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摘要：数学问题的思考与感悟，需要学生进行有效的自我感悟和实践，特别是对于解题过程的思考，不仅是对于解题结果的获取，更是对于解题方法的深入思索和融会贯通.数学学习，不是依靠教师的满堂灌和一言堂，也不是通过例题和练习的讲解去进行知识的掌握.对于数学知识的掌握，学生需要通过自我思考与合作去实现，这样形成的知识印象更深，能够做到融会贯通和灵活运用，从而提高数学水平.
关键词：小组合作数学教学
中学数学课堂的思考和分析感悟，就是从学生自身出发，让他们自己去进行解题和分析.教师要运用小组合作的方式，让学生进行组内的感悟和交流，以趣味性的题目引起学生的学习兴趣，以贴近生活的例子引导学生主动思考，寓教于乐.这样，既能使学生学到知识，又能培养学生的实践能力.这是理论与实践相结合的必由之路.数学课堂知识的练习运用，不是单一知识点的练习，而是知识的综合化运用和练习.在课堂教学中，教师要引导学生打牢基础知识，形成基本能力.此外，教师要遵循“以掌握基础知识为前提，分析其内在联系，培养思考推理能力，发展创新想象能力”的教学原则，循序渐进兼之协同并行，将学生的“知识、能力、思想和创新”统一于课堂教学中，扩大学生的知识面，提高学生的学习能力，拓展学生的思维.这是现代社会对数学教学的要求.
一、小组合作需要让学生进行自我思考和交
流分析，教师要给予学生学习空间
数学既是一门理论性的知识课程，也是一门实践性的知识课程.数学教学的目的，不在于公式背诵，也不在于理论推理，而在于生活的运用和实践.课堂教学只是数学学习的一部分，更重要的是要将其融会贯通，形成自己的感悟和理解，将以“生命为本”的教學理念和思想方式渗透于教学中，“以知识提高素养，以数学塑造性格，以知识指导生活”，使学生学有所得，学有所用，用有所长，把数学当成生命的一部分，用来指导自己的人生道路.
1.提出数学学习提纲，引导学生讨论交流.在教学中，教师可以提出学习提纲，让学生根据提纲
进行知识的阅读理解和学习.现以最简单、基础的样本方差来说明阅读的方式.样本平均数：（1）x=1n（x1 x2 … xn）；（2）若x′1=x1-a，x′2=x2-a，…，x′n=xn-a，则x=x′ a（a—常数，x1，x2，…，xn接近较整的常数a）；（3）加权平均数：x=x1f1 x2 f2 … xkfkn（f1 f2 … fk=n）；（4）平均数是刻画数据的集中趋势（集中位置）的特征数.通常用样本平均数去估计总体平均数，样本容量越大，估计越准确.样本方差：（1）s2=1n[（x1-x）2 （x2-x）2 … （xn-x）2]；（2）若x′1=x1-a，x′2=x2-a，…，x′n=xn-a，则s2=1n[（x′12 x′22 … x′n2）-nx′2]（a—接近x1、x2、…、xn的平均数的较“整”的常数）；若x1、x2、…、xn较“小”较“整”，则s2=1n[（x12 x22 … xn2）-nx2]；（3）样本方差是刻画数据的离散程度（波动大小）的特征数.当样本容量较大时，样本方差非常接近总体方差，通常用样本方差估计总体方差.这个提纲是详细化的.在列举此种提纲的时候，教师的目的是让学生根据提纲去阅读理解内容中的主干知识，如样本平均数和样本方差.所有的中间推理过程，让学生去做，培养学生主动探索知识的意识.
2.引导学生对作业习题进行类比和推导思考.作业不是一种惯性，也不是一项任务，而是一种有效的手段，目的是解决问题，即解决学生知识不巩固、运用不灵活、知识有漏洞的问题.因此，作业不是越多越好，也不是随手拿来就能够做的，而是需要教师经过精挑细选，有针对性地选择习题练习，让学生多用脑、少用力.这是一个教师辛苦的过程，避免题海战术.作业要直接针对要达成的目标，直接提取精华.例如，在讲“二次函数”后，从理论上学生初步掌握了二次函数的基本构成和特点，为了巩固这种认知，教师就要通过习题来进一步强化.这种习题，要针对二次函数的基本特点，让学生经历思考的过程，进行辨别.教师可以布置这样的练习题作为课后作业：下列函数中，哪些是二次函数？y-x2=0；y=（x 2）（x-2）-（x-1）2；y=（m2 1）x2.这样的作业习题，具有针对性，不必多，几道题即可.又如，一元一次方程的解法：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化成1→解；一元一次方程组的解法：（1）基本思想：“消元”.（2）方法：①代入法；②加减法等.这些步骤的实现，可以通过典型习题进行针对性的练习，从而加深学生的印象.通过这样有针对性的习题，能够发挥作业的指向力量，事半功倍.
二、数学知识的综合性思考和小组交流
1.综合性思考和交流，提高学生的自学能力.所谓练习题中的思维空间就是指一些综合性题目.这些题目能将基础知识融合到一起去进行统一思考，有时需要学生综合起来才能解出答案.这种思维空间在于学生需要经过一定的努力才能达到，有助于培养学生思维的灵活性.例如，抛物线y=ax2 bx（a>0）与双曲线y=kx相交于点A，B.已知点A的坐标为（1，4），点B在第三象限内，且△AOB的面积为3（O为坐标原点）.（1）求实数a，b，k的值；（2）过抛物线上点A作直线AC∥x轴，交抛物线于另一点C，求所有满足△EOC∽△AOB的点E的坐标.这个例题就是将基本的抛物线知识和双曲线知识融合到一起进行基本的综合运用，其中思维的空间就是基本知识的交叉.这是可以当作复习留白的好习题.这里面不仅是基础知识的应用，而且是综合应用和灵活运用.教师最多为学生打开一个思路，剩余的工作就是留白，让学生自己去填补.
2.小组合作以知识的综合性为主，提高学生的分析能力.学生小组合作学习是在基础知识夯实的前提下，引申而来，目的是进行综合应用和灵活处理，打通思路，向知识的深层推进.针对考试中的综合性试题和具有一定灵活性、难度的试题而言，更重要的是提高学生的分析能力，增加学生在现实生活中运用知识的灵活性.课本上有少量类似的数学练习题，不过大多还是来自教师的发现和创造，可以应用多种教参展开，以综合性题目为主.例如，对于“圆的方程和圆锥的方程”的学习，在单学各自的知识后，用综合性的题目引发思考，能够提高两者属性的灵活度.如，已知圆O：x2 y2=1（点O为坐标原点），一条直线L：y=kx b（b>0）与圆O相切，并与椭圆x22 y2=1交于不同的两点A，B.（1）设b=f（x），求f（x）的表达式.（2）若向量OA与向量OB的点积等于2/3，求直线l的方程.这里面涉及圆和椭圆的基本概念考查，方程的建立和解决，根据题意，学生可以根据已知条件，先列式：L：kx-y b=0，b>0.圆心（0，0），而后求得f（b），下一步建立椭圆与直线的方程组，代入求解，一步步解出答案，其实还是用到单步的知识而已.这属于课本内综合拓展和提高，是重要的教学方法. 三、数学知识综合化模块体系构建和小组交流
1.小组合作的模块化举例分析.例如，在讲“二元一次方程”时，教师应该引导学生从基本概念出发，小组合作掌握概念.它的原始状态是x y=1，要素就是“两个未知数，次数都是1，等式”.通过它有无数的变式，但依旧符合这三个要素.一个简单的例子，2x 4y=80，3x 5y=30，前者两边同乘3，后者两边同乘2，上下减消元，得出答案.还有一种题，贯穿了消元思想.再看一个例子，二元一次方程组4x 3y=7和kx （k-1）y=3，x与y值相等，求k.本题可以根据x与y值相等这个条件，进行消元.根据x=y，将上述式子化为4x 3x=7，解得x=y=1，将两值代入kx （k-1）y=3，解得k=2.即根据所给条件消元.这就是将不同的二元一次方程问题放到一起，共同比较研究，形成模块化举例，有助于求同存异，形成整体认知，让学生整体认知和思考分析.
2.数学核心知识有效结合，体验小组合作交流.小组合作就是让数学课本的核心基础知识，也就是我们接触最多、应用最广、必备的知识获得最大限度的理解.这是教师的授课重点，应拿出较多时间，投入较大精力.如，“有理数的计算”就是以“有理数的基本运算和混合运算、数轴”为核心.其余不再赘述.一个共同点，核心知识主要集中在每个单元的“前三章”，这是教材編排的一个重要规律，如果有较多的知识，最多达到“前五章”.第一章是“最基础知识”，考试中常以“选择、判断、填空”出现.后两章是第一章知识的“综合与应用”.此外，教师要引导学生以课本为先，尊重课本知识.这是必修课，并且是贯穿整个数学的核心知识，如函数、方程等知识.这是可以应用于每一部分的知识点，并且在任何的题型中都可以有效地融入和使用.这是理论的基础，解题的核心，能力的起步，要放到小组合作中进行思考.
四、小组合作有效反馈，促进学生能力的提高
初中数学加强了思维的抽象性，从具体的模型中体现出其广泛性和实践性.这就要求学生从本质上进行思考，找出其本质的问题所在，运用最基本的知识理论与进行实践化的指导，灵活运用和掌握知识，通过举一反三的方式，做到思维能力的提高，进行自我的内化与印象的加深.在课堂教学中，教师要抛弃满堂灌的方式，优化教学方式，提高学生学习的主动性，同时运用小组合作的方式提倡自我思考，培养学生的实践能力.
1.小组合作需要带着问题去思考，做到问题和知识相联系.小组合作，学生是主体，提倡自主学习，教师引导.教师将知识以问题的形式列出提纲，插入小组学习数学之前或学习之后（这两种方式各有益处，前者是问题引导探索，后者是知识漏洞补充，可以根据需要选择），让学生带着数学问题去自主学习、讨论交流、谈出看法.根据需要，教师可以适当进行知识跨越，形成“知识小体系”，有利于学生融会贯通，拓展思维.在数学学习过程中，积极和肯定的结果反馈，会收到积极和肯定的心理暗示，从而增强学生的学习信心，提高学习效率.然而在学习过程中不可能总是肯定的反馈，特别是学习数学课程，出现错误是在所难免的，从而造成学生心理上的波动，导致学生产生学习数学的畏惧心理.这就需要教师进行有效的引导.在小组合作学习之初，学生对学习数学有一种陌生感，“因陌生而畏惧”.这种畏惧就是因为不了解内容，找不到方向的缘故.因此，教师要让组内的学生通过语言将整个的初中数学课程系统化和概述化，以求学生掌握整体，从而提高学生学习数学的自信心.比如，教师可以将本学期要学习的数学内容，概括为几大块，如方程模块、图形模块、概率模块、圆锥曲线模块等，然后细化所包含的内容，让学生形成整体性的认知，达到学生的思维空间游刃有余的目的，让学生在空间内进行有效的反馈和理解，从而使学生全面提高自己的能力.
2.小组合作以点带面，以点带动整体，提高学生的整体认知能力.在初中数学中，学生很早就接触到平面图形，从基本概念到基本图形，最早的就是三角形，其中第一个知识点就是它的内角和，经过幂的运算和二元一次方程组后，提到图形的全等，可以将图形的全等性提到三角形知识的后面学习.因为全等的知识，只需让学生了解全等图形的特征.这个知识点简单，只是顺带一提的事，但是这个认知却很重要.在这里插进一个全等计算的例子.比如，给出一个三角形各内角的度数，另一个与之全等，求另一个三角形相邻边各角度数.这个题很简单，就是一个全等的认知，但教师需提前说明，打通思路，否则学生无法理解“全等”这两个字.在此基础上，教师可以适度拉伸引进图形的对称，如轴对称和中心对称等.这些知识点就是一个模块，放到一起归纳比较.改变课本设置的顺序，以教学模块化的形式出现知识点，教师可以用这样的思维统筹教学，在不影响教学进度的范围内，适时插入知识模块，适度调整知识体系，从而达到构建单块知识的目的.
综上所述，小组合作需要在学习中有效开展，并且通过多样化的方式展开并思考，让学生通过自己的思考和交流去探究知识的来龙去脉，包括解题的过程，还有对于结果的反馈和反思，都是对于知识的巩固和理解.对于不同的题型和知识点，应该用不同的方法去理解和思考，让不同水平的学生获得不同的收获和解题思路.
参考文献
何涛，刘晓红.数学创新教育.哈工大出版社，2010，6.
关文信.数学创新性教学指导.吉林大学出版社.2001，1.
于琛，林群.数学继承改革与创新.人民教育出版社，2004.
关键词：小组合作数学教学
中学数学课堂的思考和分析感悟，就是从学生自身出发，让他们自己去进行解题和分析.教师要运用小组合作的方式，让学生进行组内的感悟和交流，以趣味性的题目引起学生的学习兴趣，以贴近生活的例子引导学生主动思考，寓教于乐.这样，既能使学生学到知识，又能培养学生的实践能力.这是理论与实践相结合的必由之路.数学课堂知识的练习运用，不是单一知识点的练习，而是知识的综合化运用和练习.在课堂教学中，教师要引导学生打牢基础知识，形成基本能力.此外，教师要遵循“以掌握基础知识为前提，分析其内在联系，培养思考推理能力，发展创新想象能力”的教学原则，循序渐进兼之协同并行，将学生的“知识、能力、思想和创新”统一于课堂教学中，扩大学生的知识面，提高学生的学习能力，拓展学生的思维.这是现代社会对数学教学的要求.
一、小组合作需要让学生进行自我思考和交
流分析，教师要给予学生学习空间
数学既是一门理论性的知识课程，也是一门实践性的知识课程.数学教学的目的，不在于公式背诵，也不在于理论推理，而在于生活的运用和实践.课堂教学只是数学学习的一部分，更重要的是要将其融会贯通，形成自己的感悟和理解，将以“生命为本”的教學理念和思想方式渗透于教学中，“以知识提高素养，以数学塑造性格，以知识指导生活”，使学生学有所得，学有所用，用有所长，把数学当成生命的一部分，用来指导自己的人生道路.
1.提出数学学习提纲，引导学生讨论交流.在教学中，教师可以提出学习提纲，让学生根据提纲
进行知识的阅读理解和学习.现以最简单、基础的样本方差来说明阅读的方式.样本平均数：（1）x=1n（x1 x2 … xn）；（2）若x′1=x1-a，x′2=x2-a，…，x′n=xn-a，则x=x′ a（a—常数，x1，x2，…，xn接近较整的常数a）；（3）加权平均数：x=x1f1 x2 f2 … xkfkn（f1 f2 … fk=n）；（4）平均数是刻画数据的集中趋势（集中位置）的特征数.通常用样本平均数去估计总体平均数，样本容量越大，估计越准确.样本方差：（1）s2=1n[（x1-x）2 （x2-x）2 … （xn-x）2]；（2）若x′1=x1-a，x′2=x2-a，…，x′n=xn-a，则s2=1n[（x′12 x′22 … x′n2）-nx′2]（a—接近x1、x2、…、xn的平均数的较“整”的常数）；若x1、x2、…、xn较“小”较“整”，则s2=1n[（x12 x22 … xn2）-nx2]；（3）样本方差是刻画数据的离散程度（波动大小）的特征数.当样本容量较大时，样本方差非常接近总体方差，通常用样本方差估计总体方差.这个提纲是详细化的.在列举此种提纲的时候，教师的目的是让学生根据提纲去阅读理解内容中的主干知识，如样本平均数和样本方差.所有的中间推理过程，让学生去做，培养学生主动探索知识的意识.
2.引导学生对作业习题进行类比和推导思考.作业不是一种惯性，也不是一项任务，而是一种有效的手段，目的是解决问题，即解决学生知识不巩固、运用不灵活、知识有漏洞的问题.因此，作业不是越多越好，也不是随手拿来就能够做的，而是需要教师经过精挑细选，有针对性地选择习题练习，让学生多用脑、少用力.这是一个教师辛苦的过程，避免题海战术.作业要直接针对要达成的目标，直接提取精华.例如，在讲“二次函数”后，从理论上学生初步掌握了二次函数的基本构成和特点，为了巩固这种认知，教师就要通过习题来进一步强化.这种习题，要针对二次函数的基本特点，让学生经历思考的过程，进行辨别.教师可以布置这样的练习题作为课后作业：下列函数中，哪些是二次函数？y-x2=0；y=（x 2）（x-2）-（x-1）2；y=（m2 1）x2.这样的作业习题，具有针对性，不必多，几道题即可.又如，一元一次方程的解法：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化成1→解；一元一次方程组的解法：（1）基本思想：“消元”.（2）方法：①代入法；②加减法等.这些步骤的实现，可以通过典型习题进行针对性的练习，从而加深学生的印象.通过这样有针对性的习题，能够发挥作业的指向力量，事半功倍.
二、数学知识的综合性思考和小组交流
1.综合性思考和交流，提高学生的自学能力.所谓练习题中的思维空间就是指一些综合性题目.这些题目能将基础知识融合到一起去进行统一思考，有时需要学生综合起来才能解出答案.这种思维空间在于学生需要经过一定的努力才能达到，有助于培养学生思维的灵活性.例如，抛物线y=ax2 bx（a>0）与双曲线y=kx相交于点A，B.已知点A的坐标为（1，4），点B在第三象限内，且△AOB的面积为3（O为坐标原点）.（1）求实数a，b，k的值；（2）过抛物线上点A作直线AC∥x轴，交抛物线于另一点C，求所有满足△EOC∽△AOB的点E的坐标.这个例题就是将基本的抛物线知识和双曲线知识融合到一起进行基本的综合运用，其中思维的空间就是基本知识的交叉.这是可以当作复习留白的好习题.这里面不仅是基础知识的应用，而且是综合应用和灵活运用.教师最多为学生打开一个思路，剩余的工作就是留白，让学生自己去填补.
2.小组合作以知识的综合性为主，提高学生的分析能力.学生小组合作学习是在基础知识夯实的前提下，引申而来，目的是进行综合应用和灵活处理，打通思路，向知识的深层推进.针对考试中的综合性试题和具有一定灵活性、难度的试题而言，更重要的是提高学生的分析能力，增加学生在现实生活中运用知识的灵活性.课本上有少量类似的数学练习题，不过大多还是来自教师的发现和创造，可以应用多种教参展开，以综合性题目为主.例如，对于“圆的方程和圆锥的方程”的学习，在单学各自的知识后，用综合性的题目引发思考，能够提高两者属性的灵活度.如，已知圆O：x2 y2=1（点O为坐标原点），一条直线L：y=kx b（b>0）与圆O相切，并与椭圆x22 y2=1交于不同的两点A，B.（1）设b=f（x），求f（x）的表达式.（2）若向量OA与向量OB的点积等于2/3，求直线l的方程.这里面涉及圆和椭圆的基本概念考查，方程的建立和解决，根据题意，学生可以根据已知条件，先列式：L：kx-y b=0，b>0.圆心（0，0），而后求得f（b），下一步建立椭圆与直线的方程组，代入求解，一步步解出答案，其实还是用到单步的知识而已.这属于课本内综合拓展和提高，是重要的教学方法. 三、数学知识综合化模块体系构建和小组交流
1.小组合作的模块化举例分析.例如，在讲“二元一次方程”时，教师应该引导学生从基本概念出发，小组合作掌握概念.它的原始状态是x y=1，要素就是“两个未知数，次数都是1，等式”.通过它有无数的变式，但依旧符合这三个要素.一个简单的例子，2x 4y=80，3x 5y=30，前者两边同乘3，后者两边同乘2，上下减消元，得出答案.还有一种题，贯穿了消元思想.再看一个例子，二元一次方程组4x 3y=7和kx （k-1）y=3，x与y值相等，求k.本题可以根据x与y值相等这个条件，进行消元.根据x=y，将上述式子化为4x 3x=7，解得x=y=1，将两值代入kx （k-1）y=3，解得k=2.即根据所给条件消元.这就是将不同的二元一次方程问题放到一起，共同比较研究，形成模块化举例，有助于求同存异，形成整体认知，让学生整体认知和思考分析.
2.数学核心知识有效结合，体验小组合作交流.小组合作就是让数学课本的核心基础知识，也就是我们接触最多、应用最广、必备的知识获得最大限度的理解.这是教师的授课重点，应拿出较多时间，投入较大精力.如，“有理数的计算”就是以“有理数的基本运算和混合运算、数轴”为核心.其余不再赘述.一个共同点，核心知识主要集中在每个单元的“前三章”，这是教材編排的一个重要规律，如果有较多的知识，最多达到“前五章”.第一章是“最基础知识”，考试中常以“选择、判断、填空”出现.后两章是第一章知识的“综合与应用”.此外，教师要引导学生以课本为先，尊重课本知识.这是必修课，并且是贯穿整个数学的核心知识，如函数、方程等知识.这是可以应用于每一部分的知识点，并且在任何的题型中都可以有效地融入和使用.这是理论的基础，解题的核心，能力的起步，要放到小组合作中进行思考.
四、小组合作有效反馈，促进学生能力的提高
初中数学加强了思维的抽象性，从具体的模型中体现出其广泛性和实践性.这就要求学生从本质上进行思考，找出其本质的问题所在，运用最基本的知识理论与进行实践化的指导，灵活运用和掌握知识，通过举一反三的方式，做到思维能力的提高，进行自我的内化与印象的加深.在课堂教学中，教师要抛弃满堂灌的方式，优化教学方式，提高学生学习的主动性，同时运用小组合作的方式提倡自我思考，培养学生的实践能力.
1.小组合作需要带着问题去思考，做到问题和知识相联系.小组合作，学生是主体，提倡自主学习，教师引导.教师将知识以问题的形式列出提纲，插入小组学习数学之前或学习之后（这两种方式各有益处，前者是问题引导探索，后者是知识漏洞补充，可以根据需要选择），让学生带着数学问题去自主学习、讨论交流、谈出看法.根据需要，教师可以适当进行知识跨越，形成“知识小体系”，有利于学生融会贯通，拓展思维.在数学学习过程中，积极和肯定的结果反馈，会收到积极和肯定的心理暗示，从而增强学生的学习信心，提高学习效率.然而在学习过程中不可能总是肯定的反馈，特别是学习数学课程，出现错误是在所难免的，从而造成学生心理上的波动，导致学生产生学习数学的畏惧心理.这就需要教师进行有效的引导.在小组合作学习之初，学生对学习数学有一种陌生感，“因陌生而畏惧”.这种畏惧就是因为不了解内容，找不到方向的缘故.因此，教师要让组内的学生通过语言将整个的初中数学课程系统化和概述化，以求学生掌握整体，从而提高学生学习数学的自信心.比如，教师可以将本学期要学习的数学内容，概括为几大块，如方程模块、图形模块、概率模块、圆锥曲线模块等，然后细化所包含的内容，让学生形成整体性的认知，达到学生的思维空间游刃有余的目的，让学生在空间内进行有效的反馈和理解，从而使学生全面提高自己的能力.
2.小组合作以点带面，以点带动整体，提高学生的整体认知能力.在初中数学中，学生很早就接触到平面图形，从基本概念到基本图形，最早的就是三角形，其中第一个知识点就是它的内角和，经过幂的运算和二元一次方程组后，提到图形的全等，可以将图形的全等性提到三角形知识的后面学习.因为全等的知识，只需让学生了解全等图形的特征.这个知识点简单，只是顺带一提的事，但是这个认知却很重要.在这里插进一个全等计算的例子.比如，给出一个三角形各内角的度数，另一个与之全等，求另一个三角形相邻边各角度数.这个题很简单，就是一个全等的认知，但教师需提前说明，打通思路，否则学生无法理解“全等”这两个字.在此基础上，教师可以适度拉伸引进图形的对称，如轴对称和中心对称等.这些知识点就是一个模块，放到一起归纳比较.改变课本设置的顺序，以教学模块化的形式出现知识点，教师可以用这样的思维统筹教学，在不影响教学进度的范围内，适时插入知识模块，适度调整知识体系，从而达到构建单块知识的目的.
综上所述，小组合作需要在学习中有效开展，并且通过多样化的方式展开并思考，让学生通过自己的思考和交流去探究知识的来龙去脉，包括解题的过程，还有对于结果的反馈和反思，都是对于知识的巩固和理解.对于不同的题型和知识点，应该用不同的方法去理解和思考，让不同水平的学生获得不同的收获和解题思路.
参考文献
何涛，刘晓红.数学创新教育.哈工大出版社，2010，6.
关文信.数学创新性教学指导.吉林大学出版社.2001，1.
于琛，林群.数学继承改革与创新.人民教育出版社，2004.