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摘要： 时变工况下的行星齿轮箱振动信号具有明显的时变调制特点，常规的频谱分析方法难以识别齿轮故障特征频率。提出了基于VoldKalman滤波和能量分离的时频分析方法，识别行星齿轮箱的时变特征频率，诊断齿轮故障。与传统的时频分析方法相比，基于VoldKalman滤波和能量分离的时频表示具有良好的时频分辨率，而且没有交叉项干扰，能够有效提取非平稳信号中的时变频率成分。分析了行星齿轮箱时变工况下的实验信号，准确地诊断了齿轮故障，验证了该方法的有效性。
关键词： 故障诊断； 行星齿轮箱； 高阶能量分离； VoldKalman滤波； 时频分析
中图分类号： TH165+.3； TH132.425 文献标志码： A 文章编号：1004-4523（2015）05-0839-07
引 言
行星齿轮箱在风力发电机、直升机和车辆等装备中应用广泛，实际运行中，其工况经常发生变化，产生非平稳的振动响应。目前的研究主要集中在恒定工况方面[12]，而针对时变工况方面的研究并不多见，其中，Williams和Zalubas[3]考虑直升机传动系统振动信号的非平稳特点，应用WignerVille分布检测行星齿轮箱故障。Bartelmus和Zimroz[45]发现行星齿轮箱故障对载荷变化敏感，应用齿轮啮合振动幅值与工况之间的线性依赖关系监测时变工况下的行星齿轮箱运行状态。
行星齿轮箱故障诊断的关键是根据故障特征频率及其幅值的变化识别故障原因。行星齿轮箱啮合频率和齿轮故障特征频率与转速直接相关。工况（转速和负荷）的变化将引起转速波动，啮合频率和齿轮故障特征频率也会随之发生变化。因此，如何从非平稳信号中有效地识别齿轮故障特征频率及其时变特征，是时变工况下行星齿轮箱故障诊断的关键问题。
对于时变工况下的行星齿轮箱的非平稳振动信号，时频分析是一种有效的分析手段。但是，常见的时频分析方法各有优缺点[67]。例如：线性时频表示（如短时Fourier变换和小波变换）虽然不存在交叉项干扰问题，但是其时频分辨率受Heisenberg不确定性原理的限制，不能同时达到最佳；WignerVille分布虽然时频分辨率高，却存在固有的交叉项干扰问题，不适合分析复杂多分量信号；以WignerVille分布为基础的双线性时频分布（包括Cohen类分布和仿射类分布）通过各种核函数进行平滑处理，虽然抑制了交叉项干扰，但是会造成信号自项畸变，降低时频分辨率；HilbertHuang变换虽然对信号的时变具有自适应性，而且具有良好的局部时频聚集能力，但是对信号中的奇异点敏感，容易产生模式混淆，得到虚假的本质模式函数，影响分析结果。
行星齿轮箱振动信号具有明显的调制特点，在时变工况下，将表现出时变调制特征。非线性信号处理中的能量算子方法为分析这种时变调制信号提供了有效的途径。能量算子通过信号的瞬时幅值及其微分的非线性组合估计信号的“能量”，在其基础上提出的能量分离算法可以计算任意调制信号的幅值包络和瞬时频率[812]。能量算子和能量分离在信号及其导数的基础上进行计算，算法简单、时间分辨率高，对信号的瞬态变化具有良好的适应性。但是，该方法仅适用于单分量信号。对于成分复杂的行星齿轮箱振动信号，需要将其分解为单分量再进行分析。
近年来提出的VoldKalman滤波方法[1315]在最小化结构和数据方程误差的基础上，可以有效分解复杂多分量信号的频率成分，为解决频率交错重叠的行星齿轮箱振动信号单分量分解问题提供了一种有效手段。
针对时变工况下行星齿轮箱故障诊断面临的复杂非平稳振动信号分析问题，考虑VoldKalman滤波方法在单分量分解以及能量分离方法在瞬时频率计算方面的独特优势，提出了基于二者的时频分析方法。
（12）2 高阶能量分离算法
能量算子和能量分离方法完全由信号数据驱动，无需构造任何基函数，能够适应信号的瞬时变化，时间分辨率高，适合检测信号幅值和频率的非平稳变化特征，结合时频分析方法，能够分析处理任意时变调制信号。高阶能量算子不仅具有普通二阶能量算子的各种优点，而且对噪声干扰的鲁棒性更好[11，12]，因此本文应用高阶能量算子进行能量分离，计算信号的幅值包络和瞬时频率。
（22）3 分析过程
（1） 应用短时Fourier变换等常规时频分析方法对信号进行初步时频分析，判断感兴趣的信号成分。根据时频脊线估计感兴趣信号成分的瞬时频率。
（2） 根据已获得的瞬时频率曲线，构造其载波信号，从而获得感兴趣信号成分的载波矩阵。
（3） 根据感兴趣信号成分的载波矩阵，应用VoldKalman滤波将感兴趣的信号成分分解为单分量，满足能量分离方法的要求。
（4） 应用高阶能量分离方法计算各单分量信号成分xi（t）的四阶“能量”Ei（t）和瞬时频率fi（t）。
（5） 根据各单分量信号成分的四阶“能量”和瞬时频率，构造信号的高阶时频“能量”分布TFD（t，f）=∑iEi（t）δ[f-fi（t）]
（23）式中 Ei（t）为第i个单分量在t时刻的四阶“能量”，fi（t）为第i个单分量在t时刻的瞬时频率，δ（·）为Dirac函数。
4 实验信号分析〖*2〗4.1 实验说明 本实验在Ottawa大学机器监控实验室完成。图1为该实验室的风电机组行星齿轮传动实验台，其中行星齿轮箱和定轴齿轮箱均为两级结构，齿轮参数分别见表2和3所示。该实验台的具体传动路线为：电机→定轴齿轮箱→第1级行星齿轮箱→第2级行星齿轮箱。为了模拟行星齿轮箱的齿轮故障，在第1级太阳轮的某个轮齿上加工了剥落损伤，如图2所示。在行星齿轮箱箱体顶部安装了加速度传感器，采集行星齿轮箱的振动信号。在自然停机过程中采集了振动信号，采样频率为20 kHz，行星齿轮箱第2级输出轴承受的负荷为16.284 N·m。为了计算的可行性，仅取60至40 Hz降速过程内的振动信号进行分析。 4.2.1 正常信号
图3为正常行星齿轮箱降速过程中驱动电机的转速变化曲线。在降速过程中，驱动电机的最高转速为60 Hz，相应地，第1级行星齿轮箱的最高啮合频率为222.222 Hz。由于高阶倍频处特征频率的变化规律与基频处相同，不失一般性，以下分析的频率范围为0～400 Hz，覆盖第1级行星齿轮箱最高啮合频率的3/2倍，振动信号中包含该齿轮箱的健康状态信息。
图4（a）为正常信号的短时Fourier变换谱图。从图中可以看出信号成分主要包括啮合频率fm、啮合频率与太阳轮故障特征频率之差fm-fs、以及啮合频率、太阳轮故障特征频率的2倍频和太阳轮旋转频率的组合fm±2fs-fsr，但是时频分辨率较低。
应用VoldKalman滤波分离上述4个主要信号分量，然后应用高阶能量分离算法计算各分量的4阶能量和瞬时频率，最后应用各分量的瞬时频率和4阶能量构造高阶时频能量分布，结果如图4（b）所示。该方法得到的时频分布的分辨率高，而且没有交叉项干扰。可以清晰地识别出啮合频率fm、啮合频率与太阳轮故障特征频率之差fm-fs、以及啮合频率、太阳轮故障特征频率的2倍频和太阳轮旋转频率的组合fm±2fs-fsr，但它们的幅值均较小。齿轮制造和安装误差以及微小的损伤在所难免，导致振动信号中出现上述频率成分，这些现象符合正常信号的理论预期结果。
4.2.2 太阳轮故障信号
图5为太阳轮故障状态下驱动电机的转速变化曲线。在降速过程中，驱动电机的最高转速仍为60 Hz，因此，以下分析频率范围仍为0～400 Hz。
从图中可以看出信号成分主要包括啮合频率fm、啮合频率与太阳轮故障特征频率及其倍频的组合fm±nfs、以及啮合频率、太阳轮故障特征频率及其倍频和太阳轮旋转频率及其倍频的组合fm±nfs-nfsr等7个频率成分，但是时频分辨率较低。
应用VoldKalman滤波和高阶能量分离方法构造的高阶时频能量分布如图6（b）所示。啮合频率fm、啮合频率与太阳轮故障特征频率之差fm-fs、以及啮合频率、太阳轮故障特征频率的2倍频和太阳轮旋转频率的组合fm±2fs-fsr依然存在，但在1～2 s阶段，啮合频率与太阳轮故障特征频率之差fm-fs的能量明显增强。此外，还出现了啮合频率与太阳轮故障特征频率及其3倍频之和fm+fs， fm+3fs以及啮合频率、太阳轮故障特征频率和太阳轮旋转频率2倍频的组合fm+fs-2fsr等3个频率成分。与正常信号相比，该信号的高阶时频能量分布中出现了更多的频率成分，且这些频率均和太阳轮故障直接相关，说明太阳轮出现了故障，符合实验中的实际情况。
5 结 论
风力发电机组、直升机和车辆等装备中的行星齿轮箱的运行工况经常变化，振动信号具有非平稳性。针对时变工况下行星齿轮箱振动信号的时变调制特点，发挥VoldKalman滤波单分量分解和高阶能量分离时间分辨率高的优势，提出了一种具有良好的时频聚集能力、无交叉项干扰的时频分析方法。应用该方法分析了行星齿轮箱时变工况下的实验信号，准确识别信号中的时变频率成分，正确诊断了齿轮故障，验证了该方法的有效性。
参考文献：
[1] 雷亚国，何正嘉，林京，等.行星齿轮箱故障诊断技术的研究进展[J].机械工程学报，2011，47（19）：59—67.
Lei Yaguo，He Zhengjia，Lin Jing，et al.Research advances of fault diagnosis technique for planetary gearboxes[J].Journal of Mechanical Engineering，2011，47（19）：59—67.
[2] Lei Yaguo，Lin Jing，Zuo M J，et al.Condition monitoring and fault diagnosis of planetary gearboxes： a review[J].Measurement，2014，48：292—305.
[3] Williams W J，Zalubas E J.Helicopter transmission fault detection via timefrequency， scale and spectral methods[J].Mechanical Systems and Signal Processing，2000，14（4）：545—559.
[4] Bartelmus W，Zimroz R.Vibration condition monitoring of planetary gearbox under varying external load[J].Mechanical Systems and Signal Processing，2009，23：246—257.
[5] Bartelmus W，Zimroz R.A new feature for monitoring the condition of gearboxes in nonstationary operation conditions[J].Mechanical Systems and Signal Processing， 2009，23：1 528—1 534.
[6] 冯志鹏，范寅夕，Liang Ming，等.行星齿轮箱故障诊断的非平稳振动信号分析方法[J].中国电机工程学报，2013，33（17）：105—110.
Feng Zhipeng，Fan Yinxi，Liang Ming，et al.A nonstationary vibration signal analysis method for fault diagnosis of planetary gearboxes[J].Proceedings of the CSEE，2013，33（17）：105—110. [7] Feng Zhipeng， Liang Ming， Chu Fulei.Recent advances in timefrequency analysis methods for machinery fault diagnosis： A review with application examples[J].Mechanical Systems and Signal Processing，2013， 38：165—205.
[8] Kaiser J F.On a simple algorithm to calculate the ‘energy’ of a signal[A].Proceedings of IEEE International Conference on Acoustics，Speech and Signal Processing[C].Albuquerque， USA.1990，1：381—384.
[9] Maragos P，Kaiser J F，Quatieri T F.Energy separation in signal modulations with application to speech analysis [J].IEEE Transactions on Signal Processing，1993，41（10）：3 024—3 051.
[10] Maragos P，Potamianos A.Higher order differential energy operators[J].IEEE Signal Processing，1995，2（8）：152—154.
[11] Diop E H S，Boudraa A O，Salzenstein F.A joint 2D AMFM estimation based on higher order TeagerKaiser energy operators[J].Signal Image and Video Processing，2011，5：61—68.
[12] Salzenstein F，Boudraa A O，Chonavel T.A new class of multidimensional TeagerKaiser and higher order operators based on directional derivatives[J].Multidimensional Systems and Signal Processing，2013，24（3）：543—572.
[13] Vold H，Herlufsen H.Order tracking at extreme slew rates，using Kalman tracking filters[J].SAE Paper Number 931288，1993.
[14] Vold H，Mains M，Blough J.Theoretical foundations for high performance order tracking with the VoldKalman tracking filter[J].SAE Paper Number 972007，1997.
[15] Vold H，Herlufsen H，Mains M.Multi axle order tracking with the VoldKalman tracking filter[J].Journal of Sound and Vibration，1997，13（5）：30—34.
[16] Feldbauer Ch，Holdrich R.Realization of a VoldKalman tracking filter—A least squares problem[A].Proceedings of the COST G6 Conference on Digital Audio Effects（DAFX000）[C].Verona Italy，December 79，2000：1—4.
[17] Tuma J.Setting the pass bandwidth in the VoldKalman order tracking filter[A].Twelfth International Congress on Sound and Vibration[C].Lisbon.2005，Paper 719.
Abstract： The vibration signals of planetary gearboxes under nonstationary running conditions have significant timevarying modulation feature. Conventional spectral analysis methods are unable to identify the gear fault characteristic frequencies from such nonstationary signals. A method based on VoldKalman filter and higher order energy separation is proposed to analyze the vibration signals of planetary gearboxes under nonstationary conditions in timefrequency domain， thus to identify the timevarying characteristic frequencies and diagnose the gear faults. The timefrequency representation derived from VoldKalman filter and higher order energy separation provides nice timefrequency resolution and is free from cross term interference， and thus it can effectively pinpoint the timevarying constituent frequency components of nonstationary signals. The proposed method is validated with analysis of lab experimental signals of a planetary gearbox under timevarying running conditions.
Key words： fault diagnosis； planetary gearbox； higher order energy separation； VoldKalman filter； timefrequency analysis
作者简介： 秦嗣峰（1989—），男，硕士研究生。电话：18866226821；Email：qsf0312@163.com
通讯作者： 冯志鹏（1973—），男，博士，教授，博士生导师。电话：13520978607；Email：fengzp@ustb.edu.cn
关键词： 故障诊断； 行星齿轮箱； 高阶能量分离； VoldKalman滤波； 时频分析
中图分类号： TH165+.3； TH132.425 文献标志码： A 文章编号：1004-4523（2015）05-0839-07
引 言
行星齿轮箱在风力发电机、直升机和车辆等装备中应用广泛，实际运行中，其工况经常发生变化，产生非平稳的振动响应。目前的研究主要集中在恒定工况方面[12]，而针对时变工况方面的研究并不多见，其中，Williams和Zalubas[3]考虑直升机传动系统振动信号的非平稳特点，应用WignerVille分布检测行星齿轮箱故障。Bartelmus和Zimroz[45]发现行星齿轮箱故障对载荷变化敏感，应用齿轮啮合振动幅值与工况之间的线性依赖关系监测时变工况下的行星齿轮箱运行状态。
行星齿轮箱故障诊断的关键是根据故障特征频率及其幅值的变化识别故障原因。行星齿轮箱啮合频率和齿轮故障特征频率与转速直接相关。工况（转速和负荷）的变化将引起转速波动，啮合频率和齿轮故障特征频率也会随之发生变化。因此，如何从非平稳信号中有效地识别齿轮故障特征频率及其时变特征，是时变工况下行星齿轮箱故障诊断的关键问题。
对于时变工况下的行星齿轮箱的非平稳振动信号，时频分析是一种有效的分析手段。但是，常见的时频分析方法各有优缺点[67]。例如：线性时频表示（如短时Fourier变换和小波变换）虽然不存在交叉项干扰问题，但是其时频分辨率受Heisenberg不确定性原理的限制，不能同时达到最佳；WignerVille分布虽然时频分辨率高，却存在固有的交叉项干扰问题，不适合分析复杂多分量信号；以WignerVille分布为基础的双线性时频分布（包括Cohen类分布和仿射类分布）通过各种核函数进行平滑处理，虽然抑制了交叉项干扰，但是会造成信号自项畸变，降低时频分辨率；HilbertHuang变换虽然对信号的时变具有自适应性，而且具有良好的局部时频聚集能力，但是对信号中的奇异点敏感，容易产生模式混淆，得到虚假的本质模式函数，影响分析结果。
行星齿轮箱振动信号具有明显的调制特点，在时变工况下，将表现出时变调制特征。非线性信号处理中的能量算子方法为分析这种时变调制信号提供了有效的途径。能量算子通过信号的瞬时幅值及其微分的非线性组合估计信号的“能量”，在其基础上提出的能量分离算法可以计算任意调制信号的幅值包络和瞬时频率[812]。能量算子和能量分离在信号及其导数的基础上进行计算，算法简单、时间分辨率高，对信号的瞬态变化具有良好的适应性。但是，该方法仅适用于单分量信号。对于成分复杂的行星齿轮箱振动信号，需要将其分解为单分量再进行分析。
近年来提出的VoldKalman滤波方法[1315]在最小化结构和数据方程误差的基础上，可以有效分解复杂多分量信号的频率成分，为解决频率交错重叠的行星齿轮箱振动信号单分量分解问题提供了一种有效手段。
针对时变工况下行星齿轮箱故障诊断面临的复杂非平稳振动信号分析问题，考虑VoldKalman滤波方法在单分量分解以及能量分离方法在瞬时频率计算方面的独特优势，提出了基于二者的时频分析方法。
（12）2 高阶能量分离算法
能量算子和能量分离方法完全由信号数据驱动，无需构造任何基函数，能够适应信号的瞬时变化，时间分辨率高，适合检测信号幅值和频率的非平稳变化特征，结合时频分析方法，能够分析处理任意时变调制信号。高阶能量算子不仅具有普通二阶能量算子的各种优点，而且对噪声干扰的鲁棒性更好[11，12]，因此本文应用高阶能量算子进行能量分离，计算信号的幅值包络和瞬时频率。
（22）3 分析过程
（1） 应用短时Fourier变换等常规时频分析方法对信号进行初步时频分析，判断感兴趣的信号成分。根据时频脊线估计感兴趣信号成分的瞬时频率。
（2） 根据已获得的瞬时频率曲线，构造其载波信号，从而获得感兴趣信号成分的载波矩阵。
（3） 根据感兴趣信号成分的载波矩阵，应用VoldKalman滤波将感兴趣的信号成分分解为单分量，满足能量分离方法的要求。
（4） 应用高阶能量分离方法计算各单分量信号成分xi（t）的四阶“能量”Ei（t）和瞬时频率fi（t）。
（5） 根据各单分量信号成分的四阶“能量”和瞬时频率，构造信号的高阶时频“能量”分布TFD（t，f）=∑iEi（t）δ[f-fi（t）]
（23）式中 Ei（t）为第i个单分量在t时刻的四阶“能量”，fi（t）为第i个单分量在t时刻的瞬时频率，δ（·）为Dirac函数。
4 实验信号分析〖*2〗4.1 实验说明 本实验在Ottawa大学机器监控实验室完成。图1为该实验室的风电机组行星齿轮传动实验台，其中行星齿轮箱和定轴齿轮箱均为两级结构，齿轮参数分别见表2和3所示。该实验台的具体传动路线为：电机→定轴齿轮箱→第1级行星齿轮箱→第2级行星齿轮箱。为了模拟行星齿轮箱的齿轮故障，在第1级太阳轮的某个轮齿上加工了剥落损伤，如图2所示。在行星齿轮箱箱体顶部安装了加速度传感器，采集行星齿轮箱的振动信号。在自然停机过程中采集了振动信号，采样频率为20 kHz，行星齿轮箱第2级输出轴承受的负荷为16.284 N·m。为了计算的可行性，仅取60至40 Hz降速过程内的振动信号进行分析。 4.2.1 正常信号
图3为正常行星齿轮箱降速过程中驱动电机的转速变化曲线。在降速过程中，驱动电机的最高转速为60 Hz，相应地，第1级行星齿轮箱的最高啮合频率为222.222 Hz。由于高阶倍频处特征频率的变化规律与基频处相同，不失一般性，以下分析的频率范围为0～400 Hz，覆盖第1级行星齿轮箱最高啮合频率的3/2倍，振动信号中包含该齿轮箱的健康状态信息。
图4（a）为正常信号的短时Fourier变换谱图。从图中可以看出信号成分主要包括啮合频率fm、啮合频率与太阳轮故障特征频率之差fm-fs、以及啮合频率、太阳轮故障特征频率的2倍频和太阳轮旋转频率的组合fm±2fs-fsr，但是时频分辨率较低。
应用VoldKalman滤波分离上述4个主要信号分量，然后应用高阶能量分离算法计算各分量的4阶能量和瞬时频率，最后应用各分量的瞬时频率和4阶能量构造高阶时频能量分布，结果如图4（b）所示。该方法得到的时频分布的分辨率高，而且没有交叉项干扰。可以清晰地识别出啮合频率fm、啮合频率与太阳轮故障特征频率之差fm-fs、以及啮合频率、太阳轮故障特征频率的2倍频和太阳轮旋转频率的组合fm±2fs-fsr，但它们的幅值均较小。齿轮制造和安装误差以及微小的损伤在所难免，导致振动信号中出现上述频率成分，这些现象符合正常信号的理论预期结果。
4.2.2 太阳轮故障信号
图5为太阳轮故障状态下驱动电机的转速变化曲线。在降速过程中，驱动电机的最高转速仍为60 Hz，因此，以下分析频率范围仍为0～400 Hz。
从图中可以看出信号成分主要包括啮合频率fm、啮合频率与太阳轮故障特征频率及其倍频的组合fm±nfs、以及啮合频率、太阳轮故障特征频率及其倍频和太阳轮旋转频率及其倍频的组合fm±nfs-nfsr等7个频率成分，但是时频分辨率较低。
应用VoldKalman滤波和高阶能量分离方法构造的高阶时频能量分布如图6（b）所示。啮合频率fm、啮合频率与太阳轮故障特征频率之差fm-fs、以及啮合频率、太阳轮故障特征频率的2倍频和太阳轮旋转频率的组合fm±2fs-fsr依然存在，但在1～2 s阶段，啮合频率与太阳轮故障特征频率之差fm-fs的能量明显增强。此外，还出现了啮合频率与太阳轮故障特征频率及其3倍频之和fm+fs， fm+3fs以及啮合频率、太阳轮故障特征频率和太阳轮旋转频率2倍频的组合fm+fs-2fsr等3个频率成分。与正常信号相比，该信号的高阶时频能量分布中出现了更多的频率成分，且这些频率均和太阳轮故障直接相关，说明太阳轮出现了故障，符合实验中的实际情况。
5 结 论
风力发电机组、直升机和车辆等装备中的行星齿轮箱的运行工况经常变化，振动信号具有非平稳性。针对时变工况下行星齿轮箱振动信号的时变调制特点，发挥VoldKalman滤波单分量分解和高阶能量分离时间分辨率高的优势，提出了一种具有良好的时频聚集能力、无交叉项干扰的时频分析方法。应用该方法分析了行星齿轮箱时变工况下的实验信号，准确识别信号中的时变频率成分，正确诊断了齿轮故障，验证了该方法的有效性。
参考文献：
[1] 雷亚国，何正嘉，林京，等.行星齿轮箱故障诊断技术的研究进展[J].机械工程学报，2011，47（19）：59—67.
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[2] Lei Yaguo，Lin Jing，Zuo M J，et al.Condition monitoring and fault diagnosis of planetary gearboxes： a review[J].Measurement，2014，48：292—305.
[3] Williams W J，Zalubas E J.Helicopter transmission fault detection via timefrequency， scale and spectral methods[J].Mechanical Systems and Signal Processing，2000，14（4）：545—559.
[4] Bartelmus W，Zimroz R.Vibration condition monitoring of planetary gearbox under varying external load[J].Mechanical Systems and Signal Processing，2009，23：246—257.
[5] Bartelmus W，Zimroz R.A new feature for monitoring the condition of gearboxes in nonstationary operation conditions[J].Mechanical Systems and Signal Processing， 2009，23：1 528—1 534.
[6] 冯志鹏，范寅夕，Liang Ming，等.行星齿轮箱故障诊断的非平稳振动信号分析方法[J].中国电机工程学报，2013，33（17）：105—110.
Feng Zhipeng，Fan Yinxi，Liang Ming，et al.A nonstationary vibration signal analysis method for fault diagnosis of planetary gearboxes[J].Proceedings of the CSEE，2013，33（17）：105—110. [7] Feng Zhipeng， Liang Ming， Chu Fulei.Recent advances in timefrequency analysis methods for machinery fault diagnosis： A review with application examples[J].Mechanical Systems and Signal Processing，2013， 38：165—205.
[8] Kaiser J F.On a simple algorithm to calculate the ‘energy’ of a signal[A].Proceedings of IEEE International Conference on Acoustics，Speech and Signal Processing[C].Albuquerque， USA.1990，1：381—384.
[9] Maragos P，Kaiser J F，Quatieri T F.Energy separation in signal modulations with application to speech analysis [J].IEEE Transactions on Signal Processing，1993，41（10）：3 024—3 051.
[10] Maragos P，Potamianos A.Higher order differential energy operators[J].IEEE Signal Processing，1995，2（8）：152—154.
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[12] Salzenstein F，Boudraa A O，Chonavel T.A new class of multidimensional TeagerKaiser and higher order operators based on directional derivatives[J].Multidimensional Systems and Signal Processing，2013，24（3）：543—572.
[13] Vold H，Herlufsen H.Order tracking at extreme slew rates，using Kalman tracking filters[J].SAE Paper Number 931288，1993.
[14] Vold H，Mains M，Blough J.Theoretical foundations for high performance order tracking with the VoldKalman tracking filter[J].SAE Paper Number 972007，1997.
[15] Vold H，Herlufsen H，Mains M.Multi axle order tracking with the VoldKalman tracking filter[J].Journal of Sound and Vibration，1997，13（5）：30—34.
[16] Feldbauer Ch，Holdrich R.Realization of a VoldKalman tracking filter—A least squares problem[A].Proceedings of the COST G6 Conference on Digital Audio Effects（DAFX000）[C].Verona Italy，December 79，2000：1—4.
[17] Tuma J.Setting the pass bandwidth in the VoldKalman order tracking filter[A].Twelfth International Congress on Sound and Vibration[C].Lisbon.2005，Paper 719.
Abstract： The vibration signals of planetary gearboxes under nonstationary running conditions have significant timevarying modulation feature. Conventional spectral analysis methods are unable to identify the gear fault characteristic frequencies from such nonstationary signals. A method based on VoldKalman filter and higher order energy separation is proposed to analyze the vibration signals of planetary gearboxes under nonstationary conditions in timefrequency domain， thus to identify the timevarying characteristic frequencies and diagnose the gear faults. The timefrequency representation derived from VoldKalman filter and higher order energy separation provides nice timefrequency resolution and is free from cross term interference， and thus it can effectively pinpoint the timevarying constituent frequency components of nonstationary signals. The proposed method is validated with analysis of lab experimental signals of a planetary gearbox under timevarying running conditions.
Key words： fault diagnosis； planetary gearbox； higher order energy separation； VoldKalman filter； timefrequency analysis
作者简介： 秦嗣峰（1989—），男，硕士研究生。电话：18866226821；Email：qsf0312@163.com
通讯作者： 冯志鹏（1973—），男，博士，教授，博士生导师。电话：13520978607；Email：fengzp@ustb.edu.cn