含参不等式恒成立问题教学设计

来源 :考试·高考数学版 | 被引量 : 0次 | 上传用户:cxg1112
下载到本地 , 更方便阅读
声明 : 本文档内容版权归属内容提供方 , 如果您对本文有版权争议 , 可与客服联系进行内容授权或下架
论文部分内容阅读
  含参不等式恒成立问题, 把导数,不等式,函数,数列,三角,几何等内容有机有地结合起来,覆盖知识点广,渗透的数学思想方法多,解题方法又灵活,能很好地考查学生的创新能力和潜在的数学素质,.所以我们有必要对这一问题作一系统的复习.本课时给出解决这一问题的最常用的方法:数形结合,最值转换(参数分离).
  教学设计
  一 课前预习:
  1. 已知函数 在 上是减函数,则 的取值范围. ________
  2. 使不等式 对一切 恒成立的负数 取值范围是___
  3. ,若当 时, 有意义,则实数 取值范围______
  4. 对 的一切实数 ,则使不等式 都成立的 的取值范围______
  分析1.由题意 对任意 恒成立,故
  评注: 本题中, 在 上单调递减的充要条件是对一切 , .一般地,可导函数 在 是递增(递减)的充要条件是:对于任意 ,都有 ,且 在 的任意子区间上都不恒为零.在高中阶段,主要出现的是有一个或多个(有限个)使 的点 的情况(否则对 的情况需要特别说明)。
  分析2. 不等式化为
  令 则 ,令 , 只要 ,因为函数 的图象的对称轴为
  又 ,所以
  评注: (1)一般地, 对于给定某个范围内的任一 恒成立等价于
  对于给定某个范围内的任一 恒成立等价于
  (2) 若将本题中的条件 改为 ,答案又如何?
  抓住对称轴分类讨论:
  评注: (1) 如果恒成立不等式中所求参数便于从中分离到不等号的一边,而不等号另一边的函数的相应最值又易求出,则有
  对于给定某个范围内的任一 恒成立等价于
  对于给定某个范围内的任一 恒成立等价于 .
  (2) 如果将本题中条件 改为 呢?
  可以先由 在 上是增函数,先求出 的值域 ,则要使 对一切 恒成立,只要 .(注意:端点可取)
  分析4. 原不等式等价于不等式 设 ,只要 得
  评注: (1) 将 作主元,构造 的一次函数或常函数,借助于图象,而获得简洁解.
  (2) 也可由 求 的取值范围,但此时需要对 分类讨论.
  二 例题精析:
  例题1 已知函数
  (1) 当 时,若对任意 ,都有 ,证明: .
  (2) 当 时,证明:对任意 的充要条件是 .
  分析: (1) 对一切 恒成立,只要
  评注: 本题也可以由 ,得到证明.
  分析: (2) 当 时
  在 上是增函数,
  ,当且仅当 时,
  当 时, ,显然恒成立.
  综上所述,当 时, 对任意 的充要条件为 .
  评注: (1) 根据所要证明的充要条件结构式特征,将参数 从恒不等式中分离出来,从而将问题转化为求两个函数的最值.特别注意的是:对于 的情况要特别说明.
  (2)如果当 时,对任意 的充要条件又是什么?
  事实上,解题过程基本同上,所不同之处是在
  “ 当且仅当 时, ”这一步上需作修改,因为此时 ,等号取不到。事实上,因为 对 , 恒成立,所以函数 在 上是减函数, 所以 。又由题设条件 ,所以当 时,对任意 的充要条件是 。
  (3) 本题也可用最值法及数形结合证明。
  例题2 已知函数 在区间 上是增函数.
  (1) 求实数 的值组成的集合A
  (2) 设关于 的方程 的两个非零实根为 .试问:是否存在实数 使得不等式 对任意 及 恒成立?若存在,求 的取值范围;若不存在,请说明理由.
  所以,存在实数 ,使不等式 对任意 及 恒成立,其 的取值范围为 .
  评注:
  (1)关于第(1)问解答采用了三种方法,方法一直接转化为含参的二次函数的最大值求方法二采用参数分离法,此时需要对 分类讨论,最后求三种情况的交集;方法三借助于二次函数的图象,数形结合获得简洁求解.
  (2)第(2)问涉及到双参数不等式恒成立问题,解决这类问题的常规方法是先考虑其中的一个参数在其给定范围内不等式恒成立,从而将含双参数不等式恒成立问题转化为含一个参数不等式恒成立问题.
  (3)将导数与函数的单调性,不等式有机地结合起来设计综合试题,将成为今后高考命题的一种趋向.事实上,导数只不过是创设这类试题情境的一种取向,求导的过程并不难,它不是这类试题的最终落脚点,它的最终落脚点却是考查含有参数的不等式恒成立问题,这类问题渗透着等价转化,分类讨论,数形结合等重要的数学思想方法,是高考的重点和难点,所以加强学生在这方面的解题训练是必要的.
  三 强化训练:
  A组:
  1. 给出两个命题:
  命题甲:关于 的不等式 的解集为R,命题乙:函数 在区间 上是增函数,若甲,乙至少有一个是真命题,求实数 的取值范围.
  2 已知 为实数, ,若 在 上都是递增的,
  求 的取值范围.答:
  3 已知函数 ,
  1)若 对任意 恒成立,求 的范围.答:
  2)若 对任意 恒成立, 求 的范围.
  4知函数 的最大值不大于 ,又当 时, ,求
  答: =1
  B组:
  5 若函数 在区间 内为减函数,在区间 上为增函数,试求实数的取值范围 答:
  6 已知两个函数 ,其中 为实数,若对任意的 ,都有 ,求实数 的取值范围.答:
  7 已知函数 的定义域为 ,对任意 ,当 时, .(1)证明 为奇函数且在 上是增函数
  恒成立,求实数 的取值范围.答:
  8 已知函数 是定义在 上的奇函数,且 ,若 时有 .
  (1) 用定义证明 在 上是增函数.
  (2) 解不等式 .答:
  (3) 若 对所有 恒成立,求实数 的取值范围.
其他文献
本文以四年级道德与法制课程教学为例,来阐明道德与法制课是道德实践课、情商课。   在准备四年级道德与法治第五单元第一课《我们的好朋友》一课时,我有下列几点感受:   一、 对朋友负责,提高孩子道德认知水平   在友谊中,学生都懂得友谊不重吃喝,不应该行学习之方便,但是具体执行和实践却是根本模糊不重视。等到教学完《益友》一则小故事后,我话锋一转问:“吕岱作为古代贤士能做到成长和进步重于一切,可
期刊
随着科技的发展多媒体在教学中的应用已日趋成熟,小学语文的阅读提升工程也成为语文核心素养的重要组成部分,为了更好的探究多媒体在小学语文阅读中的教学,下面我就结合我在教学中的体悟进行详细的阐述,希望能为小学语文的阅读教学提供参考。   一、多媒体教学在小学语文阅读教学中的优势   多媒体教学手段有着传统教学手段不可比拟的优势,最为突出的就是能把传统板书不能展示的音频、视频、图像等展示给同学。这样才
期刊
马海——壮话意为回家,这是竹在呼唤。马海人以竹为家,以竹为荣!以竹为傲!  马海漫山遍野皆竹,见竹就如见亲人,见竹就像回到了家。  马海人的家园是竹的故乡,竹的海洋。楠竹、四方竹、油竹、水竹、罗汉竹在此相聚。风起时,摇曳多姿的竹子仿佛海浪一般推波助澜,迎风起舞。伫立马海山头观竹,村庄、梯田在竹子的簇拥呵护中,划开一幅天下观竹潮的美景。  古人有云“宁可食无肉,不可居无竹”,松、竹、梅、兰,竹在四君
期刊
2020年9月11日,习近平总书记在北京主持召开的科学家座谈会上谈到:“好奇心是人的天性,对科学兴趣的引导和培养要从娃娃抓起,使他们更多了解科学知识,掌握科学方法,形成一大批具备科学家潜质的青少年群体。”这是习总书记对小学科学教师的殷切希望,对于一名小学科学老师来说,更是一份沉甸甸的责任。那么,如何做一名新时代的科学教师呢?   一、 读懂科学教材   从2017年开始,一年级开始开设科学课。
期刊
随着素质教育的不断推进,尽快实现素质教育的“两全”,即面向全体学生,使学生得到全面发展。其中如何实现学习困难学生的有效转化,使他们同样得到全面发展,是我们每一位教育工作者一直不断探寻的问题。   孩子学习困难是一种学习能力的发展障碍。这些孩子都存在一定程度的紧张、焦虑、自卑、注意力难以集中、失眠、甚至厌学等心理障碍。究其原因:一是由于家长缺乏辅导,甚至家长外出打工缺乏管教,没养成良好习惯;二是自
期刊
序曲  有时,风顽皮地吹了声口哨,把云呼来了,把雾唤来了,于是,你就在云里雾里,像披着婚纱、若隐若现着肌肤的新娘。  有时,太阳恶作剧般地把这婚纱掀了掀,于是,万丈霞光映照下,千万块镜子反射出粼粼的波光,像瑶寨男人们古铜色肩膀散发出来的阳刚。  春天,寨里最年长的爷爷,在村头唱了几遍山歌,把后山上的溪水叫醒,汩汩的泉水叮咚着,把每一块田灌满,于是,大大小小的田里布满了耕耘的人们。  夏天,暖暖的风
期刊
小学教育阶段是学生的思想与价值观形成的阶段,德育在小学教学当中是非常重要的,把德育教育渗透到小学生的日常教学当中,提高小学生的思想观念认识,促进小学生的全面发展,建立起良好的小学教育基础。   一、 小学教学中德育渗透的重要性   随着时代的进步,社会的发展,教育目标、人才培养也不断变化。当前的教育当中除了知识技能的培养之外,至关重要的是思想道德品质、价值观念的培养。所以,小学教学中德育的渗透
期刊
在日常生活中,我们用到最多的就是汉语,但是经常有人会出现表达性的错误,尤其是一些小学生,他们年龄小,语言表达能力较弱。手机、电脑等科技产品让人们的生活越来越便利,但是“无纸化”也让人们对于汉字的书写能力不断降低,很多学生经常出现提笔忘字的情况。由此可见,小学时期的语文教学对于学生的未来生活有很大的影响。小学阶段不仅是学生身心高速发展的阶段,更是学生获取知识的重要阶段,是学生语文学习的基础阶段。因此
期刊
一、立几教学中模型的作用  1.用于引进学习立体几何的方法和意义  立体几何的第一节课,我一改以往平铺直叙地介绍概念及公理体系的做法,一开始就让学生准备常见的玩具“游戏棒”与“橡皮泥”,用来制作立体几何的教学模型,从而提高了学生学习兴趣和动手能力,收到了较好的教学效果.  先做一个“游戏”:  “用6根等长的游戏棒能不能拼成4个全等的正三角形?”由于学生的思考范围还囿于平面几何,较难完成.这时,我
期刊
教育家吕型伟先生说过:“当教师而不当班主任,就失去当教师的大部分意义。当班主任而不当好班主任,就失去当教师的全部意义。”长期的工作实践中,我深深体会到:关注学生的心灵,了解学生的所思所想,重视学生的“个性”“灵性”“人性”“人格”,以学生为本,充分发掘其潜能,创造性地開展工作,会促使学生得到全面发展,素质得到提高。   一、 尊重学生的人格,化作爱的甘露滋润孩子们的心田   当我们的教育出现问
期刊