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由于电场力做功与重力做功有一个共同的特点：只与初末位置有关，与运动的路经无关，即电场与重力场的性质非常相似. 因此当一个质量为[M]、带电量为[q]的物体同时处于重力场和场强为[E]的匀强电场时，可以将两者的叠加场等效为一个重力场. 若合力的方向与重力[mg]的方向间的夹角为[α]，则[g′]可表示为[g′=gcosα]. 利用等效重力场，不仅可以把复杂的叠加场变成简单的场，而且可以把陌生的问题转化为熟悉的重力场中的问题，既可避开复杂的运算，使解题过程极大地简化，提升我们的思维品质，提高解题技能与技巧.
例1 如图1所示，斜面和水平面都是绝缘的粗糙的平面，有一带电量为[+q]、质量为[m]的物体，从斜面上[A]点由静止释放，它在水平面上运动[s1]后静止. 若在此范围内加一竖直向下的匀强电场，而将该物体从[A]点由静止释放，它在水平面上运动[s2]后静止，则（ ）
图1
A.[s2>s1] B.[s2=s1]
C.[s2 解析 当不加电场时，物体在运动的过程中受到重力、支持力和摩擦力的作用. 设[A]距水平面的高度为[h]，斜面倾角为[α]，由动能定理，有
[mgh-μmgcosαsAB-μmgs1=0]，即
[h=μcosαsAB+μs1] ①
若加竖直向下的匀强电场时，物体还受电场力共四个力的作用，但可把重力与电场力等效为重力场，加速度为[g′=mg+Eqm]，方向竖直向下.
由动能定理同样可以得出
[mg′h-μmg′cosαsAB-μmg′s2=0]，即
[h=μcosαsAB+μs2] ②
比较①、②两式，不难得出[s2=s1]，故本题应选B.
例2 如图2所示的虚线为匀强电场的等势面，一带电微粒以速度[v0]从[A]点飞入电场，沿图中所示的直线轨迹由下而上飞向[B]点并返回[A]点. 若[AB]与竖直方向的夹角为[α]，求此过程中带电微粒所用的时间.
[20V][10V][0][-10V][-20V]
图2
解析 由图可知，小球做直线运动，因此等效重力场的重力加速度与[AB]在一条直线上. 由于重力的方向是竖直向下的，故带电小球做类竖直上抛运动，等效重力加速度为[g′=gcosα]
根据竖直上抛运动整个过程时间[t=2v0g]，可得所求时间为[t=2v0cosαg].
例3 一条长为[L]的细线上端固定在[O]点，下端系一质量为[m]的带电小球，将它置于一个很大的匀强电场中，电场强度为[E]，方向水平向右. 已知小球在[B]点时平衡，细线与竖直线的夹角为[α]，如图3所示. 试求当悬线与竖直方向的夹角为多大时，才能使小球由静止释放后，细线到达竖直位置时，小球的速度恰好为零.
图3
解析 由题意可知，等效场与竖直方向的夹角为[α]，所以等效重力加速度为[g′=gcosα]. 可以把悬线小球看作是等效场中的单摆，其平衡位置就是与竖直方向成[α]角的位置. 由单摆的对称性，摆幅相等. 故当悬线与竖直方向的夹角为[2α]时，才能使小球静止释放时到竖直位置静止.
例4 如图4所示，一绝缘细圆环的半径为[r]，其环平面固定在水平面上. 场强为[E]的匀强电场与环平面平行，环上穿有一电量为[+q]、质量为[m]的小球，可沿圆环做无摩擦的圆周运动. 若小球经过[A]点时的速度[vA]的方向恰与电场垂直，且与环间无相互作用，求速度[vA]为多少？当小球运动到与[A]点对称的[B]点时，小球对圆环在水平方向的作用力[NB]为多少？
图4
解析 小球在竖直方向上受到的合外力为零，在水平方向仅受到电场力[F=qE]的作用，因此可以等效为[g′=qEm]的重力场. 将[E]的方向转至竖直向下，就成了竖直圆周轨道上的变速圆周运动. 因为小球在[A]点的临界速度为[vA=rg′=rqEm]，利用类似于机械能守恒定律，小球在[B]点的运动速度可表示为
[v2B=v2A+2g′×2r]
根据牛顿第二定律，可得
[NB=mg′+mv2Br=6mg′=6qE]
例5 在水平向右的匀强电场中，有一质量为[m]带正电的小球，用长为[l]的绝缘细线悬挂于[O]点，当小球静止时细线与竖直方向的夹角为[α]. 如图5所示，现给小球一个瞬时冲量，使小球恰能在竖直平面内做圆周运动. 问：
图5
（1）小球在做圆周运动的过程中，在哪一位置速度最小？最小值为多少？
（2）小球在[B]点受到的冲量是多大？
解析 小球在做圆周运动的过程中，所受的重力与电场力均为恒力，这两个力的合力大小为[F=mgcosα]. 小球在叠加场中的重力加速度为[g效=Fm]=[gcosα]，其方向斜向右下方，且与竖直方向成[α]角. 小球在竖直平面内做匀速圆周运动的过程中，由于只有等效重力做功，细线的拉力不做功，所以动能与等效重力势能可以互相转化，且总和保持不变. 与重力势能类比可知，等效重力势能[Ep=mg效h]，其中[h]为小球距等效重力零势能面的高度.
（1）设小球静止时的位置[B]点为零势能点，据动能与等效重力势能的总和不变可知，小球位于[B]点对应的同一直径上的[A]点时等效重力势能最小，速度最小.
设小球在[A]点时速度为[vA]，此时细线拉力为0，等效重力提供向心力，即[mg效=v2Al]，所以小球的最小速度为[vA=glcosα].
（2）设小球在[B]点的初速度为[vB]，据能量守恒，有[12mv2B=12mv2A+mg效2l]，解得[vB=5glcosα]
根据动量定理，小球所受冲量的大小为
[I=mvB=m5glcosα].
例1 如图1所示，斜面和水平面都是绝缘的粗糙的平面，有一带电量为[+q]、质量为[m]的物体，从斜面上[A]点由静止释放，它在水平面上运动[s1]后静止. 若在此范围内加一竖直向下的匀强电场，而将该物体从[A]点由静止释放，它在水平面上运动[s2]后静止，则（ ）
图1
A.[s2>s1] B.[s2=s1]
C.[s2
[mgh-μmgcosαsAB-μmgs1=0]，即
[h=μcosαsAB+μs1] ①
若加竖直向下的匀强电场时，物体还受电场力共四个力的作用，但可把重力与电场力等效为重力场，加速度为[g′=mg+Eqm]，方向竖直向下.
由动能定理同样可以得出
[mg′h-μmg′cosαsAB-μmg′s2=0]，即
[h=μcosαsAB+μs2] ②
比较①、②两式，不难得出[s2=s1]，故本题应选B.
例2 如图2所示的虚线为匀强电场的等势面，一带电微粒以速度[v0]从[A]点飞入电场，沿图中所示的直线轨迹由下而上飞向[B]点并返回[A]点. 若[AB]与竖直方向的夹角为[α]，求此过程中带电微粒所用的时间.
[20V][10V][0][-10V][-20V]
图2
解析 由图可知，小球做直线运动，因此等效重力场的重力加速度与[AB]在一条直线上. 由于重力的方向是竖直向下的，故带电小球做类竖直上抛运动，等效重力加速度为[g′=gcosα]
根据竖直上抛运动整个过程时间[t=2v0g]，可得所求时间为[t=2v0cosαg].
例3 一条长为[L]的细线上端固定在[O]点，下端系一质量为[m]的带电小球，将它置于一个很大的匀强电场中，电场强度为[E]，方向水平向右. 已知小球在[B]点时平衡，细线与竖直线的夹角为[α]，如图3所示. 试求当悬线与竖直方向的夹角为多大时，才能使小球由静止释放后，细线到达竖直位置时，小球的速度恰好为零.
图3
解析 由题意可知，等效场与竖直方向的夹角为[α]，所以等效重力加速度为[g′=gcosα]. 可以把悬线小球看作是等效场中的单摆，其平衡位置就是与竖直方向成[α]角的位置. 由单摆的对称性，摆幅相等. 故当悬线与竖直方向的夹角为[2α]时，才能使小球静止释放时到竖直位置静止.
例4 如图4所示，一绝缘细圆环的半径为[r]，其环平面固定在水平面上. 场强为[E]的匀强电场与环平面平行，环上穿有一电量为[+q]、质量为[m]的小球，可沿圆环做无摩擦的圆周运动. 若小球经过[A]点时的速度[vA]的方向恰与电场垂直，且与环间无相互作用，求速度[vA]为多少？当小球运动到与[A]点对称的[B]点时，小球对圆环在水平方向的作用力[NB]为多少？
图4
解析 小球在竖直方向上受到的合外力为零，在水平方向仅受到电场力[F=qE]的作用，因此可以等效为[g′=qEm]的重力场. 将[E]的方向转至竖直向下，就成了竖直圆周轨道上的变速圆周运动. 因为小球在[A]点的临界速度为[vA=rg′=rqEm]，利用类似于机械能守恒定律，小球在[B]点的运动速度可表示为
[v2B=v2A+2g′×2r]
根据牛顿第二定律，可得
[NB=mg′+mv2Br=6mg′=6qE]
例5 在水平向右的匀强电场中，有一质量为[m]带正电的小球，用长为[l]的绝缘细线悬挂于[O]点，当小球静止时细线与竖直方向的夹角为[α]. 如图5所示，现给小球一个瞬时冲量，使小球恰能在竖直平面内做圆周运动. 问：
图5
（1）小球在做圆周运动的过程中，在哪一位置速度最小？最小值为多少？
（2）小球在[B]点受到的冲量是多大？
解析 小球在做圆周运动的过程中，所受的重力与电场力均为恒力，这两个力的合力大小为[F=mgcosα]. 小球在叠加场中的重力加速度为[g效=Fm]=[gcosα]，其方向斜向右下方，且与竖直方向成[α]角. 小球在竖直平面内做匀速圆周运动的过程中，由于只有等效重力做功，细线的拉力不做功，所以动能与等效重力势能可以互相转化，且总和保持不变. 与重力势能类比可知，等效重力势能[Ep=mg效h]，其中[h]为小球距等效重力零势能面的高度.
（1）设小球静止时的位置[B]点为零势能点，据动能与等效重力势能的总和不变可知，小球位于[B]点对应的同一直径上的[A]点时等效重力势能最小，速度最小.
设小球在[A]点时速度为[vA]，此时细线拉力为0，等效重力提供向心力，即[mg效=v2Al]，所以小球的最小速度为[vA=glcosα].
（2）设小球在[B]点的初速度为[vB]，据能量守恒，有[12mv2B=12mv2A+mg效2l]，解得[vB=5glcosα]
根据动量定理，小球所受冲量的大小为
[I=mvB=m5glcosα].