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摘要:数形结合思想是一种非常重要的数学思想方法,主要方法有图像法、坐标法、几何法等,借助数形结合解决问题直观简捷,能提高思维的灵活性、直观性、创新性。
关键词:数形结合 函数图像 代数式 几何意义 解析几何
数学是研究空间形式和数量关系的科学,“形”与“数”是数学研究的两大主要对象。“数”与“形”是矛盾统一的,而数形结合是连接两者的桥梁。数形结合是一种非常重要的数学思想方法,贯穿于整个中学数学知识体系之中,数的概念的形成和发展、函数的图像和性质、解析几何中的曲线与方程、导数的几何意义的应用,都是数与形的完美结合。华罗庚先生说过:“数缺形时少直观,形少数时难入微,数形结合百般好,隔裂分家万事休。”
数形结合使数量关系与空间形式和谐结合,将抽象的数学语言与直观的图形结合起来,使代数问题几何化,几何问题代数化,将问题化难为易,化抽象为具体,提高了学生思维的灵活性、直观性、创新性。数形结合的主要方法有图像法、坐标法、几何法等等,下面笔者就自己的教学实践谈一些体会。
一、重视数学的基本函数图像在代数、三角上的应用
函数图像是函数的一种重要表现形式,它是将关系式或数据转化为几何形式,对理解变量间的关系具有十分重要的意义。图像表示函数以其直观性有着其他表示方式所不能替代的作用,它是分析变量关系看得见的重要途径。在数学教学中要注意培养学生看见函数解析式就立即想到它的图像,结合实际图像记性质、用性质的好习惯。如果能把抽象的函数的性质的示意图画出来,那么就可以化无形为有形,化抽象为具体,解题就会变得直观、明了。
例1 如图,一次函数y=kx+b与反比例函数y=■的图像交于A(-2,1),B(1,n)两点。(1)求上述反比例函数和一次函数的表达式。(2)求△ABC的面积。
本题以数形结合的数学思想方法为主线,点A、B在图像上,其坐标适合解析式。把A点坐标代入y=■求出m和n,以形定数的思维方式解决问题是关键,再用待定系数法求解析式,进而得到答案。问题的解决体现了数形结合的重要意义,使得问题的解决直观具体。
例2 在直角坐标系中,点A(cos80°,sin80°),B(cos20°,sin20°),则A、B两点的距离为
分析:此题有多种解法,如用两点间距离公式比较直接,但此法需借助同角三角函数关系式、两角和差公式,经过三角变换方可求解,计算量较大。
如果利用数形结合的思想,即可轻松解决问题。A、B的坐标是用角的正弦、余弦表示出来的,而单位圆与角的终边的交点正有此特点,A、B分别是80°、20°角的终边与单位圆的交点,此时A、B两点的距离即△AOB的一条边,因为∠AOB=80°-20°=60°,显然△AOB为等边三角形,所以得出A、B两点的距离为1。
通过上述两个例子可以看出,利用数形结合省去了繁琐的计算,省时省力。不仅解题的篇幅少,解题的效率也高。
二、善于挖掘代数式的几何意义
数形要结合,关键是根据代数式分析其表示的几何意义。数学上的有很多公式、定理都具有一定的几何意义,教学中引导学生深刻分析这些公式、定理与几何图形的内在的本质联系,从而探求解决问题的有效途径。比如代数式■可以看成过点A(x1,y1)、B(x2,y2)的直线的斜率,教学中要善于引导学生去把此类代数式与直线的斜率公式k=■相联系进行比较,比如将代数式■看成是点A(x,y)与点B(-3,1)连线的斜率,深入挖掘出代数式■的几何意义。
例3 若x2+■=1,求代数式■的最值。
分析:由已知得x2+■=1的曲线是椭圆,将代数式■变形为■,便可将其看成两点A(x,y)与B(-3,1)的连线斜率, 不仿设斜率k=■,则过点B(-3,1)斜率为k的直线方程为y-1=k(x+3),只有直线y-1=k(x+3)与椭圆x2+■=1相切时,斜率k的值才会达到最大或最小值。这样只需要两者联立的方程组有唯一解即可。再利用一元二次方程根的判别式得到关于k的表达式,进而求得结论。
显然根据题意挖掘代数式的几何意义,数形结合起到了鬼斧神工的妙用。
三、解析几何中曲线与方程之间的转化是数形结合的重要例证
曲线与方程是相互对应的,二元一次方程与直线的方程相对应,二元二次方程对应着圆、椭圆、双曲线、抛物线,能根据方程画出图形,结合图形找到数量关系;根据数学题意,分析其代数含义,揭示其几何直观,这样会使解题思路更加开阔。
例4 圆(x-1)2+y2=1的圆心到直线y=■x的距离是()
A.■ B.■
C. 1 D.■
分析:此题可利用点到直线的距离公式直接求解,亦可在直角坐标系中画出圆和直线,利用圆的半径为1和直线的斜率■及直角三角形勾股定理,运用数形结合的方式解决问题,使这个问题很容易得出正确的选项A。
解题中要善于在“数”中思“形”,“形”中觅“数”,切实把握数与形的对应关系。教师应在数学教学中尽量发掘两者的本质联系,借助数形结合的“慧眼”,积极探索分析问题和解决问题的思想方法,提高学生的数学素养。
数学新课程标准在总体目标中提出要使学生“经历运用数学符号和图形描述现实世界的过程,建立初步的数感和符号感,发展抽象思维;丰富对现实空间及图形的认识,建立初步的空间观念,发展形象思维”。数形结合是具体与抽象、感知与思维的结合,是发展形象思维与抽象思维有力杠杆。数学思想是数学的灵魂,数学方法使数学思想得以具体落实。利用数形结合首先要具备一定的识图、用图能力,借助图形解题以其直观、形象、简捷而受到青睐,解题时要注意对图形的存在性、准确性、合理性、整体性的把握,以便更轻松地突破难点,直观快捷地解决问题。数形结合解决问题时要善于引导学生进行有效转化,发现突破口,巧妙解决问题,培养学生的创新思维能力。
参考文献:
[1] 教育部,《全日制义务教育数学课程标准》,北京師范大学出版社,2001
[2] 沈红正,《抽象函数的解题策略》,《数学教学》,2005.3
[3] 王佳灯,《数形结合解题中要注意的几个问题》,《数学教学》,2005.5
[4] 李庆社,《例谈中考数学命题的若干趋势》,《数学通报》,2005.12
关键词:数形结合 函数图像 代数式 几何意义 解析几何
数学是研究空间形式和数量关系的科学,“形”与“数”是数学研究的两大主要对象。“数”与“形”是矛盾统一的,而数形结合是连接两者的桥梁。数形结合是一种非常重要的数学思想方法,贯穿于整个中学数学知识体系之中,数的概念的形成和发展、函数的图像和性质、解析几何中的曲线与方程、导数的几何意义的应用,都是数与形的完美结合。华罗庚先生说过:“数缺形时少直观,形少数时难入微,数形结合百般好,隔裂分家万事休。”
数形结合使数量关系与空间形式和谐结合,将抽象的数学语言与直观的图形结合起来,使代数问题几何化,几何问题代数化,将问题化难为易,化抽象为具体,提高了学生思维的灵活性、直观性、创新性。数形结合的主要方法有图像法、坐标法、几何法等等,下面笔者就自己的教学实践谈一些体会。
一、重视数学的基本函数图像在代数、三角上的应用
函数图像是函数的一种重要表现形式,它是将关系式或数据转化为几何形式,对理解变量间的关系具有十分重要的意义。图像表示函数以其直观性有着其他表示方式所不能替代的作用,它是分析变量关系看得见的重要途径。在数学教学中要注意培养学生看见函数解析式就立即想到它的图像,结合实际图像记性质、用性质的好习惯。如果能把抽象的函数的性质的示意图画出来,那么就可以化无形为有形,化抽象为具体,解题就会变得直观、明了。
例1 如图,一次函数y=kx+b与反比例函数y=■的图像交于A(-2,1),B(1,n)两点。(1)求上述反比例函数和一次函数的表达式。(2)求△ABC的面积。
本题以数形结合的数学思想方法为主线,点A、B在图像上,其坐标适合解析式。把A点坐标代入y=■求出m和n,以形定数的思维方式解决问题是关键,再用待定系数法求解析式,进而得到答案。问题的解决体现了数形结合的重要意义,使得问题的解决直观具体。
例2 在直角坐标系中,点A(cos80°,sin80°),B(cos20°,sin20°),则A、B两点的距离为
分析:此题有多种解法,如用两点间距离公式比较直接,但此法需借助同角三角函数关系式、两角和差公式,经过三角变换方可求解,计算量较大。
如果利用数形结合的思想,即可轻松解决问题。A、B的坐标是用角的正弦、余弦表示出来的,而单位圆与角的终边的交点正有此特点,A、B分别是80°、20°角的终边与单位圆的交点,此时A、B两点的距离即△AOB的一条边,因为∠AOB=80°-20°=60°,显然△AOB为等边三角形,所以得出A、B两点的距离为1。
通过上述两个例子可以看出,利用数形结合省去了繁琐的计算,省时省力。不仅解题的篇幅少,解题的效率也高。
二、善于挖掘代数式的几何意义
数形要结合,关键是根据代数式分析其表示的几何意义。数学上的有很多公式、定理都具有一定的几何意义,教学中引导学生深刻分析这些公式、定理与几何图形的内在的本质联系,从而探求解决问题的有效途径。比如代数式■可以看成过点A(x1,y1)、B(x2,y2)的直线的斜率,教学中要善于引导学生去把此类代数式与直线的斜率公式k=■相联系进行比较,比如将代数式■看成是点A(x,y)与点B(-3,1)连线的斜率,深入挖掘出代数式■的几何意义。
例3 若x2+■=1,求代数式■的最值。
分析:由已知得x2+■=1的曲线是椭圆,将代数式■变形为■,便可将其看成两点A(x,y)与B(-3,1)的连线斜率, 不仿设斜率k=■,则过点B(-3,1)斜率为k的直线方程为y-1=k(x+3),只有直线y-1=k(x+3)与椭圆x2+■=1相切时,斜率k的值才会达到最大或最小值。这样只需要两者联立的方程组有唯一解即可。再利用一元二次方程根的判别式得到关于k的表达式,进而求得结论。
显然根据题意挖掘代数式的几何意义,数形结合起到了鬼斧神工的妙用。
三、解析几何中曲线与方程之间的转化是数形结合的重要例证
曲线与方程是相互对应的,二元一次方程与直线的方程相对应,二元二次方程对应着圆、椭圆、双曲线、抛物线,能根据方程画出图形,结合图形找到数量关系;根据数学题意,分析其代数含义,揭示其几何直观,这样会使解题思路更加开阔。
例4 圆(x-1)2+y2=1的圆心到直线y=■x的距离是()
A.■ B.■
C. 1 D.■
分析:此题可利用点到直线的距离公式直接求解,亦可在直角坐标系中画出圆和直线,利用圆的半径为1和直线的斜率■及直角三角形勾股定理,运用数形结合的方式解决问题,使这个问题很容易得出正确的选项A。
解题中要善于在“数”中思“形”,“形”中觅“数”,切实把握数与形的对应关系。教师应在数学教学中尽量发掘两者的本质联系,借助数形结合的“慧眼”,积极探索分析问题和解决问题的思想方法,提高学生的数学素养。
数学新课程标准在总体目标中提出要使学生“经历运用数学符号和图形描述现实世界的过程,建立初步的数感和符号感,发展抽象思维;丰富对现实空间及图形的认识,建立初步的空间观念,发展形象思维”。数形结合是具体与抽象、感知与思维的结合,是发展形象思维与抽象思维有力杠杆。数学思想是数学的灵魂,数学方法使数学思想得以具体落实。利用数形结合首先要具备一定的识图、用图能力,借助图形解题以其直观、形象、简捷而受到青睐,解题时要注意对图形的存在性、准确性、合理性、整体性的把握,以便更轻松地突破难点,直观快捷地解决问题。数形结合解决问题时要善于引导学生进行有效转化,发现突破口,巧妙解决问题,培养学生的创新思维能力。
参考文献:
[1] 教育部,《全日制义务教育数学课程标准》,北京師范大学出版社,2001
[2] 沈红正,《抽象函数的解题策略》,《数学教学》,2005.3
[3] 王佳灯,《数形结合解题中要注意的几个问题》,《数学教学》,2005.5
[4] 李庆社,《例谈中考数学命题的若干趋势》,《数学通报》,2005.12