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高要市国土资源局测绘队 广东高要 526100
摘要：本文对GPS RTK技术在铁路测量中的应用进行了深入研究，介绍了GPSRTK应用于铁路定线测量存在的主要问题，分析了高斯投影长度变形的原因，通过建立数学模型提出了消弱投影变形的主要技术措施，供相关人员参考借鉴。
关键词：GPSRTK；铁路测量；投影变形
GPS RTK技术是能够在野外实时得到厘米级定位精度的测量方法，它采用了载波相位动态实时差分（Real - time kinematic）方法，是GPS应用的重大里程碑，显然，它的出现为工程放样、地形测图，各种控制测量带来了新曙光，极大地提高了外业作业效率。但是，作为一种全新的、高效的测量模式，GPS RTK在铁路测量工程中会遇到一定的问题，例如铁路线路通常较长，在国家统一坐标系中又存在长度变形等等，本文通过对RTK在铁路测量中相关问题的深入研究，希望对相关工程有所帮助。
1 GPSRTK应用于铁路定线测量存在的主要问题
GPSRTK定线测量实质上是应用坐标法的原理进行定位测量，铁路测量中要求长度变形量不超过1/40000，在3°投影带的边缘长度变形可达几千分之一以上，致使中线桩由国家坐标反算的放样长度与实地测量长度不一致，这样从不同测站放样同一点，实地点位不落在同一位置（假设无测量误差），无法满足放样要求。从而成为GPSRTK坐标法定测放线的障碍，限制了这一方法在铁路定测中的应用。因此，要想应用GPSRTK进行铁路定线测量，必须事先对投影变形采取一定的约束措施，使其变形量在所规定的范围内。
2高斯投影长度变形分析
铁路测量中，常用的平面坐标系为北京1954坐标系或1980国家坐标系，采用高斯正形投影3°带或6°带。该坐标是先将地面观测值归化到参考椭球面上（即高程归化），然后再从参考椭球面改化到高斯平面上。在投影过程中，长度发生了明显变形。
2.1高程归化
将地面观测距离归化到参考椭球面上，其长度变形由下式计算：
ΔSH=（Hm/RA）S （1）
由式（1）可知，ΔSH为负值，表明将地面实测长度归算到参考椭球面总是变短的，而且变形值与归算边高出参考椭球面的平均高程Hm成正比。设Hm的绝对值为50～5000m，高程归化引起的相对变形ΔSH/S列入表1，从表1看出，海拔愈高，ΔSH/S愈大。
表1 高程归化相对变形表
2.2高斯投影距离改化
将参考椭球面上边长改化至高斯平面上，其长度变形由下式计算：ΔSG=（y2m/2R2m）S（2）
由式（2）可知，ΔSG为正值，表示将参考椭球面上的长度投影到高斯平面上总是变长，而且变形值ΔSG与横坐标ym的平方成正比，即投影边长离中央子午线愈远，其变形愈大。以Rm=6371km代入式（2），对不同的ym，高斯投影归化引起的相对变形ΔSG/S列入表2；3°投影带在不同纬度边缘长度相对变形的计算结果列入表3。
表2 高斯投影归化相对变形表
表3 3° 投影带不同纬度边缘长度相对变形值表
由式（1）、式（2）可知，距离观测值从地面投影到高斯平面总的长度变形为：ΔS=（-Hm/RA+y2m/2R2m）S（3）
式中：S为地面测量长度；Hm为高出参考椭球面的平均高程；RA为地面边方向参考椭球面法截弧曲率半径，取近似值Rm；ym为地面边两端点近似横坐标平均值；Rm为参考椭球面在地面边中点的平均曲率半径，为方便起见，以下近似取Rm≈6371km。由式（3）知，长度变形与测区地理位置和高程有关。
3消弱投影变形的主要技术措施
采用建立独立坐标系的措施削弱测区长度变形，独立坐标系的建立一般有以下几种方法。
3.1投影于国家参考椭球面上的高斯正形投影3°带平面直角坐标系
当测区距离中央子午线较近，地区平均高程较低时，即投影长度变形值不大于2.5cm/km时，不考虑变形问题，此时有ΔS=0。即前面式（1）、式（2）影响相同，一般认为ym≤45km，Hm≤100m时，可以直接采用高斯正形投影的3°带平面直角坐标系。
3.2投影于国家参考椭球面上的高斯正形投影任意带平面直角坐标系
该坐标系不变动高程归化面（长度仍然归算到国家参考椭球面）而移动中央子午线。根据测区平均高程Hm，按下式算出使测区中央长度变形为0的中央子午线位置，式（3）中令ΔS=0，即有：（4）
由式（4）有：（5）
根据（xm，y′m）反算出经度差l′，则选择的任意投影带的中央子午线经度为：L′0=Lm±l′（6）
在同一测区，高程高低有变化，而东西方向也存在着一定的宽度，完全抵偿是不可能的，总存在一个残余变形，其相对长度变形值为：
（7）
在一定长度变形范围内（给出的允许值），该坐标系控制的最大距离为：（8）
即该坐标系能使测区中央东、西两侧（Ymax-Y′m）范围内的长度变形满足要求，也就是说，该坐标系的最大抵偿范围为：ΔY=2（Ymax-Y′m）（9）
由此可见，对一定的高程只存在一定的抵偿范围，而且随高程的增加，抵偿范围越来越窄。经计算，在要求变形1/40000的范围内，高程从0m变化到2000m，抵偿范围从45km变化到7km。
3.3高程抵偿面上的高斯正形投影3°带平面直角坐标系
该坐标系采用国家统一3°带的投影方法，人为选择某一高程抵偿归化面，使高程归化改正与高斯投影的长度改化相抵消，重新选择一高程参考面。由式（4）得：
（10）
采用此坐标系仅在测区中央（ym）处的长度变形得到完全抵偿，而中央的东西两侧仍然存在残余变形。在允许的长度变形（给定的数值）范围内，该坐标系的抵偿范围按下面公式计算，测区中央东侧、西侧：
（11）
该坐标系与测区离开中央子午线的距离有关，离中央子午线越远，抵偿范围越窄。
4独立坐标系建立
建立铁路定测分段独立坐标系时，由于采用了平均高程面作为投影面，分段独立坐标系的计算在不同于国家参考椭球的新椭球上进行。这个新椭球一般称为局部椭球，该椭球处于平均高程面上，其中心、轴向和扁率与国家参考椭球相同，只是其长半径有一变值Δa。
下面讨论局部椭球坐标与国家参考椭球坐标的关系：
设某地方独立坐标系位于平均高程为hm的参考椭球面上，该地方的高程异常为ζ，则该曲面离国家参考椭球的高度为：
H=hm+ζ （12）
根据假定两椭球中心一致，轴向一致，扁率相同，仅长半径有一定的差值Δα，即有：H/N=Δa/a
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摘要：本文对GPS RTK技术在铁路测量中的应用进行了深入研究，介绍了GPSRTK应用于铁路定线测量存在的主要问题，分析了高斯投影长度变形的原因，通过建立数学模型提出了消弱投影变形的主要技术措施，供相关人员参考借鉴。
关键词：GPSRTK；铁路测量；投影变形
GPS RTK技术是能够在野外实时得到厘米级定位精度的测量方法，它采用了载波相位动态实时差分（Real - time kinematic）方法，是GPS应用的重大里程碑，显然，它的出现为工程放样、地形测图，各种控制测量带来了新曙光，极大地提高了外业作业效率。但是，作为一种全新的、高效的测量模式，GPS RTK在铁路测量工程中会遇到一定的问题，例如铁路线路通常较长，在国家统一坐标系中又存在长度变形等等，本文通过对RTK在铁路测量中相关问题的深入研究，希望对相关工程有所帮助。
1 GPSRTK应用于铁路定线测量存在的主要问题
GPSRTK定线测量实质上是应用坐标法的原理进行定位测量，铁路测量中要求长度变形量不超过1/40000，在3°投影带的边缘长度变形可达几千分之一以上，致使中线桩由国家坐标反算的放样长度与实地测量长度不一致，这样从不同测站放样同一点，实地点位不落在同一位置（假设无测量误差），无法满足放样要求。从而成为GPSRTK坐标法定测放线的障碍，限制了这一方法在铁路定测中的应用。因此，要想应用GPSRTK进行铁路定线测量，必须事先对投影变形采取一定的约束措施，使其变形量在所规定的范围内。
2高斯投影长度变形分析
铁路测量中，常用的平面坐标系为北京1954坐标系或1980国家坐标系，采用高斯正形投影3°带或6°带。该坐标是先将地面观测值归化到参考椭球面上（即高程归化），然后再从参考椭球面改化到高斯平面上。在投影过程中，长度发生了明显变形。
2.1高程归化
将地面观测距离归化到参考椭球面上，其长度变形由下式计算：
ΔSH=（Hm/RA）S （1）
由式（1）可知，ΔSH为负值，表明将地面实测长度归算到参考椭球面总是变短的，而且变形值与归算边高出参考椭球面的平均高程Hm成正比。设Hm的绝对值为50～5000m，高程归化引起的相对变形ΔSH/S列入表1，从表1看出，海拔愈高，ΔSH/S愈大。
表1 高程归化相对变形表
2.2高斯投影距离改化
将参考椭球面上边长改化至高斯平面上，其长度变形由下式计算：ΔSG=（y2m/2R2m）S（2）
由式（2）可知，ΔSG为正值，表示将参考椭球面上的长度投影到高斯平面上总是变长，而且变形值ΔSG与横坐标ym的平方成正比，即投影边长离中央子午线愈远，其变形愈大。以Rm=6371km代入式（2），对不同的ym，高斯投影归化引起的相对变形ΔSG/S列入表2；3°投影带在不同纬度边缘长度相对变形的计算结果列入表3。
表2 高斯投影归化相对变形表
表3 3° 投影带不同纬度边缘长度相对变形值表
由式（1）、式（2）可知，距离观测值从地面投影到高斯平面总的长度变形为：ΔS=（-Hm/RA+y2m/2R2m）S（3）
式中：S为地面测量长度；Hm为高出参考椭球面的平均高程；RA为地面边方向参考椭球面法截弧曲率半径，取近似值Rm；ym为地面边两端点近似横坐标平均值；Rm为参考椭球面在地面边中点的平均曲率半径，为方便起见，以下近似取Rm≈6371km。由式（3）知，长度变形与测区地理位置和高程有关。
3消弱投影变形的主要技术措施
采用建立独立坐标系的措施削弱测区长度变形，独立坐标系的建立一般有以下几种方法。
3.1投影于国家参考椭球面上的高斯正形投影3°带平面直角坐标系
当测区距离中央子午线较近，地区平均高程较低时，即投影长度变形值不大于2.5cm/km时，不考虑变形问题，此时有ΔS=0。即前面式（1）、式（2）影响相同，一般认为ym≤45km，Hm≤100m时，可以直接采用高斯正形投影的3°带平面直角坐标系。
3.2投影于国家参考椭球面上的高斯正形投影任意带平面直角坐标系
该坐标系不变动高程归化面（长度仍然归算到国家参考椭球面）而移动中央子午线。根据测区平均高程Hm，按下式算出使测区中央长度变形为0的中央子午线位置，式（3）中令ΔS=0，即有：（4）
由式（4）有：（5）
根据（xm，y′m）反算出经度差l′，则选择的任意投影带的中央子午线经度为：L′0=Lm±l′（6）
在同一测区，高程高低有变化，而东西方向也存在着一定的宽度，完全抵偿是不可能的，总存在一个残余变形，其相对长度变形值为：
（7）
在一定长度变形范围内（给出的允许值），该坐标系控制的最大距离为：（8）
即该坐标系能使测区中央东、西两侧（Ymax-Y′m）范围内的长度变形满足要求，也就是说，该坐标系的最大抵偿范围为：ΔY=2（Ymax-Y′m）（9）
由此可见，对一定的高程只存在一定的抵偿范围，而且随高程的增加，抵偿范围越来越窄。经计算，在要求变形1/40000的范围内，高程从0m变化到2000m，抵偿范围从45km变化到7km。
3.3高程抵偿面上的高斯正形投影3°带平面直角坐标系
该坐标系采用国家统一3°带的投影方法，人为选择某一高程抵偿归化面，使高程归化改正与高斯投影的长度改化相抵消，重新选择一高程参考面。由式（4）得：
（10）
采用此坐标系仅在测区中央（ym）处的长度变形得到完全抵偿，而中央的东西两侧仍然存在残余变形。在允许的长度变形（给定的数值）范围内，该坐标系的抵偿范围按下面公式计算，测区中央东侧、西侧：
（11）
该坐标系与测区离开中央子午线的距离有关，离中央子午线越远，抵偿范围越窄。
4独立坐标系建立
建立铁路定测分段独立坐标系时，由于采用了平均高程面作为投影面，分段独立坐标系的计算在不同于国家参考椭球的新椭球上进行。这个新椭球一般称为局部椭球，该椭球处于平均高程面上，其中心、轴向和扁率与国家参考椭球相同，只是其长半径有一变值Δa。
下面讨论局部椭球坐标与国家参考椭球坐标的关系：
设某地方独立坐标系位于平均高程为hm的参考椭球面上，该地方的高程异常为ζ，则该曲面离国家参考椭球的高度为：
H=hm+ζ （12）
根据假定两椭球中心一致，轴向一致，扁率相同，仅长半径有一定的差值Δα，即有：H/N=Δa/a
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