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“创新学习”既是一种学习理念,同时也是一种学习方法。对学生学习和掌握数学知识,形成运用数学的能力,具有积极的促进作用。
1.独立思考,大胆提问
初中数学课本的结构可分为如下四个层次:
第一层次:先举出大家熟悉的事例或已知的知识作为引进新概念的直观素材。
第二层次:将这些素材进行抽象概括,找出它们的本质特征,然后归纳定义。
第三层次:在上面的基础上得出一些结论。
第四层次:列举这些结论的应用。
教材限于篇幅,表述这些层次的语言必须做到高度的精练、抽象,如果学习时仅限于课本而不去大胆地思考、想象,那就不可能完全理解课本中的真正内涵、学到更多的东西。教师所讲的内容除书本外,还有自己的心血和经验积累,精辟的分析是书本无法表述的。教师要启发学生大胆想象,应诚恳地告诉学生,教师在认识过程中由于受认识框架束缚,难免有认识上的局限性,甚至于出现错误,所以同学们学习时既要充分地信任老师,又要敢于怀疑老师。一次公开课上,老师在讲二元一次不等式组的解时,罗列了若干特殊不等式组,找出规律,力求要学生记住:两个都大、两个都小、一大一小时不等式组的解应是……多数学生不知所云。一个学生大胆发言:“利用数轴,根据数形结合理解不等式组的解,直观方便,不但避开了繁琐的死记,而且还可能长久不忘。”这种突破传授方法的局限,大胆创新解题方法的做法实际上就是创新学习。
一次在听老师讲一元一次方法方程的解时,老师反复强调解一元一次方程的一般步骤:去分母、去括号、移项、合并同类项、把方程化成最简形式ax=b(a≠0),然后在方程两边都除以未知数的系数a,就得到了方程惟一的解x=ba,这位老师还特别强调了“只有一个解”。这时一位学生举手发问:“为什么只有一个解呢?”这位老师感到有些突然,稍犹豫后告诉学生说:“你看课本中没介绍有多个解嘛,课本中没涉及的东西你就暂不要考虑了,待以后学习时再说吧!”显然带有责备的意思。其实就这一亮点,进而提出:“如果有两个不同的解x1、x2,那将出现什么情况?”学生可能会利用方程的解的定义得出:ax1=b,x1=ba,ax2=b,x2=ba,x1=x2这就与提出的“如果……”这一假设相矛盾,从面得出“只有一个解”。这样既保护了学生质疑的积极性,又展现了一种利用逆向思维解决数学问题最为重要的方法——反证法。
2.逆向思维,大胆挖掘
一个善于创新学习的人,首先应该具备逆向思维能力,善于使用反证法。
逆向思维是一种突破习惯性思维束缚的反向思维方法,是人的思维活动中不可缺少的一种思维方式,没有它,很多问题将无法解决或者解决起来比较繁杂。
例:已知f(x)=x2+px+q,求证:|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于12。
如果利用正向思维|f(1)|=|1+p+q|,|f(2)|=|4+2p+q|,|f(3)|=|9+3p+q|,去证明其中至少有一个不小于12,比较困难。如果利用逆向思维:|f(1)|、|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于12的反面是:|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|均小于12,容易造成矛盾,从而证明。
3.善于求异,大胆多变
求异思维是指在同一问题中产生各种各样的不同于一般的思维形式,它是一种创造性思维活动,这种思维具有独创性、多样性、灵活性和批判性,是创新学习中必备的一种思维能力。在学习中可借助求异思维,从不同的角度探索数学问题的多种思路。
某老师给出一道作业题:比较下列各数大小:1613,411,9689,3225。多数同学采用常规的思维方法,先通分,当分母相同时,再比较分子的大小。题中的分母分别是13、11、89、25,通分不容易。部分同学花了很长时间仍未得出正确结果。某同学观察出分子的最小公倍数是96,他认为当分子值相同时,利用分母的大小来比较也是可以的。这样的思维摆脱了常规的思维定势,进行求异思维,问题就简捷多了。这位老师抓住这一典型给予特别的表扬,并且充分肯定了这样的学习方法就是一种创新学习的方法,极大地鼓舞了全班同学创新学习的积极性。
我在教学时也有过类似的事例。如x1,x2为二次方程ax2+bx+c=0的根,求a(x13+x23)+b(x12+x22)+c(x1+x2)的值,让同学们课堂上完成。我在巡视之中,发现多数同学都是利用根与系数的关系来解。于是我肯定了这种解题方法,正准备下一内容的教学时,一位同学举手发言,批评这是一种愚蠢的做法。我感到很吃惊,定眼一看,又是那位经常与老师“过不去”的“刁钻”的学生。我让他上前板书,他利用“方程的解”的定义,无需多少运算步骤就解决了问题,是一种求异的发散思维方式。与前者利用韦达定理解需要大量的运算比,简直是一种创举。这是何等的难能可贵!师生报以热烈的掌声,后来其他同学受此影响,大都学会了一题多解、一题多变、一题多思、一题多问。思维灵活多变了,学生数学成绩也上升很快。
1.独立思考,大胆提问
初中数学课本的结构可分为如下四个层次:
第一层次:先举出大家熟悉的事例或已知的知识作为引进新概念的直观素材。
第二层次:将这些素材进行抽象概括,找出它们的本质特征,然后归纳定义。
第三层次:在上面的基础上得出一些结论。
第四层次:列举这些结论的应用。
教材限于篇幅,表述这些层次的语言必须做到高度的精练、抽象,如果学习时仅限于课本而不去大胆地思考、想象,那就不可能完全理解课本中的真正内涵、学到更多的东西。教师所讲的内容除书本外,还有自己的心血和经验积累,精辟的分析是书本无法表述的。教师要启发学生大胆想象,应诚恳地告诉学生,教师在认识过程中由于受认识框架束缚,难免有认识上的局限性,甚至于出现错误,所以同学们学习时既要充分地信任老师,又要敢于怀疑老师。一次公开课上,老师在讲二元一次不等式组的解时,罗列了若干特殊不等式组,找出规律,力求要学生记住:两个都大、两个都小、一大一小时不等式组的解应是……多数学生不知所云。一个学生大胆发言:“利用数轴,根据数形结合理解不等式组的解,直观方便,不但避开了繁琐的死记,而且还可能长久不忘。”这种突破传授方法的局限,大胆创新解题方法的做法实际上就是创新学习。
一次在听老师讲一元一次方法方程的解时,老师反复强调解一元一次方程的一般步骤:去分母、去括号、移项、合并同类项、把方程化成最简形式ax=b(a≠0),然后在方程两边都除以未知数的系数a,就得到了方程惟一的解x=ba,这位老师还特别强调了“只有一个解”。这时一位学生举手发问:“为什么只有一个解呢?”这位老师感到有些突然,稍犹豫后告诉学生说:“你看课本中没介绍有多个解嘛,课本中没涉及的东西你就暂不要考虑了,待以后学习时再说吧!”显然带有责备的意思。其实就这一亮点,进而提出:“如果有两个不同的解x1、x2,那将出现什么情况?”学生可能会利用方程的解的定义得出:ax1=b,x1=ba,ax2=b,x2=ba,x1=x2这就与提出的“如果……”这一假设相矛盾,从面得出“只有一个解”。这样既保护了学生质疑的积极性,又展现了一种利用逆向思维解决数学问题最为重要的方法——反证法。
2.逆向思维,大胆挖掘
一个善于创新学习的人,首先应该具备逆向思维能力,善于使用反证法。
逆向思维是一种突破习惯性思维束缚的反向思维方法,是人的思维活动中不可缺少的一种思维方式,没有它,很多问题将无法解决或者解决起来比较繁杂。
例:已知f(x)=x2+px+q,求证:|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于12。
如果利用正向思维|f(1)|=|1+p+q|,|f(2)|=|4+2p+q|,|f(3)|=|9+3p+q|,去证明其中至少有一个不小于12,比较困难。如果利用逆向思维:|f(1)|、|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于12的反面是:|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|均小于12,容易造成矛盾,从而证明。
3.善于求异,大胆多变
求异思维是指在同一问题中产生各种各样的不同于一般的思维形式,它是一种创造性思维活动,这种思维具有独创性、多样性、灵活性和批判性,是创新学习中必备的一种思维能力。在学习中可借助求异思维,从不同的角度探索数学问题的多种思路。
某老师给出一道作业题:比较下列各数大小:1613,411,9689,3225。多数同学采用常规的思维方法,先通分,当分母相同时,再比较分子的大小。题中的分母分别是13、11、89、25,通分不容易。部分同学花了很长时间仍未得出正确结果。某同学观察出分子的最小公倍数是96,他认为当分子值相同时,利用分母的大小来比较也是可以的。这样的思维摆脱了常规的思维定势,进行求异思维,问题就简捷多了。这位老师抓住这一典型给予特别的表扬,并且充分肯定了这样的学习方法就是一种创新学习的方法,极大地鼓舞了全班同学创新学习的积极性。
我在教学时也有过类似的事例。如x1,x2为二次方程ax2+bx+c=0的根,求a(x13+x23)+b(x12+x22)+c(x1+x2)的值,让同学们课堂上完成。我在巡视之中,发现多数同学都是利用根与系数的关系来解。于是我肯定了这种解题方法,正准备下一内容的教学时,一位同学举手发言,批评这是一种愚蠢的做法。我感到很吃惊,定眼一看,又是那位经常与老师“过不去”的“刁钻”的学生。我让他上前板书,他利用“方程的解”的定义,无需多少运算步骤就解决了问题,是一种求异的发散思维方式。与前者利用韦达定理解需要大量的运算比,简直是一种创举。这是何等的难能可贵!师生报以热烈的掌声,后来其他同学受此影响,大都学会了一题多解、一题多变、一题多思、一题多问。思维灵活多变了,学生数学成绩也上升很快。