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摘 要：双曲守恒型方程的高精度、高分辨率计算格式的研究一直是计算流体力学的热点问题。针对原WENOJS格式分辨率较低和计算量偏大的不足问题，提出利用简单的重构数值通量的方法以提高计算效率，构造了新的简单限制器的5阶迎风型WENO格式。通过MATLAB软件的仿真对LaxWendroff WENOJS格式、LaxWendroff简单限制器WENO格式、RungeKutta WENOJS格式、RungeKutta简单限制器的WENO格式的实验结果进行了分析，并比较了这四种计算格式的计算效率和计算精度。数值实验表明：新格式LaxWendroff简单限制器WENO格式在保持原WENO分辨率的前提下，计算速度有明显提高，减少了20%的计算时间。
关键词：高精度；WENO；RungeKutta；LaxWendroff；时间离散
DOI：10.15938/j.jhust.2017.06.026
中图分类号： O175
文献标志码： A
文章编号： 1007-2683（2017）06-0134-06
Abstract：The research of high accuracy and high resolution schemes have been a hot topic in computational mathematics. According to low resolution and large amount of calculation of the original WENOJS scheme， we propose a simple new limiter fifth order upwind WENO scheme to reconstruct the numerical flux of the simple structure to improve the computational efficiency. Compared with other efficient high accuracy schemes such as ENO and WENO， it is shown that the computational cost of this scheme is less than that of WENOJS in the same accuracy. By use of MATLAB software， we compared and analyzed computational efficiencies and computational accuracies of LaxWendroff WENOJS scheme， LaxWendroff simple limiter WENO scheme， RungeKutta simple limiter WENO scheme and RungeKutta WENOJS scheme. The numerical results show that the new LaxWendroff simple limiter WENO scheme can improve the computing speed and reduce the computing time by 20% while maintaining the original WENO resolution.
Keywords：high accuracy； WENO； RungeKutta； LaxWendroff； time discretization
0 引 言
雙曲守恒律方程（组）为科学理论和工程应用研究中一类非常重要的偏微分方程（组）。空气动力学、爆炸力学、流体力学等许多力学问题的求解都与其密切相关。由于即使在初始条件充分光滑的条件下，双曲型守恒律方程的解仍可能出现间断。因此，为了能够更加高效地捕捉到间断，并且避免间断附近出现数值振荡，计算流体力学及计算数学等领域一直致力于研究稳定高效的数值计算方法[1-5]。
低阶精度的离散方法可能会对许多流动结构造成“失真”模拟，不能真实反映真实的流动现象。高精度格式具有较小的耗散误差和色散误差，能够更准确地模拟双曲守恒律方程的时空多尺度特性，在同样网格条件下比低阶格式能分辨出更加精细的流场、捕捉到其更细微的结构变化。然而，高阶精度格式也存在不足：求解在间断处可能出现Gibbs现象即产生伪物理振荡，从而导致非线性不稳定现象。因此，发展高分辨率、高精度离散格式是计算流体力学发展中的迫切需要，成为计算流体力学工作者的一大研究方向[6-10]。
TVD格式的出现，标志着计算流体力学步入了高精度计算格式阶段，大量高精度计算格式不断出现，而WENO格式由于其良好的计算稳定性，已经成为一类极为重要的计算格式。众所周知，经典的WENOJS格式存在分辨率较低和计算量偏大两方面问题，因此计算数学工作者尝试对其改进，构造了诸如WENOZ、WENOM等很多改进格式。根据文献[11]的基本思想构造的简化限制器的5阶WENO格式是对原WENO格式的很好的补充和修正。
在时间离散方面，本文研究了LaxWendroff型时间离散格式，其具有较RungeKutta方法更为优秀的计算效率。本文将WENO格式与LaxWendroff型时间离散相结合，得到了一种时空同步离散的新数值方法——基于LaxWendroff型时间离散的WENO格式。本文研究可以说是对高精度数值方法研究方面的有益补充和探索。
1 WENO5格式
针对以上两种WENO格构造不同的时间离散格式，能够得到不同的数值方法。针对双曲守恒律方程给出了具体的格式构造过程，主要采用如下介绍的两种时间离散方法LaxWendroff时间离散和TVD RungeKutta时间离散。下面，我们将介绍这两种常用的时间离散方法。 2 时间离散格式
目前双曲守恒律方程最为常见的时间离散格式为TVD RungeKutta时间离散格式，也称为SSP（strong stability preserving）RungeKutta时间离散。当一阶向前Euler迭代下的空间离散格式为TVD时，所构造的全离散格式也TVD的。本文采用的RungeKutta时间离散格式为三阶RungeKutta格式（简记为RK3）[12-16]如下：
3 结果与分析
考虑线性对流方程和非线性方程两种类型的方程的数值求解[17-20]，利用LaxWendroff WENOJS格式、LaxWendroff简单限制器WENO格式、RungeKutta WENOJS格式、RungeKutta简单限制器的WENO格式四种格式进行数值模拟，研究数值方法的稳定性、收敛性和计算效率等特性，所采用多的通量分裂为LaxFredrichs通量分裂。
表4和表5分别给出LaxWendroff WENOJS格式、LaxWendroff简单限制器WENO格式、RungeKutta WENOJS格式、RungeKutta简单限制器的WENO格式计算结果。表4为四种格式的L1误差和精度表，而表5为四种格式的L1误差和精度表。
具有如下初值u（x，0）=0.5+sin（πx），计算到t=32π时刻，边界条件为周期条件，N=400个计算点。此时在1.2～1.3之间的位置产生了一强激波，图1和图2为其计算结果。
计算结果中简单限制器的WENO格式仅仅用到了2-3个计算点就可以识别激波，因此可以断定简单限制器的WENO格式的分辨率要高于WENOJS格式，而计算时间上，LaxWendroff时间离散具有一定的优势，WENO LW3和SWENO LW3两种格式的计算时间为最少。
4 结 论
针对线性和非线性标量守恒律方程进行了数值求解。研究了不同初值条件下的，LaxWendroff WENOJS格式、LaxWendroff简单限制器WENO格式、RungeKutta WENOJS格式、RungeKutta简单限制器的WENO格式的计算效率和计算精度。LaxWendroff简单限制器WENO格式不但形式简单且便于应用到CFD代码中。算例表明，LaxWendroff WENO格式的分辨率与RungeKutta型WENO格式较为接近，而LaxWendroff简单限制器WENO格式具有更好的激波及小尺度波分辨率，特别计算速度提高了WENO5的20%以上。本文从分析标量双曲守恒律方程解的性质入手，分析了双曲守恒律方程自身的特点和原有的WENOJS差分格式的优缺点后，提出一种简化限制器的WENO格式，新格式较原格式的分辨率有所提高。LaxWendroff时间离散格式由于其计算效率方面的优势，可以作为RungeKutta方法的一种时间离散改进格式。本文研究了四种不同的数值方法：LaxWendroff WENOJS格式、LaxWendroff简单限制器WENO格式、RungeKutta WENOJS格式、RungeKutta简单限制器的WENO格式计算了一维标量守恒型方程，并给出了数值实验的结果。数值试验表明这四种方法均出了高精度高分辨的特性，都具有更好的分辨激波捕捉的能力，在激波间断处不但保持了陡峭的的形状，而且没有出现伪物理振荡。我们发现，对于同样的问题，LaxWendroff简单限制器WENO方法能在更短的时间和更小的储存量。当然，从数值实验的结果来看，方法仍有改进的空间。未来需要关注的主要方面在于：在精度相同的情况下， LaxWendroff型的计算量要小于RungeKutta，因而更具有效率上的优势价值。然而，在推广到双曲守恒律方程组时，需要进行张量运算这给编程带来了一定的困难。下一步作者将试着将推广到高维守恒律方程方程组问题，现公式推到已经完成，正在进行数值实验，以得到较优结果。
参 考 文 献：
[1] 陆金甫. 偏微分方程数值解法[M]. 北京：清华大学出版社， 2004.
[2] 袁光伟，杭旭登，盛志强，等. 福射扩散计算方法若干研究进展[M]. 计算物理，2009，26（4）： 475-500.
[3] 欧阳颀. 非线性科学与斑图动力学导论[M]. 北京：北京大学出版社，2010.
[4] 刘儒勋，舒其望. 计算流体力學的若干新方法[M]. 北京：科学出版社，2003.
[5] WARMING R F. Flux Vector Splitting of the Inviscid GasDynamic Equation with Application of Finite Difference Method [J]. Journal of Computational， 1981，40： 263-293.
[6] GODONOV S K. A Difference Schemes for Numerical Computation of Discontinuous Solution of Hydrodynamics Equations [J]. Math. Sbornik， 1959，47： 271-306.
[7] ENGQUIST，OSHER S. Stable and Entropy Satisfying Approximation for Transonic Flow Calculation [J]. Mathematics of Computation， 1980，34： 45-75.
[8] COCKBURN B，LIN S Y，SHU C W. TVB RungeKutta Local Projection Discontinuous Galerkin Finite Element Method for Conservation Laws III： OneDimensional Systems [J]. J. Comput. Phys.，1989，84： 90-113. [9] COCKBURN B，HOU S， SHU C W. TVB RungeKutta Local Projection Discontinuous Galerkin Finite element method for conservation laws IV [J]. Math. Comput.，1990，54： 545-581.
[10]LIU H，XU H，GONG H. Modeling the Asymmetry in Traffic Flow （b）：Macroscopic Approach [J]. Appl. Math. Model，2013，37（22）： 9441-9450.
[11]ZHU J，QIU J X. A New Fifth Order Finite Difference WENO Scheme for Solving Hyperbolic Conservation Laws [J]. J. Comput. Phys.，2016，318： 110-121.
[12]LIU X， ZHANG S，ZHANG H，SHU C W. A New Class of Central Compact Schemes with Spectrallike Resolution II： Hybrid Weighted Nonlinear Schemes [J]. J. Comput. Phys.，2015，284： 133-154.
[13]PIROZZOLI S. Conservative Hybrid CompactWENO Schemes for ShockTurbulence Interaction [J]. J. Comput. Phys.，2002，178 （1）： 81-117.
[14]QIU J X， DUMBSER M， SHU C W. The Discontinuous Galerkin Method with LaxWendroff type Time Discretizations [J]. Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. 2005， 194： 4528-4543.
[15]LAX P D. Hyperbolic System of Conservation Laws II [J]. Comm. Pure and Applied Mathematics. 1957，10： 537-566.
[16]ZHANG X，SHU C W. On MaximumPrincipleSatisfying High Order Schemes for Scalar Conservation Laws [J]. J. Comput. Phys.，2010，229 （9）： 3091-3120.
[17]ZHANG X，SHU C W. MaximumPrincipleSatisfying and PositivityPreserving HighOrder Schemes for Conservation Laws： Survey and New Developments Proc. R. Soc. A [J]. Math. Phys. Eng. Sci.，2011，467（2）： 2752-2776.
[18]LIU Y J，SHU C W，TADMOR E，ZHANG M P. Central Discontinuous Galerkin Methods on Overlapping Cells with A NonOscillatory Hierarchical Reconstruction[J]. SIAM J. Numer. Anal.，2007， 45：2442-2467.
[19]姚慧麗，宋晓秋，李兴华. 一类半线性微分方程的渐进概自守温和解 [J].哈尔滨理工大学学报，2012，17（1）： 72-78.
[20]姚慧丽，卜宪江，宋晓秋. 一类微分方程的指数增长的温和渐进概自守解[J]. 哈尔滨理工大学学报，2014，19（5）：23-26.
（编辑：王 萍）
关键词：高精度；WENO；RungeKutta；LaxWendroff；时间离散
DOI：10.15938/j.jhust.2017.06.026
中图分类号： O175
文献标志码： A
文章编号： 1007-2683（2017）06-0134-06
Abstract：The research of high accuracy and high resolution schemes have been a hot topic in computational mathematics. According to low resolution and large amount of calculation of the original WENOJS scheme， we propose a simple new limiter fifth order upwind WENO scheme to reconstruct the numerical flux of the simple structure to improve the computational efficiency. Compared with other efficient high accuracy schemes such as ENO and WENO， it is shown that the computational cost of this scheme is less than that of WENOJS in the same accuracy. By use of MATLAB software， we compared and analyzed computational efficiencies and computational accuracies of LaxWendroff WENOJS scheme， LaxWendroff simple limiter WENO scheme， RungeKutta simple limiter WENO scheme and RungeKutta WENOJS scheme. The numerical results show that the new LaxWendroff simple limiter WENO scheme can improve the computing speed and reduce the computing time by 20% while maintaining the original WENO resolution.
Keywords：high accuracy； WENO； RungeKutta； LaxWendroff； time discretization
0 引 言
雙曲守恒律方程（组）为科学理论和工程应用研究中一类非常重要的偏微分方程（组）。空气动力学、爆炸力学、流体力学等许多力学问题的求解都与其密切相关。由于即使在初始条件充分光滑的条件下，双曲型守恒律方程的解仍可能出现间断。因此，为了能够更加高效地捕捉到间断，并且避免间断附近出现数值振荡，计算流体力学及计算数学等领域一直致力于研究稳定高效的数值计算方法[1-5]。
低阶精度的离散方法可能会对许多流动结构造成“失真”模拟，不能真实反映真实的流动现象。高精度格式具有较小的耗散误差和色散误差，能够更准确地模拟双曲守恒律方程的时空多尺度特性，在同样网格条件下比低阶格式能分辨出更加精细的流场、捕捉到其更细微的结构变化。然而，高阶精度格式也存在不足：求解在间断处可能出现Gibbs现象即产生伪物理振荡，从而导致非线性不稳定现象。因此，发展高分辨率、高精度离散格式是计算流体力学发展中的迫切需要，成为计算流体力学工作者的一大研究方向[6-10]。
TVD格式的出现，标志着计算流体力学步入了高精度计算格式阶段，大量高精度计算格式不断出现，而WENO格式由于其良好的计算稳定性，已经成为一类极为重要的计算格式。众所周知，经典的WENOJS格式存在分辨率较低和计算量偏大两方面问题，因此计算数学工作者尝试对其改进，构造了诸如WENOZ、WENOM等很多改进格式。根据文献[11]的基本思想构造的简化限制器的5阶WENO格式是对原WENO格式的很好的补充和修正。
在时间离散方面，本文研究了LaxWendroff型时间离散格式，其具有较RungeKutta方法更为优秀的计算效率。本文将WENO格式与LaxWendroff型时间离散相结合，得到了一种时空同步离散的新数值方法——基于LaxWendroff型时间离散的WENO格式。本文研究可以说是对高精度数值方法研究方面的有益补充和探索。
1 WENO5格式
针对以上两种WENO格构造不同的时间离散格式，能够得到不同的数值方法。针对双曲守恒律方程给出了具体的格式构造过程，主要采用如下介绍的两种时间离散方法LaxWendroff时间离散和TVD RungeKutta时间离散。下面，我们将介绍这两种常用的时间离散方法。 2 时间离散格式
目前双曲守恒律方程最为常见的时间离散格式为TVD RungeKutta时间离散格式，也称为SSP（strong stability preserving）RungeKutta时间离散。当一阶向前Euler迭代下的空间离散格式为TVD时，所构造的全离散格式也TVD的。本文采用的RungeKutta时间离散格式为三阶RungeKutta格式（简记为RK3）[12-16]如下：
3 结果与分析
考虑线性对流方程和非线性方程两种类型的方程的数值求解[17-20]，利用LaxWendroff WENOJS格式、LaxWendroff简单限制器WENO格式、RungeKutta WENOJS格式、RungeKutta简单限制器的WENO格式四种格式进行数值模拟，研究数值方法的稳定性、收敛性和计算效率等特性，所采用多的通量分裂为LaxFredrichs通量分裂。
表4和表5分别给出LaxWendroff WENOJS格式、LaxWendroff简单限制器WENO格式、RungeKutta WENOJS格式、RungeKutta简单限制器的WENO格式计算结果。表4为四种格式的L1误差和精度表，而表5为四种格式的L1误差和精度表。
具有如下初值u（x，0）=0.5+sin（πx），计算到t=32π时刻，边界条件为周期条件，N=400个计算点。此时在1.2～1.3之间的位置产生了一强激波，图1和图2为其计算结果。
计算结果中简单限制器的WENO格式仅仅用到了2-3个计算点就可以识别激波，因此可以断定简单限制器的WENO格式的分辨率要高于WENOJS格式，而计算时间上，LaxWendroff时间离散具有一定的优势，WENO LW3和SWENO LW3两种格式的计算时间为最少。
4 结 论
针对线性和非线性标量守恒律方程进行了数值求解。研究了不同初值条件下的，LaxWendroff WENOJS格式、LaxWendroff简单限制器WENO格式、RungeKutta WENOJS格式、RungeKutta简单限制器的WENO格式的计算效率和计算精度。LaxWendroff简单限制器WENO格式不但形式简单且便于应用到CFD代码中。算例表明，LaxWendroff WENO格式的分辨率与RungeKutta型WENO格式较为接近，而LaxWendroff简单限制器WENO格式具有更好的激波及小尺度波分辨率，特别计算速度提高了WENO5的20%以上。本文从分析标量双曲守恒律方程解的性质入手，分析了双曲守恒律方程自身的特点和原有的WENOJS差分格式的优缺点后，提出一种简化限制器的WENO格式，新格式较原格式的分辨率有所提高。LaxWendroff时间离散格式由于其计算效率方面的优势，可以作为RungeKutta方法的一种时间离散改进格式。本文研究了四种不同的数值方法：LaxWendroff WENOJS格式、LaxWendroff简单限制器WENO格式、RungeKutta WENOJS格式、RungeKutta简单限制器的WENO格式计算了一维标量守恒型方程，并给出了数值实验的结果。数值试验表明这四种方法均出了高精度高分辨的特性，都具有更好的分辨激波捕捉的能力，在激波间断处不但保持了陡峭的的形状，而且没有出现伪物理振荡。我们发现，对于同样的问题，LaxWendroff简单限制器WENO方法能在更短的时间和更小的储存量。当然，从数值实验的结果来看，方法仍有改进的空间。未来需要关注的主要方面在于：在精度相同的情况下， LaxWendroff型的计算量要小于RungeKutta，因而更具有效率上的优势价值。然而，在推广到双曲守恒律方程组时，需要进行张量运算这给编程带来了一定的困难。下一步作者将试着将推广到高维守恒律方程方程组问题，现公式推到已经完成，正在进行数值实验，以得到较优结果。
参 考 文 献：
[1] 陆金甫. 偏微分方程数值解法[M]. 北京：清华大学出版社， 2004.
[2] 袁光伟，杭旭登，盛志强，等. 福射扩散计算方法若干研究进展[M]. 计算物理，2009，26（4）： 475-500.
[3] 欧阳颀. 非线性科学与斑图动力学导论[M]. 北京：北京大学出版社，2010.
[4] 刘儒勋，舒其望. 计算流体力學的若干新方法[M]. 北京：科学出版社，2003.
[5] WARMING R F. Flux Vector Splitting of the Inviscid GasDynamic Equation with Application of Finite Difference Method [J]. Journal of Computational， 1981，40： 263-293.
[6] GODONOV S K. A Difference Schemes for Numerical Computation of Discontinuous Solution of Hydrodynamics Equations [J]. Math. Sbornik， 1959，47： 271-306.
[7] ENGQUIST，OSHER S. Stable and Entropy Satisfying Approximation for Transonic Flow Calculation [J]. Mathematics of Computation， 1980，34： 45-75.
[8] COCKBURN B，LIN S Y，SHU C W. TVB RungeKutta Local Projection Discontinuous Galerkin Finite Element Method for Conservation Laws III： OneDimensional Systems [J]. J. Comput. Phys.，1989，84： 90-113. [9] COCKBURN B，HOU S， SHU C W. TVB RungeKutta Local Projection Discontinuous Galerkin Finite element method for conservation laws IV [J]. Math. Comput.，1990，54： 545-581.
[10]LIU H，XU H，GONG H. Modeling the Asymmetry in Traffic Flow （b）：Macroscopic Approach [J]. Appl. Math. Model，2013，37（22）： 9441-9450.
[11]ZHU J，QIU J X. A New Fifth Order Finite Difference WENO Scheme for Solving Hyperbolic Conservation Laws [J]. J. Comput. Phys.，2016，318： 110-121.
[12]LIU X， ZHANG S，ZHANG H，SHU C W. A New Class of Central Compact Schemes with Spectrallike Resolution II： Hybrid Weighted Nonlinear Schemes [J]. J. Comput. Phys.，2015，284： 133-154.
[13]PIROZZOLI S. Conservative Hybrid CompactWENO Schemes for ShockTurbulence Interaction [J]. J. Comput. Phys.，2002，178 （1）： 81-117.
[14]QIU J X， DUMBSER M， SHU C W. The Discontinuous Galerkin Method with LaxWendroff type Time Discretizations [J]. Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. 2005， 194： 4528-4543.
[15]LAX P D. Hyperbolic System of Conservation Laws II [J]. Comm. Pure and Applied Mathematics. 1957，10： 537-566.
[16]ZHANG X，SHU C W. On MaximumPrincipleSatisfying High Order Schemes for Scalar Conservation Laws [J]. J. Comput. Phys.，2010，229 （9）： 3091-3120.
[17]ZHANG X，SHU C W. MaximumPrincipleSatisfying and PositivityPreserving HighOrder Schemes for Conservation Laws： Survey and New Developments Proc. R. Soc. A [J]. Math. Phys. Eng. Sci.，2011，467（2）： 2752-2776.
[18]LIU Y J，SHU C W，TADMOR E，ZHANG M P. Central Discontinuous Galerkin Methods on Overlapping Cells with A NonOscillatory Hierarchical Reconstruction[J]. SIAM J. Numer. Anal.，2007， 45：2442-2467.
[19]姚慧麗，宋晓秋，李兴华. 一类半线性微分方程的渐进概自守温和解 [J].哈尔滨理工大学学报，2012，17（1）： 72-78.
[20]姚慧丽，卜宪江，宋晓秋. 一类微分方程的指数增长的温和渐进概自守解[J]. 哈尔滨理工大学学报，2014，19（5）：23-26.
（编辑：王 萍）