形状都是图3所示的直角梯形，重叠部分的面积计算就是一个静态的直角梯形的面积计算.通过分类画图就可以达到“化动为静”的目的；第（3）问根据问题（2）中两种情况可别令重叠部分的面积等于梯形面积的一半，求x的值，若解出的x值符合题意则存在，否则不存在．
解析（1）S＝S＝（4＋８）×６=36
∴正方形的边长6．
（2） ①0＜x≤4时，重叠部分为三角形．
如图2，设重叠三角形为△MCN，过D作DH⊥BC于H，可得△MCN∽△DHN．
∴ ＝. 又HN＝BN－AD＝8－4=4，
∴ ＝. ∴MC=x.
∴ S=CN.CM=•x•x=x2
② 当4＜x≤6时，重叠部分为直角梯形．如图3，设重叠的直角梯形为ECND，
则CN＝x，ED＝4－（8－x），
S=[4-（8-x）+x]×6=6x-12
∴ S=x2（0＜x≤4），６x-12（4＜x≤6）.
（3） 存在．
∵ S＝36，当0＜x≤4时，
Ｓ＝x2即×36=x2．
解得x＝2（取正值）＞4，
∴此时x的值不存在；
当4＜x≤6时，S＝6x－12，
有×36=6x-12
解得x＝5，在4＜x≤6范围内．
综上所述，当x＝5时，重叠部分的面积S等于直角梯形ABCD面积的一半．
说明当图形的运动形式变成旋转、翻折或放缩时，解题方法的探寻与例1中的方法几乎相同，都可以按“适当模拟操作，分类画图分析，以静制动，列出关系.”
二、 瞬间“静止”巧解确定型动态问题
此类问题旨在探究图形动态变化过程中是否出现一些期待或“遐想”的瞬间，例如特殊关系、特殊图形、特殊位置等.
例2如图4，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC = 3，AB =5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．
（1） 当t = 2时，AP =，点Q到AC的距离是；
（2） 在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S与t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）
（3）在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成为直角梯形？若能，求t的值．若不能，请说明理由；
（4） 当DE经过点C时，请直接写出t的值．
分析第（1）问当t＝2时，AP＝3－2＝1，AQ＝2；
第（2）问作QF⊥AP于F点，利用三角形相似，得=，可用含t的代数式表示QF，从而表示出S；
第（3）问是求特殊图形（直角梯形）所对应的运动时间，DE可以瞬间确定为梯形的底也可以为梯形的腰．
第（4）问是求特殊位置（DE经过点C）所对应的运动时间，是一个典型的瞬间“静止”确定型动态问题.
为了更好的确定瞬间静止位置，可以动手模拟操作实验，可以用笔等现有的工具代替DQ和DE，找出所有可能出现的大致位置，并画出特殊图形、特殊位置的示意图，实现“以静制动”，最后将图形数量化.
解析（1）１（2）作QF⊥AC于点F，如图5所示，AQ＝CP＝t， ∴ AP＝3－t．
由△AQF∽△ABC，BC＝4，得QF=t.
∴ S=AP•QF=（3-t）×t
∴ S=t2+t
（3）能．
① 当DE∥QB时，如图6所示．
∵ DE⊥PQ，
∴ PQ⊥QB，四边形QBED是直角梯形．
此时∠AQP＝90°．
由△APQ∽△ABC，得=，即=.解得t=．
② 如图7所示，当PQ∥BC时，DE⊥BC，则四边形QBED是直角梯形，此时∠APQ＝90°．
由△AQP∽△ABC，得=，
即=，解得t=.
（4）t=或t=．
注： ①点P由C向A运动，DE经过点C．
连接QC，作QG⊥BC于点G，如图8所示．
PC=t，QC2＝QG2+CG2=[（5-t）]２＋[4-（5-t）]2
由PC2＝QC2，得t2=[（5-t）]２＋[4-（5-t）]2，
解得t=.
② 点P由A向C运动，DE经过点C，如图9所示．
（6-t）2=[（5-t）]２＋[4-（5-t）]2，
t=.
说明本题是在图形运动过程中求函数解析式问题，解决这类问题的方法：①让图形运动起来，分类讨论运动中的各种瞬间情况，写出自变量的取值范围；②把每种瞬间情况分别画图，使图形由“动”变“静”，寻找两个变量之间的等量关系．
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文