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我们学习了与圆有关的一些概念以及圆的性质，并运用这些知识解决问题，在此过程中，容易混淆一些概念和知识点，在解题时也较容易出错。我们要理解它们的本质，并理清部分知识之间的区别和联系，为正确解答、灵活运用做好准备。
一、易混概念剖析
1. 圆的定义。
圆的描述性定义：在平面内，把线段OP绕着端点O旋转1周，端点P运动所形成的图形叫做圆。“在平面内”不能漏，否则，旋转1周后的图形不一定是圆。
2.同圆、等圆与同心圆。
同圆指的是同一个圆，而等圆、同心圆都是指两个圆。等圆是指半径相等、圆心不同的两个圆;同心圆指的是圆心相同、半径不同的两个圆。
3. 等弧与同弧。
等弧指的是能够重合的弧，同弧指的是同一条弧。等弧只能出现在同圆或等圆中，它们所对的圆心角的度数相等，并且弧长也相等。
4. 弦与弧。
连接圆上任意两点的线段叫做弦，弦是直的。圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧，弧是圆的一部分，是曲线。
5. 等圆与等弧。
它们的共同特征是“能够互相重合”，它们都是指两个图形。圆是封闭的曲线，弧是圆的一部分。
6.直径与弦。
直径是经过圆心的弦，是特殊的弦，是圆中最长的弦。但弦不一定是直径。
7.优弧、劣弧与半圆。
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，所以半圆是特殊的弧。大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧。优弧用三个字母表示，例如[CED]。劣弧用两个字母表示，例如[BC]。半圆既不是优弧，也不是劣弧。
8.圆心与圆周角。
顶点在圆心的角叫做圆心角。顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。二者的差别：圆周角必须满足两个条件，仅有“顶点在圆上”，不能构成圆周角。
9.外接圆、内切圆、内接三角形与外切三角形。
“接”说明圆经过三角形的三个顶点，“切”说明圆与三角形的各边相切。“内”和“外”是相对的，以一个图形为标准，说明另一个图形在它的里面或外面。“圆的内接三角形”是以圆为标准，三角形在它的里面;“三角形的外接圆”是以三角形为标准，圆在它的外面;“三角形的内切圆”是以三角形为标准，圆在它的里面;“圆的外切三角形”是以圆为标准，三角形在它的外面。
10 .内心、外心与重心。
三角形的内心是内切圆的圆心，是三边垂直平分线的交点，到三个顶点的距离相等。三角形的外心是外接圆的圆心，是三角形角平分线的交点，到三边的距离相等。三角形的重心是三条中线的交点，把每一条中线分成2∶1的两部分。
11.切线与切线长。
切线是一条直线，与已知圆只有一个公共点。切线长指的是切线上的一条特殊线段的长度：在经过圆外一点的切线上，该点与切点之间的线段的长，叫做该点到圆的切线的长。如图1，直线PA和直线PB是⊙O的切线，PA=PB，这两条线段的长就是P点到⊙O的切线长。
12.正多边形、中心与半径。
各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形。仅有各边相等或各角相等，不能判别正多边形。例如，矩形的各角相等，由于各边不一定相等，所以不是正四边形;菱形的各边相等，但因为各角不一定相等，所以不是正四边形。正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径。不仅圆有半径，正多边形也有半径。
二、 易错点剖析
1.圆的对称性。
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弦、两条弧中有一组量相等，那么这组量所对应的其余各组量都分别相等。这里一定要有前提“同圆或等圆”，否则结论不一定成立。例如，图2中，在两个同心圆中，AB=EF，但是弧AB≠弧EF，∠AOB≠∠EOF;在这两个同心圆中，∠DOC=∠GOH，但是CD≠GH，弧CD≠弧GH。已知两条弧相等，则其他两组量一定相等，因为等弧只能出现在同圆或等圆中。
2.垂径定理。
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。但是若一条弦被直径平分，那么它与直径不一定垂直。从一般情形来看，如图3，当弦CD被直径AB平分时，可利用OD=OC，根据等腰三角形的三线合一，推得弦CD与直径AB垂直。但是在特殊情形下（图4），这条弦CD是特殊的弦——直径时，由于任意两条直径一定互相平分，所以，它们不一定垂直。
3.确定圆的条件。
过一点有无数个圆;经过两点有无数个圆，圆心在两点连线的垂直平分线上;不共线的三点确定一个圆，前提是“三点不在同一条直线上”。
4.圆周角定理。
同弧或等弧所对的圆周角相等。该定理的逆命题是：如果在同圆或等圆中，两个圆周角相等，那么这两个圆周角所对的弧也相等或相同。该逆命题是真命题，但是不能直接运用。在解题时，可以通过圆心角转化，或者先说明圆周角的度数是所对弧的度数的一半。
例1 在⊙O中，A、B、C、D都在圆上，已知AC平分∠BAD，求证BC=DC。
【解析】本题考查圆周角定理、圆的对称性。
法一：如图5，因为AC平分∠BAD，所以∠1=∠2。由于“圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半”，而圆心角的度数等于它所对弧的度数，所以圆周角的度数是所对弧的度数的一半。可知[BC]=[CD]，BC=DC。
法二：如圖6，连接OB、OC、OD，利用圆周角定理，圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半，可得∠BOC=2∠1，∠COD=2∠2， 所以∠BOC=∠COD，根据圆的对称性，BC=DC。
【点评】由于圆周角定理没有逆定理，所以根据∠1=∠2，不能直接得到[BC]=[CD]，需要通过“圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半”来转化，或者利用辅助线，通过圆周角定理、等量代换等来证明结论。 5.扇形的弧长与面积公式。
如图7，扇形的弧长公式：l扇形=[n180]πr（扇形的圆心角为n°）。扇形的面积公式有两种，第一种是利用扇形的圆心角和半径来求：S扇形=[n360]πr2（扇形的圆心角为n°）;第二种是利用扇形的弧长和半径来求：S扇形=[12]lr（扇形的弧長为l）。 第二种方法类似于三角形的面积公式，把扇形的弧长看成“底”，扇形的半径看成“高”，S扇形=[12]×底×高，这样也便于记忆。扇形的弧长与面积公式较为相似，容易混淆。我们并不需要死记硬背，可以利用扇形和圆的关系来推导。若有半径相同的扇形与圆，则扇形的弧长是圆的周长的[n360]，扇形的面积是圆的面积的[n360]。
6.圆锥与扇形。
将圆锥沿一条母线剪开，圆锥的侧面展开图是一个扇形。展开后的扇形半径R是圆锥的母线l母线，扇形的弧长l弧长是圆锥底面圆的周长。为了避免混淆，我们在列出公式时，可以在相应的字母下面标注下标。S侧面积=πr底l母线，在具体的问题中还要挖掘已知条件中的隐含信息。
例2 一个圆锥的侧面展开图是一个半径为R的半圆，那么圆锥的底面圆的半径是
。
【解析】半圆的半径R是圆锥的母线l母线，半圆的弧长l弧长=圆锥底面圆的周长。设圆锥底面圆的半径为r，由题意可知2πr=[180180]πR，所以R=2r，r=[12R]。
【点评】本题主要根据圆锥侧面展开图与圆锥底面圆的关系解答，需要弄清两个半径的不同意义。这里还有个隐含的信息，就是半圆是特殊的扇形，圆心角为180度。
7.外心的位置。
内心只能在三角形的内部，当问题中已知内心时，情况单一。若外心已知，但图未给出，则我们在画图时，要注意三角形的外心可能在形内、形上或形外，要分类讨论。
例3 △ABC的外心为O，且∠BOC=110°，则∠BAC= 。
【解析】本题考查圆的外心的知识、圆周角定理、分类思想。若点O在△ABC内，如图8，则∠BAC=[12]∠BOC=55°。若点O在△ABC外，如图9，则∠BAC=[12]·优角∠BOC=[12]×（360°-110°）=125°。所以∠BAC=55°或125°。
【点评】因为题目中未给出图形，所以需要我们画出图形，根据外心的可能位置分类讨论。我们要考虑是否有多种可能， 从而避免漏解。
8.直线与圆相切。
直线与圆相切的判定方法有三种：有唯一公共点;用d与r的关系来探求（d是圆心到直线的距离）;直线经过半径的外端并且与这条半径垂直。问题通常分为两大类：一是直线与圆没有公共点，二是直线与圆已知公共点。若没有公共点，则过圆心作直线的垂线，证明d=r。若直线与已知圆有公共点，则连接过公共点的半径，证明直线垂直于该半径。
例4 如图10，点D是∠AOB的平分线OC上任意一点，过D作DE⊥OB于E，以DE为半径作⊙D，求证：⊙D与OA相切.
【解析】直线OA与⊙D没有已知的公共点，只能利用“圆心D到直线OA的距离等于⊙D的半径DE”，说明⊙D与OA相切。
证明：过点D作DF⊥OA于F，如图11。∵点D是∠AOB的平分线OC上任意一点，DE⊥OB，DF⊥OA，∴DF=DE，即D到直线OA的距离等于⊙D的半径DE。∴⊙D与OA相切。
【点评】此题考查了切线的判定与角平分线的性质，难度不大，解题的关键是准确作出辅助线。既然没有给出公共点，则不能连接过公共点的半径，运用“经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”来证明。我们要学会根据不同类型，选择恰当方法，尤其不要忘记d=r这种基本判别方法。
9.其他两解情况。
（1）过圆外一点引圆的切线，有两条，不能漏解。
（2）已知两条平行弦（非直径），长度确定，若图形未给出，则两条平行弦的位置有两种情况，两条弦位于圆心的同侧或位于圆心的两侧。
（作者单位：江苏省常州外国语学校）
一、易混概念剖析
1. 圆的定义。
圆的描述性定义：在平面内，把线段OP绕着端点O旋转1周，端点P运动所形成的图形叫做圆。“在平面内”不能漏，否则，旋转1周后的图形不一定是圆。
2.同圆、等圆与同心圆。
同圆指的是同一个圆，而等圆、同心圆都是指两个圆。等圆是指半径相等、圆心不同的两个圆;同心圆指的是圆心相同、半径不同的两个圆。
3. 等弧与同弧。
等弧指的是能够重合的弧，同弧指的是同一条弧。等弧只能出现在同圆或等圆中，它们所对的圆心角的度数相等，并且弧长也相等。
4. 弦与弧。
连接圆上任意两点的线段叫做弦，弦是直的。圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧，弧是圆的一部分，是曲线。
5. 等圆与等弧。
它们的共同特征是“能够互相重合”，它们都是指两个图形。圆是封闭的曲线，弧是圆的一部分。
6.直径与弦。
直径是经过圆心的弦，是特殊的弦，是圆中最长的弦。但弦不一定是直径。
7.优弧、劣弧与半圆。
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，所以半圆是特殊的弧。大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧。优弧用三个字母表示，例如[CED]。劣弧用两个字母表示，例如[BC]。半圆既不是优弧，也不是劣弧。
8.圆心与圆周角。
顶点在圆心的角叫做圆心角。顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。二者的差别：圆周角必须满足两个条件，仅有“顶点在圆上”，不能构成圆周角。
9.外接圆、内切圆、内接三角形与外切三角形。
“接”说明圆经过三角形的三个顶点，“切”说明圆与三角形的各边相切。“内”和“外”是相对的，以一个图形为标准，说明另一个图形在它的里面或外面。“圆的内接三角形”是以圆为标准，三角形在它的里面;“三角形的外接圆”是以三角形为标准，圆在它的外面;“三角形的内切圆”是以三角形为标准，圆在它的里面;“圆的外切三角形”是以圆为标准，三角形在它的外面。
10 .内心、外心与重心。
三角形的内心是内切圆的圆心，是三边垂直平分线的交点，到三个顶点的距离相等。三角形的外心是外接圆的圆心，是三角形角平分线的交点，到三边的距离相等。三角形的重心是三条中线的交点，把每一条中线分成2∶1的两部分。
11.切线与切线长。
切线是一条直线，与已知圆只有一个公共点。切线长指的是切线上的一条特殊线段的长度：在经过圆外一点的切线上，该点与切点之间的线段的长，叫做该点到圆的切线的长。如图1，直线PA和直线PB是⊙O的切线，PA=PB，这两条线段的长就是P点到⊙O的切线长。
12.正多边形、中心与半径。
各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形。仅有各边相等或各角相等，不能判别正多边形。例如，矩形的各角相等，由于各边不一定相等，所以不是正四边形;菱形的各边相等，但因为各角不一定相等，所以不是正四边形。正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径。不仅圆有半径，正多边形也有半径。
二、 易错点剖析
1.圆的对称性。
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弦、两条弧中有一组量相等，那么这组量所对应的其余各组量都分别相等。这里一定要有前提“同圆或等圆”，否则结论不一定成立。例如，图2中，在两个同心圆中，AB=EF，但是弧AB≠弧EF，∠AOB≠∠EOF;在这两个同心圆中，∠DOC=∠GOH，但是CD≠GH，弧CD≠弧GH。已知两条弧相等，则其他两组量一定相等，因为等弧只能出现在同圆或等圆中。
2.垂径定理。
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。但是若一条弦被直径平分，那么它与直径不一定垂直。从一般情形来看，如图3，当弦CD被直径AB平分时，可利用OD=OC，根据等腰三角形的三线合一，推得弦CD与直径AB垂直。但是在特殊情形下（图4），这条弦CD是特殊的弦——直径时，由于任意两条直径一定互相平分，所以，它们不一定垂直。
3.确定圆的条件。
过一点有无数个圆;经过两点有无数个圆，圆心在两点连线的垂直平分线上;不共线的三点确定一个圆，前提是“三点不在同一条直线上”。
4.圆周角定理。
同弧或等弧所对的圆周角相等。该定理的逆命题是：如果在同圆或等圆中，两个圆周角相等，那么这两个圆周角所对的弧也相等或相同。该逆命题是真命题，但是不能直接运用。在解题时，可以通过圆心角转化，或者先说明圆周角的度数是所对弧的度数的一半。
例1 在⊙O中，A、B、C、D都在圆上，已知AC平分∠BAD，求证BC=DC。
【解析】本题考查圆周角定理、圆的对称性。
法一：如图5，因为AC平分∠BAD，所以∠1=∠2。由于“圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半”，而圆心角的度数等于它所对弧的度数，所以圆周角的度数是所对弧的度数的一半。可知[BC]=[CD]，BC=DC。
法二：如圖6，连接OB、OC、OD，利用圆周角定理，圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半，可得∠BOC=2∠1，∠COD=2∠2， 所以∠BOC=∠COD，根据圆的对称性，BC=DC。
【点评】由于圆周角定理没有逆定理，所以根据∠1=∠2，不能直接得到[BC]=[CD]，需要通过“圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半”来转化，或者利用辅助线，通过圆周角定理、等量代换等来证明结论。 5.扇形的弧长与面积公式。
如图7，扇形的弧长公式：l扇形=[n180]πr（扇形的圆心角为n°）。扇形的面积公式有两种，第一种是利用扇形的圆心角和半径来求：S扇形=[n360]πr2（扇形的圆心角为n°）;第二种是利用扇形的弧长和半径来求：S扇形=[12]lr（扇形的弧長为l）。 第二种方法类似于三角形的面积公式，把扇形的弧长看成“底”，扇形的半径看成“高”，S扇形=[12]×底×高，这样也便于记忆。扇形的弧长与面积公式较为相似，容易混淆。我们并不需要死记硬背，可以利用扇形和圆的关系来推导。若有半径相同的扇形与圆，则扇形的弧长是圆的周长的[n360]，扇形的面积是圆的面积的[n360]。
6.圆锥与扇形。
将圆锥沿一条母线剪开，圆锥的侧面展开图是一个扇形。展开后的扇形半径R是圆锥的母线l母线，扇形的弧长l弧长是圆锥底面圆的周长。为了避免混淆，我们在列出公式时，可以在相应的字母下面标注下标。S侧面积=πr底l母线，在具体的问题中还要挖掘已知条件中的隐含信息。
例2 一个圆锥的侧面展开图是一个半径为R的半圆，那么圆锥的底面圆的半径是
。
【解析】半圆的半径R是圆锥的母线l母线，半圆的弧长l弧长=圆锥底面圆的周长。设圆锥底面圆的半径为r，由题意可知2πr=[180180]πR，所以R=2r，r=[12R]。
【点评】本题主要根据圆锥侧面展开图与圆锥底面圆的关系解答，需要弄清两个半径的不同意义。这里还有个隐含的信息，就是半圆是特殊的扇形，圆心角为180度。
7.外心的位置。
内心只能在三角形的内部，当问题中已知内心时，情况单一。若外心已知，但图未给出，则我们在画图时，要注意三角形的外心可能在形内、形上或形外，要分类讨论。
例3 △ABC的外心为O，且∠BOC=110°，则∠BAC= 。
【解析】本题考查圆的外心的知识、圆周角定理、分类思想。若点O在△ABC内，如图8，则∠BAC=[12]∠BOC=55°。若点O在△ABC外，如图9，则∠BAC=[12]·优角∠BOC=[12]×（360°-110°）=125°。所以∠BAC=55°或125°。
【点评】因为题目中未给出图形，所以需要我们画出图形，根据外心的可能位置分类讨论。我们要考虑是否有多种可能， 从而避免漏解。
8.直线与圆相切。
直线与圆相切的判定方法有三种：有唯一公共点;用d与r的关系来探求（d是圆心到直线的距离）;直线经过半径的外端并且与这条半径垂直。问题通常分为两大类：一是直线与圆没有公共点，二是直线与圆已知公共点。若没有公共点，则过圆心作直线的垂线，证明d=r。若直线与已知圆有公共点，则连接过公共点的半径，证明直线垂直于该半径。
例4 如图10，点D是∠AOB的平分线OC上任意一点，过D作DE⊥OB于E，以DE为半径作⊙D，求证：⊙D与OA相切.
【解析】直线OA与⊙D没有已知的公共点，只能利用“圆心D到直线OA的距离等于⊙D的半径DE”，说明⊙D与OA相切。
证明：过点D作DF⊥OA于F，如图11。∵点D是∠AOB的平分线OC上任意一点，DE⊥OB，DF⊥OA，∴DF=DE，即D到直线OA的距离等于⊙D的半径DE。∴⊙D与OA相切。
【点评】此题考查了切线的判定与角平分线的性质，难度不大，解题的关键是准确作出辅助线。既然没有给出公共点，则不能连接过公共点的半径，运用“经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”来证明。我们要学会根据不同类型，选择恰当方法，尤其不要忘记d=r这种基本判别方法。
9.其他两解情况。
（1）过圆外一点引圆的切线，有两条，不能漏解。
（2）已知两条平行弦（非直径），长度确定，若图形未给出，则两条平行弦的位置有两种情况，两条弦位于圆心的同侧或位于圆心的两侧。
（作者单位：江苏省常州外国语学校）