论文部分内容阅读
摘要：《角的初步认识》一课教学中，对什么是“角”、角的大小如何描述、是否认识了角的本质三个问题的解释，是普遍存在的困境。这些困境源自数学概念与生活概念的不兼容，源自“初步认识”的简单处理，源自概念本质的“生长点”难以触摸。摆脱惯性的束缚，基于学生认知规律，基于尊重学生学习行为，这样的教学尝试必然是有益的。
关键词：角的初步认识 教学 困境 探源 尝试
困境：我们是否在为难学生？
“角的初步认识”是义务教育阶段第一学段和第二学段都有所涉及的内容，历来是教师研课的热点话题，其中，对三个问题的解释是普遍存在的困境。
（一）什么是“角”？
教师让学生指出他看到的角：教师示范前，学生会指尖尖的顶点处；教师示范后，学生会从一边开始经过顶点再到另一边。而教师希望的指法是：先指角的顶点，再从顶点出发指出角的两条边。因此，每节课上教师都要纠错。但是，为什么一定要像教师所希望的这么指？射线未学，角的大小与边的关系没有揭示，教师也难以解释。
（二）角的大小如何描述？
前测中的一道题（见图1），有40%的学生认为第一个角最小，当问及原因时，大部分学生都沉默了，不知道怎么表达，但很少有学生改变最初的想法。有一名学生指着整个图形告诉我：“因为这个比较小。”
再来看一个例子，教师出示一个已经画好的边较长的角，将一个边比较短的活动角与画好的角重合，然后提问：“一样大吗？”有一部分学生认为活动角小。角的大小如何描述？教师只能让学生在做活动角的过程中揣摩。
（三）认识角的本质了吗？
角有两条边和一个顶点，这是初步认识角的两个基本要素。很多教师会从具体事物中抽象出角，让学生理解角的概念和属性，以期发展学生的抽象概括能力。在课后检测中出现一个特殊的角——平角，大部分学生認为它不是角，因为在他们心中，角的图式依然是锐角的模样。对于角，抓住边和顶点这两个要素就能做到初步认识了吗？
综上所述，我们的确在为难学生。
探源：为什么会为难学生？
（一）源自数学概念与生活概念的不兼容
角的内涵有两层：一是静态的，由两条边和一个顶点构成；二是动态的，一条射线绕着它的端点旋转得到一个角。由于角的两条边是射线，在学生指角时，教师就会要求指的动作符合角的内涵，从一点引出两条射线。但学生对“角”已经有了丰富的认知，如墙角、牛角、号角等，当他们指着三角板、桌角的尖尖处时，指的是空间中的角，是物体的一部分。学生的指法并没有错，但这些生活中的角与数学中的角意义并不完全相同。学生在弄清楚数学中的角的内涵之前，指出符合教师规范的角是很难的，他们只能在疑虑中模仿。
（二）源自“初步认识”的简单处理
《义务教育数学课程标准（2011年版）》将角的学习内容分在两个学段：第一学段是结合生活情境认识角，了解直角、锐角和钝角；第二学段是认识平角与周角，了解周角、平角、钝角、直角、锐角之间的大小关系。苏教版小学数学教材将角的学习内容安排在二年级下册和四年级上册，逐步扩展学生对角的认识。二年级下册《角的初步认识》作为认识角的第一课时，由于学生还没有学习射线，为避免描述不准确，教师一般会采用回避策略，只是在制作活动角和比一比三角尺上角的大小时，让学生初步感知角是有大小的，教学目标锁定在认识角的结构。但角是一个不封闭的二维图形，角的大小对角的认识有重要的价值，只关注角的结构往往只是让学生拥有一个僵化的认知。
（三）源自概念本质的“生长点”难以触摸
2000多年前，欧几里得给出了角的古老定义：角是在一个平面内但不在一条直线上的两条相交线相互的倾斜度。由此可见，角产生的源头是表达两条相交线之间的位置关系。由于小学生的认知以形象思维为主，所以教材还未涉及几何中过于抽象的射线、直线，教师也就无法基于角的本质设计例子，只能在具体事物中抽象出角的图形，让学生感受角是图形中的一个元素。同时，角的大小比较需要有量化的意识，但在学生已有认知中难以找到“生长点”：在认识长度时，线段是可以测量的，角却不能直接获得类似长度的意义；在认识面积时，可以测量封闭图形的大小，角却不是封闭图形。角度与长度、面积都无关。既不能从概念的源头来形成认识，又难以从测量的角度感悟角的大小，概念的本质让学生难以触摸。
当然，让学生为难，并不是教师有意为之，只是如果这样教，必然会遇到难以解释的问题。因此，我们需要调整课堂教学的结构，让学生在活动中感悟角的本质，从而丰富、积累几何活动经验。
尝试：怎样才能不为难学生？
当角在学生的数学学习中第一次亮相时，我们既要注重知识的“生长点”与“延伸点”，将角的认识置于“图形与几何”整体的知识体系中，还要处理好初步认知与学生已有经验的关系。更为重要的是，要给学生空间使其独立思考、感悟角的本质属性，激发他们的好奇心。
（一）生活中的角
师在生活中你们见到过角，听说过角吗？
（学生想到牛角、书角、桌角、三角尺等。）
师你能指给大家看一看吗？
（学生指桌角、书角。）
师同学们认识这么多的角，都是生活中的角，那么数学中的角是怎样的呢？
（学生略做思考，教师揭示课题：角的初步认识。）
（二）数学中的角
1.认识静态的角。
师数学中的角长什么样呢？我们一起来看一看。
（课件出示一点，点动成线。）
师现在你看到了什么？
生线。
（课件再出示一条线，见图2。）
师（指课件）现在是角吗？
生不是。
（课件演示：两条线的端点重合，见图3。） 师这个图形你见过吗？
生是角。
（课件依次出现6个角，见图4。）
师像这样的图形就是数学上的角。两条线重合的这个点就是这个角的顶点，这两条线就是角的边。
（请学生上台指一指角的顶点和边。）
师角有一个顶点和两条边。（拿出数学书、三角尺）这些物体中有角吗？请你在作业纸上描一描，描出你找到的角。
（展示学生描出的角，见图5。）
师这两位同学描的是三角尺中的同一个角，有什么相同？有什么不同？
生他们描出的边的长短不一样。
师是的，长短不一样，那说明什么呢？
生说明同一个角，角的两条边长短不是固定的。
師说得很好！接下来，我想请几位同学上来，把三角尺上的角指给大家看一看。要求：先指出顶点，再指两条边。
（学生上台指角。）
师找一找，我们身边的物体上还有哪些角？
[说明：在日常生活中，角常常作为具体事物的组成部分而存在，如书角、桌角等，为避免生活概念对数学概念的影响，束缚学生对角的本质的理解，我们调整了认知角的顺序。首先，直接从线出发，展示数学中的角，让学生知道数学中的角长什么样。其次，在学生清楚了数学中的角的结构后，让他们在纸上描出角，感受角是平面图形的一部分。在描角的过程中，学生描出角的边的长短并不相同，以此为契机点明：角的两边可以无限延伸。第三，在具体事物上指一指角，感受平面上的角与空间中的角的关系。这时再指角，学生很自然地指出角的一个顶点和两条边。此外，在实物中找角的过程，可以培养学生从复杂图形中分离出基础图形的能力，发展学生的空间观念。]
2.认识动态的角。
师在钟面上我们也能找到角。
（课件出示钟面，拨动时针和分针形成一个角。指针转动，会得到不同的角。）
师这些角有什么相同？有什么不同？
生有的大一点，有的小一点。
（课件再出示一个小钟面进行对比，两个钟都拨到1时整，引出两个角大小的比较，见图6。）
师这两个角一样大吗？为什么？
（学生讨论。）
生它们的分针、时针指的数字都是一样的，所以角的大小也是一样的。
（课件演示两个角的顶点重合、边也重合的过程。）
师尽管角的两边长短不一样，但它们都指着1时整，能够重合，所以这两个角是一样大的。
3.做活动角。
师我们来做一个活动角，看看你会有什么发现？
（学生动手操作后，说出自己的发现。）
师做一个与老师的这个角一样大的角。
（学生讨论、操作。）
师它们一样大吗？为什么？
生一样大，因为顶点重合时两边也重合。
师你能将这个活动角变得比老师的这个角大吗？说一说你的方法。
生（拨动活动角的边，使两条边分得更开些）只要这样拨大一些就可以了。
[说明：首先，让学生意识到角的大小与线段的大小或面积的大小是不同的，可以借助钟面上的时针和分针来说明这一点。在大小不同的钟面上转出相同的时刻，引发学生思考：时针和分针所指的数字是一样的，所以这两个角是一样大的。让学生认识到，不管钟面有多大，只要时刻相同，时针和分针组成的角的大小都是一样的。通过这样的活动，让学生想象角的两边的长短不影响角的大小，为后续的学习打下基础。其次，让角的大小比较有理有序。学生很难主动从图形大小的比较中跳出来比较角的两边分开的程度，因此，教学中可以从确定同样大的角开始，让学生摆弄活动角，知道怎样的两个角是一样大的。引导学生摆出一个与固定角一样大的角，让学生摆弄活动角，自然将两边重合，顶点重合，他们确定这两个角是一样大的。如果要将角变得大一些，只要将一条边拨到固定角的“外边”去，即在确定怎样的两个角一样大的基础上再来比较大小，降低了学生理解的难度，使知识的建构过程有理有序。此处，尽管没有“言传”，但学生的困惑都已得到破解。]
教学中，我们常被惯性所束缚，但当我们跳出来看，有些行为和规则完全可以改变。基于学生的认知规律、学习状态调整自己的教学行为，是对学生的尊重。换一个角度思考问题，会给我们带来一种新的体验。也许新的尝试又有其他的弊端存在，但基于尊重学生学习行为的尝试，必然是有益的。
参考文献：
[1] 史宁中.数学思想概论（第1辑）[M].长春：东北师范大学出版社，2008.
[2] 本刊编者.教学“认识角”的难之所在[J].中小学数学（小学版），2013（7-8）.
[3] 胡重光，杜剑芳.“角的度量”教学新探[J].小学教学（数学版），2015（4）.
关键词：角的初步认识 教学 困境 探源 尝试
困境：我们是否在为难学生？
“角的初步认识”是义务教育阶段第一学段和第二学段都有所涉及的内容，历来是教师研课的热点话题，其中，对三个问题的解释是普遍存在的困境。
（一）什么是“角”？
教师让学生指出他看到的角：教师示范前，学生会指尖尖的顶点处；教师示范后，学生会从一边开始经过顶点再到另一边。而教师希望的指法是：先指角的顶点，再从顶点出发指出角的两条边。因此，每节课上教师都要纠错。但是，为什么一定要像教师所希望的这么指？射线未学，角的大小与边的关系没有揭示，教师也难以解释。
（二）角的大小如何描述？
前测中的一道题（见图1），有40%的学生认为第一个角最小，当问及原因时，大部分学生都沉默了，不知道怎么表达，但很少有学生改变最初的想法。有一名学生指着整个图形告诉我：“因为这个比较小。”
再来看一个例子，教师出示一个已经画好的边较长的角，将一个边比较短的活动角与画好的角重合，然后提问：“一样大吗？”有一部分学生认为活动角小。角的大小如何描述？教师只能让学生在做活动角的过程中揣摩。
（三）认识角的本质了吗？
角有两条边和一个顶点，这是初步认识角的两个基本要素。很多教师会从具体事物中抽象出角，让学生理解角的概念和属性，以期发展学生的抽象概括能力。在课后检测中出现一个特殊的角——平角，大部分学生認为它不是角，因为在他们心中，角的图式依然是锐角的模样。对于角，抓住边和顶点这两个要素就能做到初步认识了吗？
综上所述，我们的确在为难学生。
探源：为什么会为难学生？
（一）源自数学概念与生活概念的不兼容
角的内涵有两层：一是静态的，由两条边和一个顶点构成；二是动态的，一条射线绕着它的端点旋转得到一个角。由于角的两条边是射线，在学生指角时，教师就会要求指的动作符合角的内涵，从一点引出两条射线。但学生对“角”已经有了丰富的认知，如墙角、牛角、号角等，当他们指着三角板、桌角的尖尖处时，指的是空间中的角，是物体的一部分。学生的指法并没有错，但这些生活中的角与数学中的角意义并不完全相同。学生在弄清楚数学中的角的内涵之前，指出符合教师规范的角是很难的，他们只能在疑虑中模仿。
（二）源自“初步认识”的简单处理
《义务教育数学课程标准（2011年版）》将角的学习内容分在两个学段：第一学段是结合生活情境认识角，了解直角、锐角和钝角；第二学段是认识平角与周角，了解周角、平角、钝角、直角、锐角之间的大小关系。苏教版小学数学教材将角的学习内容安排在二年级下册和四年级上册，逐步扩展学生对角的认识。二年级下册《角的初步认识》作为认识角的第一课时，由于学生还没有学习射线，为避免描述不准确，教师一般会采用回避策略，只是在制作活动角和比一比三角尺上角的大小时，让学生初步感知角是有大小的，教学目标锁定在认识角的结构。但角是一个不封闭的二维图形，角的大小对角的认识有重要的价值，只关注角的结构往往只是让学生拥有一个僵化的认知。
（三）源自概念本质的“生长点”难以触摸
2000多年前，欧几里得给出了角的古老定义：角是在一个平面内但不在一条直线上的两条相交线相互的倾斜度。由此可见，角产生的源头是表达两条相交线之间的位置关系。由于小学生的认知以形象思维为主，所以教材还未涉及几何中过于抽象的射线、直线，教师也就无法基于角的本质设计例子，只能在具体事物中抽象出角的图形，让学生感受角是图形中的一个元素。同时，角的大小比较需要有量化的意识，但在学生已有认知中难以找到“生长点”：在认识长度时，线段是可以测量的，角却不能直接获得类似长度的意义；在认识面积时，可以测量封闭图形的大小，角却不是封闭图形。角度与长度、面积都无关。既不能从概念的源头来形成认识，又难以从测量的角度感悟角的大小，概念的本质让学生难以触摸。
当然，让学生为难，并不是教师有意为之，只是如果这样教，必然会遇到难以解释的问题。因此，我们需要调整课堂教学的结构，让学生在活动中感悟角的本质，从而丰富、积累几何活动经验。
尝试：怎样才能不为难学生？
当角在学生的数学学习中第一次亮相时，我们既要注重知识的“生长点”与“延伸点”，将角的认识置于“图形与几何”整体的知识体系中，还要处理好初步认知与学生已有经验的关系。更为重要的是，要给学生空间使其独立思考、感悟角的本质属性，激发他们的好奇心。
（一）生活中的角
师在生活中你们见到过角，听说过角吗？
（学生想到牛角、书角、桌角、三角尺等。）
师你能指给大家看一看吗？
（学生指桌角、书角。）
师同学们认识这么多的角，都是生活中的角，那么数学中的角是怎样的呢？
（学生略做思考，教师揭示课题：角的初步认识。）
（二）数学中的角
1.认识静态的角。
师数学中的角长什么样呢？我们一起来看一看。
（课件出示一点，点动成线。）
师现在你看到了什么？
生线。
（课件再出示一条线，见图2。）
师（指课件）现在是角吗？
生不是。
（课件演示：两条线的端点重合，见图3。） 师这个图形你见过吗？
生是角。
（课件依次出现6个角，见图4。）
师像这样的图形就是数学上的角。两条线重合的这个点就是这个角的顶点，这两条线就是角的边。
（请学生上台指一指角的顶点和边。）
师角有一个顶点和两条边。（拿出数学书、三角尺）这些物体中有角吗？请你在作业纸上描一描，描出你找到的角。
（展示学生描出的角，见图5。）
师这两位同学描的是三角尺中的同一个角，有什么相同？有什么不同？
生他们描出的边的长短不一样。
师是的，长短不一样，那说明什么呢？
生说明同一个角，角的两条边长短不是固定的。
師说得很好！接下来，我想请几位同学上来，把三角尺上的角指给大家看一看。要求：先指出顶点，再指两条边。
（学生上台指角。）
师找一找，我们身边的物体上还有哪些角？
[说明：在日常生活中，角常常作为具体事物的组成部分而存在，如书角、桌角等，为避免生活概念对数学概念的影响，束缚学生对角的本质的理解，我们调整了认知角的顺序。首先，直接从线出发，展示数学中的角，让学生知道数学中的角长什么样。其次，在学生清楚了数学中的角的结构后，让他们在纸上描出角，感受角是平面图形的一部分。在描角的过程中，学生描出角的边的长短并不相同，以此为契机点明：角的两边可以无限延伸。第三，在具体事物上指一指角，感受平面上的角与空间中的角的关系。这时再指角，学生很自然地指出角的一个顶点和两条边。此外，在实物中找角的过程，可以培养学生从复杂图形中分离出基础图形的能力，发展学生的空间观念。]
2.认识动态的角。
师在钟面上我们也能找到角。
（课件出示钟面，拨动时针和分针形成一个角。指针转动，会得到不同的角。）
师这些角有什么相同？有什么不同？
生有的大一点，有的小一点。
（课件再出示一个小钟面进行对比，两个钟都拨到1时整，引出两个角大小的比较，见图6。）
师这两个角一样大吗？为什么？
（学生讨论。）
生它们的分针、时针指的数字都是一样的，所以角的大小也是一样的。
（课件演示两个角的顶点重合、边也重合的过程。）
师尽管角的两边长短不一样，但它们都指着1时整，能够重合，所以这两个角是一样大的。
3.做活动角。
师我们来做一个活动角，看看你会有什么发现？
（学生动手操作后，说出自己的发现。）
师做一个与老师的这个角一样大的角。
（学生讨论、操作。）
师它们一样大吗？为什么？
生一样大，因为顶点重合时两边也重合。
师你能将这个活动角变得比老师的这个角大吗？说一说你的方法。
生（拨动活动角的边，使两条边分得更开些）只要这样拨大一些就可以了。
[说明：首先，让学生意识到角的大小与线段的大小或面积的大小是不同的，可以借助钟面上的时针和分针来说明这一点。在大小不同的钟面上转出相同的时刻，引发学生思考：时针和分针所指的数字是一样的，所以这两个角是一样大的。让学生认识到，不管钟面有多大，只要时刻相同，时针和分针组成的角的大小都是一样的。通过这样的活动，让学生想象角的两边的长短不影响角的大小，为后续的学习打下基础。其次，让角的大小比较有理有序。学生很难主动从图形大小的比较中跳出来比较角的两边分开的程度，因此，教学中可以从确定同样大的角开始，让学生摆弄活动角，知道怎样的两个角是一样大的。引导学生摆出一个与固定角一样大的角，让学生摆弄活动角，自然将两边重合，顶点重合，他们确定这两个角是一样大的。如果要将角变得大一些，只要将一条边拨到固定角的“外边”去，即在确定怎样的两个角一样大的基础上再来比较大小，降低了学生理解的难度，使知识的建构过程有理有序。此处，尽管没有“言传”，但学生的困惑都已得到破解。]
教学中，我们常被惯性所束缚，但当我们跳出来看，有些行为和规则完全可以改变。基于学生的认知规律、学习状态调整自己的教学行为，是对学生的尊重。换一个角度思考问题，会给我们带来一种新的体验。也许新的尝试又有其他的弊端存在，但基于尊重学生学习行为的尝试，必然是有益的。
参考文献：
[1] 史宁中.数学思想概论（第1辑）[M].长春：东北师范大学出版社，2008.
[2] 本刊编者.教学“认识角”的难之所在[J].中小学数学（小学版），2013（7-8）.
[3] 胡重光，杜剑芳.“角的度量”教学新探[J].小学教学（数学版），2015（4）.