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〔关键词〕 数学教学；概率；互补思想；方程思想；函
数思想；分类讨论思想；整体思想
〔中图分类号〕 G633.6 〔文献标识码〕 A
〔文章编号〕 1004—0463（2012）14—0085—０1
数学思想方法是数学知识的精髓，是知识转化为能力的桥梁，能否正确地运用数学思想方法解答数学问题是衡量数学素质和数学能力的标志.概率是新教材中新增的内容，其中蕴涵了许多重要的数学思想，在概率解题中注重数学思想方法的渗透，对正确解题具有十分重要的意义.
一、 互补思想
互补思想就是通过间接法，利用对立事件求随机变量的概率.
例1甲、乙、丙三人向同一目标各射击一次，若甲、乙、丙三人击中目标的概率分别是0.8、0.7、0.6，试问此目标被击中的概率是多少?
分析：符合题意的情况包括：（1）三人中有一人击中目标；（2）三人中有两人击中目标；（3）三人都击中目标。三大类共七种情形，分别求之相当繁琐.而题设反面“三人都未击中目标”只有一种情形，故利用互补思想，通过求其对立事件的概率解答此题显得尤为简便.
解：设A1={甲击中目标}，A2={乙击中目标}，A3={丙击中目标}，A={目标被击中}，P(A)=1-P(A1?A2?A3)=1-P(A1)?P(A2)?P(A3)=1-(1-0.8)(1-0.7)(1-0.6)=0.976.
二、 方程思想
方程思想，就是分析数学问题中的变量间的等量关系，从而建立方程或者方程组，通过解方程或方程组，或者运用方程根的性质去分析、转化问题，使问题获得解决.
例2 甲乙两人独立解出某一道数学题的概率相同，已知该题被甲和乙解出的概率为0.36，求甲独立解出该题的概率.
解：设甲或乙独立解出的概率为x，则该题不能被甲或乙解出的概率为 (1-x)2，由题意可得方程：1-(1-x)2=0.36,解得x=0.2.故甲独立解出该题的概率为0.2.
三、 函数思想
利用函数思想，就是将离散型随机变量融入连续型模型中，是随机现象中的数量规律建立在函数关系的基础上，进而利用函数的观点解决问题.
例3 多向飞碟是奥运会的竞赛项目，它是由跑靶机把碟靶（射击目标）在一定范围内从不同方向飞出，每抛出一个碟靶，都允许运动员射击两次.一运动员在进行多向飞碟射击训练时，每一次射击命中碟靶的概率Ｐ与运动员离碟靶的距离s（m）成反比，现有一碟靶抛出后离运动员的距离s（m）与飞行时间t（秒）满足s＝１５（t+1）（０≤t≤４）.若运动员在碟靶飞出0.5秒时进行第一次射击，命中的概率为0.8，若他发现没有命中，则通过迅速调整，在第一次射击后再经过0.5秒进行第二次射击，求他命中此碟靶的概率.
解：设Ｐ＝（k为常数），则Ｐ＝（０≤t≤４）.依题意，当t=0.5秒时，Ｐ１＝0.8，则k=18.当t=1秒时，Ｐ２=0.6.则此人命中此碟靶的概率Ｐ＝Ｐ１＋（１－Ｐ１）Ｐ２＝0.8+（1-0.8）×0.6=0.92.
四、 分类讨论思想
分类讨论的思想方法，实质就是把整体问题分类转化为局部问题.在分类时，要注意防止逻辑上的错误，避免疏漏与重复.
例4 一学生骑自行车上学，从家中到学校的途中有两个交通岗.假设他在这两个交通岗处遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是0.6，求他至少遇到一次红灯的概率.
解：事件“至少遇到一次红灯”包括“两次都遇到红灯”和“恰有一次遇到红灯”这两个基本事件.记“第一次遇到红灯”为事件A，“第二次遇到红灯”为事件B，由题意可知，A与B是互相独立的，因此“他两次都遇到红灯”就是事件A?B发生.则P(A?B)=P(A)?P(B)=0.6×0.6=0.36.记=“第一次没有遇到红灯”，=“第二次没有遇到红灯”，所以，?B=“第一次没有遇到红灯，第二次遇到红灯”，A?=“第一次遇到红灯，第二次没有遇到红灯”，并且?B与A?是互斥的，因此，“恰有一次遇到红灯”的概率是P(?B+A?)=P(?B)+P(A?)=(1-0.6) ×0.6+0.6×(1-0.6)=0.48，所以，他至少遇到一次红灯的概率为P=P(A?B)+P(?B+A?)=0.36+0.48=0.84.
五、 整体思想
整体思想，就是从整体着手，通过问题的整体形式、整体结构或其他整体处理后，达到简捷解体的思想方法.
例5 省工商局对全省流通领域的饮料进行了质量监督抽查，结果显示，某种刚进入市场的x饮料的合格率为80%.现甲乙丙３人聚会,选用了6瓶x饮料，并限定每人喝两瓶，求甲乙丙3人中只有1人喝到两瓶不合格的x饮料的概率.
解：记“1人喝到两瓶不合格的x饮料”为事件A，3人喝6瓶x饮料且限定每人两瓶相当于3次独立重复试验.
根据n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率公式，3人喝6瓶只有1人喝到2瓶不合格x饮料的概率为C32×（0.8×０.８）２(1-0.8×０.８)=0.44.
编辑：谢颖丽
数思想；分类讨论思想；整体思想
〔中图分类号〕 G633.6 〔文献标识码〕 A
〔文章编号〕 1004—0463（2012）14—0085—０1
数学思想方法是数学知识的精髓，是知识转化为能力的桥梁，能否正确地运用数学思想方法解答数学问题是衡量数学素质和数学能力的标志.概率是新教材中新增的内容，其中蕴涵了许多重要的数学思想，在概率解题中注重数学思想方法的渗透，对正确解题具有十分重要的意义.
一、 互补思想
互补思想就是通过间接法，利用对立事件求随机变量的概率.
例1甲、乙、丙三人向同一目标各射击一次，若甲、乙、丙三人击中目标的概率分别是0.8、0.7、0.6，试问此目标被击中的概率是多少?
分析：符合题意的情况包括：（1）三人中有一人击中目标；（2）三人中有两人击中目标；（3）三人都击中目标。三大类共七种情形，分别求之相当繁琐.而题设反面“三人都未击中目标”只有一种情形，故利用互补思想，通过求其对立事件的概率解答此题显得尤为简便.
解：设A1={甲击中目标}，A2={乙击中目标}，A3={丙击中目标}，A={目标被击中}，P(A)=1-P(A1?A2?A3)=1-P(A1)?P(A2)?P(A3)=1-(1-0.8)(1-0.7)(1-0.6)=0.976.
二、 方程思想
方程思想，就是分析数学问题中的变量间的等量关系，从而建立方程或者方程组，通过解方程或方程组，或者运用方程根的性质去分析、转化问题，使问题获得解决.
例2 甲乙两人独立解出某一道数学题的概率相同，已知该题被甲和乙解出的概率为0.36，求甲独立解出该题的概率.
解：设甲或乙独立解出的概率为x，则该题不能被甲或乙解出的概率为 (1-x)2，由题意可得方程：1-(1-x)2=0.36,解得x=0.2.故甲独立解出该题的概率为0.2.
三、 函数思想
利用函数思想，就是将离散型随机变量融入连续型模型中，是随机现象中的数量规律建立在函数关系的基础上，进而利用函数的观点解决问题.
例3 多向飞碟是奥运会的竞赛项目，它是由跑靶机把碟靶（射击目标）在一定范围内从不同方向飞出，每抛出一个碟靶，都允许运动员射击两次.一运动员在进行多向飞碟射击训练时，每一次射击命中碟靶的概率Ｐ与运动员离碟靶的距离s（m）成反比，现有一碟靶抛出后离运动员的距离s（m）与飞行时间t（秒）满足s＝１５（t+1）（０≤t≤４）.若运动员在碟靶飞出0.5秒时进行第一次射击，命中的概率为0.8，若他发现没有命中，则通过迅速调整，在第一次射击后再经过0.5秒进行第二次射击，求他命中此碟靶的概率.
解：设Ｐ＝（k为常数），则Ｐ＝（０≤t≤４）.依题意，当t=0.5秒时，Ｐ１＝0.8，则k=18.当t=1秒时，Ｐ２=0.6.则此人命中此碟靶的概率Ｐ＝Ｐ１＋（１－Ｐ１）Ｐ２＝0.8+（1-0.8）×0.6=0.92.
四、 分类讨论思想
分类讨论的思想方法，实质就是把整体问题分类转化为局部问题.在分类时，要注意防止逻辑上的错误，避免疏漏与重复.
例4 一学生骑自行车上学，从家中到学校的途中有两个交通岗.假设他在这两个交通岗处遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是0.6，求他至少遇到一次红灯的概率.
解：事件“至少遇到一次红灯”包括“两次都遇到红灯”和“恰有一次遇到红灯”这两个基本事件.记“第一次遇到红灯”为事件A，“第二次遇到红灯”为事件B，由题意可知，A与B是互相独立的，因此“他两次都遇到红灯”就是事件A?B发生.则P(A?B)=P(A)?P(B)=0.6×0.6=0.36.记=“第一次没有遇到红灯”，=“第二次没有遇到红灯”，所以，?B=“第一次没有遇到红灯，第二次遇到红灯”，A?=“第一次遇到红灯，第二次没有遇到红灯”，并且?B与A?是互斥的，因此，“恰有一次遇到红灯”的概率是P(?B+A?)=P(?B)+P(A?)=(1-0.6) ×0.6+0.6×(1-0.6)=0.48，所以，他至少遇到一次红灯的概率为P=P(A?B)+P(?B+A?)=0.36+0.48=0.84.
五、 整体思想
整体思想，就是从整体着手，通过问题的整体形式、整体结构或其他整体处理后，达到简捷解体的思想方法.
例5 省工商局对全省流通领域的饮料进行了质量监督抽查，结果显示，某种刚进入市场的x饮料的合格率为80%.现甲乙丙３人聚会,选用了6瓶x饮料，并限定每人喝两瓶，求甲乙丙3人中只有1人喝到两瓶不合格的x饮料的概率.
解：记“1人喝到两瓶不合格的x饮料”为事件A，3人喝6瓶x饮料且限定每人两瓶相当于3次独立重复试验.
根据n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率公式，3人喝6瓶只有1人喝到2瓶不合格x饮料的概率为C32×（0.8×０.８）２(1-0.8×０.８)=0.44.
编辑：谢颖丽