论文部分内容阅读
含参不等式恒成立问题, 把导数,不等式,函数,数列,三角,几何等内容有机有地结合起来,覆盖知识点广,渗透的数学思想方法多,解题方法又灵活,能很好地考查学生的创新能力和潜在的数学素质,.所以我们有必要对这一问题作一系统的复习.本课时给出解决这一问题的最常用的方法:数形结合,最值转换(参数分离).
教学设计
一 课前预习:
1. 已知函数 在 上是减函数,则 的取值范围. ________
2. 使不等式 对一切 恒成立的负数 取值范围是___
3. ,若当 时, 有意义,则实数 取值范围______
4. 对 的一切实数 ,则使不等式 都成立的 的取值范围______
分析1.由题意 对任意 恒成立,故
评注: 本题中, 在 上单调递减的充要条件是对一切 , .一般地,可导函数 在 是递增(递减)的充要条件是:对于任意 ,都有 ,且 在 的任意子区间上都不恒为零.在高中阶段,主要出现的是有一个或多个(有限个)使 的点 的情况(否则对 的情况需要特别说明)。
分析2. 不等式化为
令 则 ,令 , 只要 ,因为函数 的图象的对称轴为
又 ,所以
评注: (1)一般地, 对于给定某个范围内的任一 恒成立等价于
对于给定某个范围内的任一 恒成立等价于
(2) 若将本题中的条件 改为 ,答案又如何?
抓住对称轴分类讨论:
评注: (1) 如果恒成立不等式中所求参数便于从中分离到不等号的一边,而不等号另一边的函数的相应最值又易求出,则有
对于给定某个范围内的任一 恒成立等价于
对于给定某个范围内的任一 恒成立等价于 .
(2) 如果将本题中条件 改为 呢?
可以先由 在 上是增函数,先求出 的值域 ,则要使 对一切 恒成立,只要 .(注意:端点可取)
分析4. 原不等式等价于不等式 设 ,只要 得
评注: (1) 将 作主元,构造 的一次函数或常函数,借助于图象,而获得简洁解.
(2) 也可由 求 的取值范围,但此时需要对 分类讨论.
二 例题精析:
例题1 已知函数
(1) 当 时,若对任意 ,都有 ,证明: .
(2) 当 时,证明:对任意 的充要条件是 .
分析: (1) 对一切 恒成立,只要
评注: 本题也可以由 ,得到证明.
分析: (2) 当 时
在 上是增函数,
,当且仅当 时,
当 时, ,显然恒成立.
综上所述,当 时, 对任意 的充要条件为 .
评注: (1) 根据所要证明的充要条件结构式特征,将参数 从恒不等式中分离出来,从而将问题转化为求两个函数的最值.特别注意的是:对于 的情况要特别说明.
(2)如果当 时,对任意 的充要条件又是什么?
事实上,解题过程基本同上,所不同之处是在
“ 当且仅当 时, ”这一步上需作修改,因为此时 ,等号取不到。事实上,因为 对 , 恒成立,所以函数 在 上是减函数, 所以 。又由题设条件 ,所以当 时,对任意 的充要条件是 。
(3) 本题也可用最值法及数形结合证明。
例题2 已知函数 在区间 上是增函数.
(1) 求实数 的值组成的集合A
(2) 设关于 的方程 的两个非零实根为 .试问:是否存在实数 使得不等式 对任意 及 恒成立?若存在,求 的取值范围;若不存在,请说明理由.
所以,存在实数 ,使不等式 对任意 及 恒成立,其 的取值范围为 .
评注:
(1)关于第(1)问解答采用了三种方法,方法一直接转化为含参的二次函数的最大值求方法二采用参数分离法,此时需要对 分类讨论,最后求三种情况的交集;方法三借助于二次函数的图象,数形结合获得简洁求解.
(2)第(2)问涉及到双参数不等式恒成立问题,解决这类问题的常规方法是先考虑其中的一个参数在其给定范围内不等式恒成立,从而将含双参数不等式恒成立问题转化为含一个参数不等式恒成立问题.
(3)将导数与函数的单调性,不等式有机地结合起来设计综合试题,将成为今后高考命题的一种趋向.事实上,导数只不过是创设这类试题情境的一种取向,求导的过程并不难,它不是这类试题的最终落脚点,它的最终落脚点却是考查含有参数的不等式恒成立问题,这类问题渗透着等价转化,分类讨论,数形结合等重要的数学思想方法,是高考的重点和难点,所以加强学生在这方面的解题训练是必要的.
三 强化训练:
A组:
1. 给出两个命题:
命题甲:关于 的不等式 的解集为R,命题乙:函数 在区间 上是增函数,若甲,乙至少有一个是真命题,求实数 的取值范围.
2 已知 为实数, ,若 在 上都是递增的,
求 的取值范围.答:
3 已知函数 ,
1)若 对任意 恒成立,求 的范围.答:
2)若 对任意 恒成立, 求 的范围.
4知函数 的最大值不大于 ,又当 时, ,求
答: =1
B组:
5 若函数 在区间 内为减函数,在区间 上为增函数,试求实数的取值范围 答:
6 已知两个函数 ,其中 为实数,若对任意的 ,都有 ,求实数 的取值范围.答:
7 已知函数 的定义域为 ,对任意 ,当 时, .(1)证明 为奇函数且在 上是增函数
恒成立,求实数 的取值范围.答:
8 已知函数 是定义在 上的奇函数,且 ,若 时有 .
(1) 用定义证明 在 上是增函数.
(2) 解不等式 .答:
(3) 若 对所有 恒成立,求实数 的取值范围.
教学设计
一 课前预习:
1. 已知函数 在 上是减函数,则 的取值范围. ________
2. 使不等式 对一切 恒成立的负数 取值范围是___
3. ,若当 时, 有意义,则实数 取值范围______
4. 对 的一切实数 ,则使不等式 都成立的 的取值范围______
分析1.由题意 对任意 恒成立,故
评注: 本题中, 在 上单调递减的充要条件是对一切 , .一般地,可导函数 在 是递增(递减)的充要条件是:对于任意 ,都有 ,且 在 的任意子区间上都不恒为零.在高中阶段,主要出现的是有一个或多个(有限个)使 的点 的情况(否则对 的情况需要特别说明)。
分析2. 不等式化为
令 则 ,令 , 只要 ,因为函数 的图象的对称轴为
又 ,所以
评注: (1)一般地, 对于给定某个范围内的任一 恒成立等价于
对于给定某个范围内的任一 恒成立等价于
(2) 若将本题中的条件 改为 ,答案又如何?
抓住对称轴分类讨论:
评注: (1) 如果恒成立不等式中所求参数便于从中分离到不等号的一边,而不等号另一边的函数的相应最值又易求出,则有
对于给定某个范围内的任一 恒成立等价于
对于给定某个范围内的任一 恒成立等价于 .
(2) 如果将本题中条件 改为 呢?
可以先由 在 上是增函数,先求出 的值域 ,则要使 对一切 恒成立,只要 .(注意:端点可取)
分析4. 原不等式等价于不等式 设 ,只要 得
评注: (1) 将 作主元,构造 的一次函数或常函数,借助于图象,而获得简洁解.
(2) 也可由 求 的取值范围,但此时需要对 分类讨论.
二 例题精析:
例题1 已知函数
(1) 当 时,若对任意 ,都有 ,证明: .
(2) 当 时,证明:对任意 的充要条件是 .
分析: (1) 对一切 恒成立,只要
评注: 本题也可以由 ,得到证明.
分析: (2) 当 时
在 上是增函数,
,当且仅当 时,
当 时, ,显然恒成立.
综上所述,当 时, 对任意 的充要条件为 .
评注: (1) 根据所要证明的充要条件结构式特征,将参数 从恒不等式中分离出来,从而将问题转化为求两个函数的最值.特别注意的是:对于 的情况要特别说明.
(2)如果当 时,对任意 的充要条件又是什么?
事实上,解题过程基本同上,所不同之处是在
“ 当且仅当 时, ”这一步上需作修改,因为此时 ,等号取不到。事实上,因为 对 , 恒成立,所以函数 在 上是减函数, 所以 。又由题设条件 ,所以当 时,对任意 的充要条件是 。
(3) 本题也可用最值法及数形结合证明。
例题2 已知函数 在区间 上是增函数.
(1) 求实数 的值组成的集合A
(2) 设关于 的方程 的两个非零实根为 .试问:是否存在实数 使得不等式 对任意 及 恒成立?若存在,求 的取值范围;若不存在,请说明理由.
所以,存在实数 ,使不等式 对任意 及 恒成立,其 的取值范围为 .
评注:
(1)关于第(1)问解答采用了三种方法,方法一直接转化为含参的二次函数的最大值求方法二采用参数分离法,此时需要对 分类讨论,最后求三种情况的交集;方法三借助于二次函数的图象,数形结合获得简洁求解.
(2)第(2)问涉及到双参数不等式恒成立问题,解决这类问题的常规方法是先考虑其中的一个参数在其给定范围内不等式恒成立,从而将含双参数不等式恒成立问题转化为含一个参数不等式恒成立问题.
(3)将导数与函数的单调性,不等式有机地结合起来设计综合试题,将成为今后高考命题的一种趋向.事实上,导数只不过是创设这类试题情境的一种取向,求导的过程并不难,它不是这类试题的最终落脚点,它的最终落脚点却是考查含有参数的不等式恒成立问题,这类问题渗透着等价转化,分类讨论,数形结合等重要的数学思想方法,是高考的重点和难点,所以加强学生在这方面的解题训练是必要的.
三 强化训练:
A组:
1. 给出两个命题:
命题甲:关于 的不等式 的解集为R,命题乙:函数 在区间 上是增函数,若甲,乙至少有一个是真命题,求实数 的取值范围.
2 已知 为实数, ,若 在 上都是递增的,
求 的取值范围.答:
3 已知函数 ,
1)若 对任意 恒成立,求 的范围.答:
2)若 对任意 恒成立, 求 的范围.
4知函数 的最大值不大于 ,又当 时, ,求
答: =1
B组:
5 若函数 在区间 内为减函数,在区间 上为增函数,试求实数的取值范围 答:
6 已知两个函数 ,其中 为实数,若对任意的 ,都有 ,求实数 的取值范围.答:
7 已知函数 的定义域为 ,对任意 ,当 时, .(1)证明 为奇函数且在 上是增函数
恒成立,求实数 的取值范围.答:
8 已知函数 是定义在 上的奇函数,且 ,若 时有 .
(1) 用定义证明 在 上是增函数.
(2) 解不等式 .答:
(3) 若 对所有 恒成立,求实数 的取值范围.