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[摘要]数学概念是数学知识的重要组成部分.概念课的教学要从概念的引入、抽象、辨析和延伸几个方面进行，这样才能让学生对概念形成完整的认识.
[关键词]数学概念；教学；思考
[中图分类号]G633.6[文献标识码]A[文章编号]16746058（2018）05001402
数学本身就是抽象的科学，数学概念就是抽象的结果.高中数学知识点多，数学概念多.要学习数学，会学数学，学好数学，首先应该从学习概念入手.
概念课比较重要，但是教师要把握好一节概念课并不容易.原因是有的数学概念太抽象.教师认为比较简单的概念，学生却比较难理解.下面我以高一《平面向量的数量积的物理背景及其含义》为例，谈谈对高中概念课教学的一点思考.
教材中向量的数量积的知识共有4部分内容：定义、性质、运算律和应用.总共是安排2个课时完成.我是将向量数量积的定义、性质、运算律的教学都集中在同一课时里，目的是通过这样一节课，让学生对数量积知识的产生与发展能有一个较完整的认识.
一、创设情境，引导学生参与概念的形成过程
对于学生而言，平面向量的数量积是一个全新的知识.知识本身比较抽象，学生常常用死记硬背的方法来学习.如果学生对知识没能理解透彻，学习的效果不佳，还会产生畏学的情绪.
我通过还原知识产生的背景来引入概念，拉近学生与概念之间的距离，以此来消除学生对知识的恐惧.我选择了一幅物理中力做功的图形作为这节课的开场.一个向右上方的力F，与水平面的夹角为θ，其在向右方向上产生了位移，那么力F在位移s方向上的功是多少？借助电脑动画演示，将力分解成向上和向右的分力，向右的分力在力的方向上做功，得到W=Fscosθ.提出问题：F是什么量？s是什么量，W又是什么量？目的是为了强调F、s是矢量，但矢量乘积的结果却是标量的事实.这就是向量的数量积产生的实际背景.但又不能仅停留在例题本身，于是我接着将W=Fscosθ中的F，s换成向量a，b，向量的夹角为θ，抽象出向量数量积的概念.在概念的引入过程中，学生不仅感受到知识产生的背景，还能体会概念抽象的过程，使新概念在原有知识基础上自然得到同化和顺应.
二、让概念的学习进一步精确
数学概念是人脑对现实对象的数量关系和空间形式的本质特征的一种反映形式，即一种数学的思维形式.对于概念的学习，我们往往要咬文嚼字才能更精确
地理解概念的内在含义.数量积的概念看似简单，两个非零向量a，b，我们把|a||b|cosθ叫作
a
与b的数量积（或内积），记作a·b .实则不然，从表象结构看，有两点要提醒学生注意：1.数量积的结果是数量；2.中间的点不能省略也不能改成“×”（乘号）（这里体现了数学符号的特定含义）.在教学过程中，我让学生口述，并用电脑演示出作图的过程，用不同颜色的线条加以区分，使他们先形成感性认识，进一步追问：“投影是向量还是数量？投影一定是正数吗？”促使他们进一步从理性的角度去分析各种各样的情形，从一般再到特殊，最后将可能出现的结果在电脑屏幕上用框图的形式分类归纳出来，使学生逐渐形成对投影的完整认识.
由学生口述投影的做法，是让学生根据投影的定义作图，考查其对投影定义的理解.这节课重点是向量的数量积，它是一个既有方向又有大小的量参与的一种运算，是学生新学习的一个知识，所以要不断强化向量及数量积的特征.在学生明确特征之后，他们才会从向量的特征——大小和方向入手去思考问题.
经历了从外在结构认识定义，到感性作图，理性思考，归纳出内在特征的过程，学生才能对数量积的概念有一个比较全面的认识.
三、进行概念的辨析，让学生加深印象
在概念教学中，可以将满足概念的条件特殊化，设计出相应问题让学生思考.例如，如果将两个特殊的向量进行数量积运算，那么有怎样的结果？
最容易想到的特殊向量是零向量.由于零向量方向是任意的，所以要随后补充规定：0·a=0.
如果两个非零向量进行运算，是否也有特殊的结论？对非零的情况展开讨论.因为向量是具有大小和方向的量，所以在考虑特殊关系时自然是沿着两个向量的大小和位置关系进一步探究：1.模相等的情形；2.从方向上考虑，共线同向与共线反向的情形；3.模和方向都相同的情形.
得到非零向量的特殊结论：a⊥b
a·b
=0.当a与
b同向时，a·b
=|a||b|；当a与b反向时，a·b=-|a|·
|b|.特别的，a·a=a2=
|a|2
或|a|=
a·a=a2
.
这样设计问题，一方面让学生能够熟练应用概念；
另一方面所得到的结论可以更好地为解题服务.
为了让学生能更好地巩固知识，可以再用一些特殊的例子进行辨识.
例如，以下结论成立吗？
（1）0·a=0；
（2）0·a=0；
（3）（a·b）2=a2·b2；
（4）a与b是两个单位向量，则a2=b2；
（5）若a≠0，且a·b=0，则b=0；
（6）若a·b=b·c，则a=c；
（7）若a⊥（b-c），则a·b=a· c；（8）a·a·a=a3.
四、向外延伸概念，建立与其他知识之间的联系
与数量的乘法运算律类比、猜想、论证向量数量积的运算律.这里面包括乘法交换律、乘法结合律和乘法分配律.
以乘法结合律为例，刚开始所有的学生都将乘法结合律的结论类比成
（a·b）·c=a·（b·c）
.但很快通过数量积的结果是数量，就能判断出结论错误.进一步调整思路，将其中的一个向量换成数量的结合律，即
（λa）·b=λ（a·b）=
a·（λb）
能否成立.
（λa）·b=λ（a·b）=a·（λb）
的證明是这节课的难点之一.证明的时候要考虑到λ的符号，要对λ进行分类讨论.但是λ的分类也不能一开始就分，学生会提出疑问：你为什么会知道要分类，你按什么标准分类的？因此在这个环节中，可以跟着学生的思路先将第一个等号的两边分别按照数量积的定义展开，直到
（λa）·b
=|λa||b|
cosθ1=
|λ||a|
|b|cosθ1，
λ（a·b）
=λ|a||b|
cosθ2这一步，化简不了，才回头考虑其中的θ1、θ2两个夹角一样吗，两个夹角的含义分别是什么，它们有什么关系，这样才发现导致它们相等或者互补的量是λ，这时才对λ进一步分类.逐步完善对运算律的证明.
类比法是学生比较喜欢的一种方法，这种思想方法比较容易上手，有目标有方向，容易发现知识之间的异同，而且使人印象深刻，易将所学概念纳入已有的认知结构中，形成具有联系的概念体系.
我认为数学知识的发生、发展过程与一个概念的发生、发展过程有着许多相似之处.一节概念课的学习可以给学生做出示范，学习如何接受一个新知识，如何将新知识与其他知识产生关联，从而组成一个知识的网络.
（责任编辑黄桂坚）
[关键词]数学概念；教学；思考
[中图分类号]G633.6[文献标识码]A[文章编号]16746058（2018）05001402
数学本身就是抽象的科学，数学概念就是抽象的结果.高中数学知识点多，数学概念多.要学习数学，会学数学，学好数学，首先应该从学习概念入手.
概念课比较重要，但是教师要把握好一节概念课并不容易.原因是有的数学概念太抽象.教师认为比较简单的概念，学生却比较难理解.下面我以高一《平面向量的数量积的物理背景及其含义》为例，谈谈对高中概念课教学的一点思考.
教材中向量的数量积的知识共有4部分内容：定义、性质、运算律和应用.总共是安排2个课时完成.我是将向量数量积的定义、性质、运算律的教学都集中在同一课时里，目的是通过这样一节课，让学生对数量积知识的产生与发展能有一个较完整的认识.
一、创设情境，引导学生参与概念的形成过程
对于学生而言，平面向量的数量积是一个全新的知识.知识本身比较抽象，学生常常用死记硬背的方法来学习.如果学生对知识没能理解透彻，学习的效果不佳，还会产生畏学的情绪.
我通过还原知识产生的背景来引入概念，拉近学生与概念之间的距离，以此来消除学生对知识的恐惧.我选择了一幅物理中力做功的图形作为这节课的开场.一个向右上方的力F，与水平面的夹角为θ，其在向右方向上产生了位移，那么力F在位移s方向上的功是多少？借助电脑动画演示，将力分解成向上和向右的分力，向右的分力在力的方向上做功，得到W=Fscosθ.提出问题：F是什么量？s是什么量，W又是什么量？目的是为了强调F、s是矢量，但矢量乘积的结果却是标量的事实.这就是向量的数量积产生的实际背景.但又不能仅停留在例题本身，于是我接着将W=Fscosθ中的F，s换成向量a，b，向量的夹角为θ，抽象出向量数量积的概念.在概念的引入过程中，学生不仅感受到知识产生的背景，还能体会概念抽象的过程，使新概念在原有知识基础上自然得到同化和顺应.
二、让概念的学习进一步精确
数学概念是人脑对现实对象的数量关系和空间形式的本质特征的一种反映形式，即一种数学的思维形式.对于概念的学习，我们往往要咬文嚼字才能更精确
地理解概念的内在含义.数量积的概念看似简单，两个非零向量a，b，我们把|a||b|cosθ叫作
a
与b的数量积（或内积），记作a·b .实则不然，从表象结构看，有两点要提醒学生注意：1.数量积的结果是数量；2.中间的点不能省略也不能改成“×”（乘号）（这里体现了数学符号的特定含义）.在教学过程中，我让学生口述，并用电脑演示出作图的过程，用不同颜色的线条加以区分，使他们先形成感性认识，进一步追问：“投影是向量还是数量？投影一定是正数吗？”促使他们进一步从理性的角度去分析各种各样的情形，从一般再到特殊，最后将可能出现的结果在电脑屏幕上用框图的形式分类归纳出来，使学生逐渐形成对投影的完整认识.
由学生口述投影的做法，是让学生根据投影的定义作图，考查其对投影定义的理解.这节课重点是向量的数量积，它是一个既有方向又有大小的量参与的一种运算，是学生新学习的一个知识，所以要不断强化向量及数量积的特征.在学生明确特征之后，他们才会从向量的特征——大小和方向入手去思考问题.
经历了从外在结构认识定义，到感性作图，理性思考，归纳出内在特征的过程，学生才能对数量积的概念有一个比较全面的认识.
三、进行概念的辨析，让学生加深印象
在概念教学中，可以将满足概念的条件特殊化，设计出相应问题让学生思考.例如，如果将两个特殊的向量进行数量积运算，那么有怎样的结果？
最容易想到的特殊向量是零向量.由于零向量方向是任意的，所以要随后补充规定：0·a=0.
如果两个非零向量进行运算，是否也有特殊的结论？对非零的情况展开讨论.因为向量是具有大小和方向的量，所以在考虑特殊关系时自然是沿着两个向量的大小和位置关系进一步探究：1.模相等的情形；2.从方向上考虑，共线同向与共线反向的情形；3.模和方向都相同的情形.
得到非零向量的特殊结论：a⊥b
a·b
=0.当a与
b同向时，a·b
=|a||b|；当a与b反向时，a·b=-|a|·
|b|.特别的，a·a=a2=
|a|2
或|a|=
a·a=a2
.
这样设计问题，一方面让学生能够熟练应用概念；
另一方面所得到的结论可以更好地为解题服务.
为了让学生能更好地巩固知识，可以再用一些特殊的例子进行辨识.
例如，以下结论成立吗？
（1）0·a=0；
（2）0·a=0；
（3）（a·b）2=a2·b2；
（4）a与b是两个单位向量，则a2=b2；
（5）若a≠0，且a·b=0，则b=0；
（6）若a·b=b·c，则a=c；
（7）若a⊥（b-c），则a·b=a· c；（8）a·a·a=a3.
四、向外延伸概念，建立与其他知识之间的联系
与数量的乘法运算律类比、猜想、论证向量数量积的运算律.这里面包括乘法交换律、乘法结合律和乘法分配律.
以乘法结合律为例，刚开始所有的学生都将乘法结合律的结论类比成
（a·b）·c=a·（b·c）
.但很快通过数量积的结果是数量，就能判断出结论错误.进一步调整思路，将其中的一个向量换成数量的结合律，即
（λa）·b=λ（a·b）=
a·（λb）
能否成立.
（λa）·b=λ（a·b）=a·（λb）
的證明是这节课的难点之一.证明的时候要考虑到λ的符号，要对λ进行分类讨论.但是λ的分类也不能一开始就分，学生会提出疑问：你为什么会知道要分类，你按什么标准分类的？因此在这个环节中，可以跟着学生的思路先将第一个等号的两边分别按照数量积的定义展开，直到
（λa）·b
=|λa||b|
cosθ1=
|λ||a|
|b|cosθ1，
λ（a·b）
=λ|a||b|
cosθ2这一步，化简不了，才回头考虑其中的θ1、θ2两个夹角一样吗，两个夹角的含义分别是什么，它们有什么关系，这样才发现导致它们相等或者互补的量是λ，这时才对λ进一步分类.逐步完善对运算律的证明.
类比法是学生比较喜欢的一种方法，这种思想方法比较容易上手，有目标有方向，容易发现知识之间的异同，而且使人印象深刻，易将所学概念纳入已有的认知结构中，形成具有联系的概念体系.
我认为数学知识的发生、发展过程与一个概念的发生、发展过程有着许多相似之处.一节概念课的学习可以给学生做出示范，学习如何接受一个新知识，如何将新知识与其他知识产生关联，从而组成一个知识的网络.
（责任编辑黄桂坚）